sborka (Задача обработки решеток), страница 2

Во многих применениях значительно больше данных доступно во временном измерении, чем в пространственном измерении. В этих случаях удобно отделить временную переменную посредством анализа Фурье временной последовательности выхода каждого датчика, а затем произвести раздельную спектральную опенку волнового вектора для каждой временной частоты путем использования коэффициентов Фурье в качестве данных для спектрального оценивателя волнового вектора. Таким образом задача оценки стимулируется для комплексных данных, даже хотя физические волновые поля имеют

вещественные значения. К счастью, обычный анализ Фурье является часто удовлетворительным, когда данные избыточны, а также неявным при узкополосном характере многих датчиков. Там, где ограниченные данные во временное измерении делают упомянутый выше подход не практичным, а доступными являются широкополосные решетки датчиков, полная задача может трактоваться посредством включения временных переменных и в векторы и k. Тогда будет описывать разделение как в пространстве, так и во времени, a k волновой вектор пространства-времени. Будем полагать, что принят один из этих двух подходов; следовательно временные переменные и будут опущены.

Простым примером модели спектральной оценки, разработанной выше, является решетка ПИП, состоящая из одинаковым образом ориентированных ИП.

Пример 2.1: решетка из трех ИП. Представим, что решетка ИП, показанная на рис.1, используется для приема единственной временной частоты , соответствующей длине волны .

ИП с диаметром d имеет полосу пропускания, которая грубо описывается выражением

.

Полагая, что волновое поле удовлетворяет соотношению дисперсии

для однородной, недиспергирующей среды, основанием для спектральной оценки должна быть полярная шапка, описываемая двумя уравнениями

и показанная на рис.2

Совместным множеством для этой задачи является только множество всех 3-мерных пространственных разделений между ИП в решетке.

1.2 Продолжаемость

В последнем разделе была построена простая модель задачи обработки решетки: если даны некоторые корреляционные измерения и спектральная основа, получить спектральную оценку. Естественно использование известной информации о спектре для ограничения спектральной оценки требованием того, чтобы она была согласована с измеренными корреляциями, положительной и ограниченной спектральной основой. Такие, спектральные оценки называются спектральными оценками согласованными с корреляцией.

Исследование спектральных оценок, согласованных с корреляцией подымает фундаментальный вопрос о существовании. Если задана, конечная совокупность измеренных корреляций и спектральная основа, то существует ли по крайней мере одна согласованная с корреляцией спектральная оценка ? Если такая спектральная оценка существует, то о измеренных корреляциях говорят, что они продолжаемы. /Корреляционная функция, полученная посредством обратного преобразования Фурье согласованной с корреляцией спектральной оценки, является подходящим продолжением корреляционных измерений на все пространственные разделения/. После некоторых необходимых математических определений мы получим ответ на вопрос о существовании путем характеризации множества продолжаемых корреляционных измерений.

1.2.1 Спектральные основы и совместные множества

Вначале необходимо определить более тщательно термины спектральная основа и совместное множество. Предполагается, что спектральная основа К является компактным подмножеством , т.е. К замкнуто и ограничено. Предположение относительно компактности К приводит к некоторым техническим преимуществам: непрерывная функция на компактном множестве достигает своей нижней и верхней грани. Кроме того, компактность должна всегда содержаться в физической задаче. Как обсуждалось в предыдущем разделе, знание источника, среды и характеристик датчиков может быть использовано для построения соответствующей спектральной основы.

Совместное множество будет определяться, как конечное подмножество со свойствами

I / 0 ;

II / если

III / является множеством линейно независимых функций на .

Условие I/ подразумевает знание r(0) полной мощности в спектре. Условие II/ отражает тот факт, что корреляционная функция всегда сопряжено симметрична; так, если известна, то известна и . Условия I/ и II/ совместно подразумевают, что имеет вид

(3.1)

Условие II/ гарантирует, что корреляционные измерения независимы; каждое измерение дает новую информацию о спектре.

Если D > 1 , то задача спектральной оценки является многомерной. Если и то задача спектральной оценки является известным случаем временной последовательности и вопрос продолжаемости сводится к известной задаче тригонометрических моментов [9].

1.2.2 Сопряженно-симметричные функции и их векторное представление

Спектральная основа и совместное множество естественно предполагает ситуацию векторного пространства для задачи спектральной оценки, в которой сопряженно-симметричные комплекснозначные функции на будут играть центральную роль. Сопряженно-симметричная функция f на является функцией, для которой при всех . Корреляционные выборки, из которых должны образовываться спектральные оценки, являются такими функциями. /Благодаря этой симметрии многие из нижеследующих выражений являются вещественными, хотя они, ради простоты, были записаны в виде, который предполагает, что они могут быть комплексно-значными/. Совместное множество имеет 2М + I элемент и таким образом сопряженно-симметричная функция на характеризуется посредством 2М + I независимыми вещественными числами. Так, сопряженно-симметричная функция на может рассматриваться как вектор в . /Векторное пространство над вещественными числами выбирается потому, что только умножение на вещественное число, переводит корреляционную функцию в другую корреляционную функцию/. Будут использоваться как функциональное обозначение так и векторное f.

Поскольку является линейно-независимым ìíîæåñòâîì функций на K, то отсюда следует, что каждый вектор p â может быть единственным образом связан ñ вещественно-значным -полиномом P(k) íà Ê посредством соотношения

(3.2)

Вектор будет называться положительным, если на К. Р будет обозначать множество этих векторов, связанных с положительными -полиномами. Из компактности К, как можно показать, следует, что Р является выпуклым конусом с вершиной в начале координат. /Множество С является конусом с вершиной в начале координат, если подразумевает для всех [10]. Конусы являются важными видами множеств в задаче спектральной оценки, поскольку только умножение на положительные вещественные числа переводит корреляционную функцию в другую корреляционную функцию, а -полином в другой -полином./

Внутреннее произведение вектора r корреляционных выборок и вектора р полиномиальных коэффциентов будет определяться как

(3.3)

Это внутреннее произведение дает возможность по новому записать -полином: , где обозначает вектор с компонентами . Отметим также, что если , то , что cooтветствует выражению соотношению Парсеваля.

1.2.3 Характеристики продолжаемости

Пусть Е обозначает множество продолжаемых векторов корреляции. То есть , если

(3.4)

для некоторой положительной меры на К. Из свойств интеграла следует, что, Е является замкнутым выпуклым конусом с вершиной в начале координат. Кроме того, сечение по Е при :

(3.5)

является выпуклой оболочкой компактного множества

(3.6)

является выпуклой оболочкой компактного множества

Итак, Е - замкнутый выпуклый конус с вершиной в начале координат, генерируемой посредством А. Эта характеристика продолжаемой корреляция аналогична той, которую дал первоначально Каратеодори в 1907 году для задачи тригонометрических моментов [I]. Важность этого состоит в том, что множество продолжаемых векторов корреляции описывается в терминах простого множества А. Это дает также ясную геометрическую картину продолжаемости и будет полезно в доказательствах.

Вторая характеристика продолжаемости, которая является более полезной при разработке методов спектральной опенки, происходит из того факта, что Е выражается в виде пересечения всех замкнутых полупространств, содержащих его [10]. Эта характеристика включает дуальность, так как полупространства определяются линейными функционалами, т.е. элементами дуального пространства. Замкнутое полупространство определяется посредством вектора q, и вещественного числа с в виде множества

(3.7)

Чтобы определить отдельные полупространства, содержащие Е, достаточно рассмотреть те корреляционные векторы, которые генерируют Е : положительные кратные векторов во множестве А. Замкнутое полупространство содержит Е тогда и только тогда, когда для каждого и каждого . Поскольку можно сделать произвольно большой, должно быть истинным то, что , т.е. q - член конуса Р. Наименьшее полупространство, содержащее Е для такого q соответствует выбору с = 0. Итак,

(3.8)

или, словами, следующее.

Теорема о продолжимости : .вектор является продолжимым тогда и только тогда, когда для всех положительных p.