ТВиМС (Теория вероятностей и математическая статистика. Теория и примеры решения задач), страница 5
Описание файла
Файл "ТВиМС" внутри архива находится в следующих папках: Теория вероятностей и математическая статистика. Теория и примеры решения задач, ТВиМС, Экзамен, Неплохая теория и примеры решения задач. Документ из архива "Теория вероятностей и математическая статистика. Теория и примеры решения задач", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "теория вероятности и математическая статистика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "ТВиМС"
Текст 5 страницы из документа "ТВиМС"
– положительное число.
Убедимся в том, что для распределения Пуассона выполняется основное свойство закона распределения: 
. Действительно, имеем
(см. курс математического анализа, разложение функции 
в ряд Маклорена).
Домашнее задание. 3.25, 3.31, 3.36, 3.40, 3.45.
3.2. Арифметические операции над случайными величинами
Определение. Случайные величины Х и Y называются равными, если их законы распределения точно совпадают, и для произвольного числа 
справедливо равенство: 
Пример. Пусть законы распределения случайных величин Х и Y имеют вид:
| Y: |
| 0 | 1 | . |
|
| 0,5 | 0,5 |
| X: |
| 0 | 1 |
|
| 0,5 | 0,5 |
Эти случайные величины равны, если дополнительно справедливы равенства 
и 
, т.е. случайная величина Х принимает значение 0
тогда и только тогда, когда случайная величина Y принимает значение 0, и аналогично со значением 1.
Произвольная случайная величина допускает умножение на число. Действительно, пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:
|
|
|
|
| … |
|
|
|
|
| … |
|
и – некоторое число.
Определение. Случайной величиной 
называется такая случайная величина, закон распределения которой имеет вид :
|
|
|
|
| … |
|
|
|
|
| … |
|
Пример. Пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:
| Х : |
| 0 | 1 | 2 |
|
| 0,16 | 0,48 | 0,36 |
и 
, . Тогда закон распределения 
:
|
|
| 0 | 5 | 10 |
|
| 0,16 | 0,48 | 0,36 |
Можно придумать, например, следующую интерпретацию данному примеру. Заметим, что Х – биномиально распределена с параметрами 
. Пусть Х – число попаданий в мишень при 2-х выстрелах, при каждом из которых попадание случается с вероятностью 0,6, и дополнительно известно, что за каждое попадание стрелку выплачивается вознаграждение в размере 5 ден. ед. Тогда Y – заработок стрелка.
Определение. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых i и j события 
и 
– независимы.
Пример. Пусть из коробки, в которой – 6 белых и 8 красных шаров, извлекается 1 шар. Рассмотрим случайные величины Х – число белых шаров, Y – число красных шаров из извлеченных. События, например, 
и 
– несовместны, а поэтому – зависимы (см. § 1.6). Следовательно, и случайные величины Х и Y зависимы.
Определение. Суммой (разностью, произведением) случайных величин Х и Y называется такая случайная величина 
(
, 
), которая принимает значение 
в некотором испытании, если значения 
и 
случайных величин Х и в этом испытании таковы, что 
(
).
Пример. Пусть заданы законы распределения независимых случайных величин Х и Y:
| Х: |
| 0 | 1 | Y : |
| 0 | 1 |
|
| 0,4 | 0,6 |
| 0,2 | 0,8 |
Составить закон распределения случайной величины 
.
Решение. Удобно использовать вспомогательную таблицу вида:
|
| 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | –1 | 0 |
в каждой из центральных клеток которой записаны соответствующие произведения случайных величин X и Y. Такая таблица показывает, какие значения принимает случайная величина U и когда она принимает эти значения. Так 
тогда и только тогда, когда 
и 
или 
и 
. Поэтому
.
Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, теорему умножения вероятностей – для независимых событий (по условию, случайные величины 
и – независимы), получаем
Для наступления каждого из двух оставшихся значений случайной величины U (-1 и 1) имеется по одной возможности. Например, 
тогда и только тогда, когда и . Тогда получаем:
Аналогично,
Окончательно, закон распределения случайной величины U имеет вид:
| U : |
| –1 | 0 | 1 |
|
| 0,32 | 0,56 | 0,12 |
Упражнение. Составить законы распределения случайных величин 
Ответ.
| Z: |
| 0 | 1 | 2 | V: |
| 0 | 1 |
|
| 0,08 | 0,44 | 0,48 |
| 0,52 | 0,48 |
| W: |
| 0 | 1 | R: |
| 0 | 1 |
|
| 0,4 | 0,6 |
| 0,56 | 0,44 |
Заметим, что закон распределения случайной величины Z фактически найден в примере § 3.1 о двух стрелках. Действительно, исходные независимые случайные величины X иY данной задачи могут быть интерпретированы как числа попаданий в мишень первого и второго стрелка из § 3.1. Тогда – общее число попаданий, и закон распределения этой случайной величины и найден в упомянутом примере.
3.3. Параметры распределения дискретной случайной величины
Пусть закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид
|
|
|
|
| … |
|
|
|
|
| … |
|
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется число М(Х), вычисляемое по формуле
Математическое ожидание случайной величины есть число около которого группируются значения этой случайной величины.
Механическим аналогом математического ожидания дискретной случайной величины является центр масс (центр тяжести) системы точечных масс: если в точках числовой оси с абсциссами 
расположены точечные массы 
, то абсцисса их центра масс находится точно по формуле для 
, приведенной выше.
Пример. Пусть случайная величина Х биномиально распределена с параметрами 
и 
(см. пример из § 3.1):
| Х : |
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
| 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
Тогда
Свойства математического ожидания
-
Математическое ожидание постоянной случайной величины равно самой постоянной, т.е.
М(С)=С,
где С – некоторое число.
(Постоянной случайной величиной С называется такая случайная величина, которая принимает единственное значение равное С с вероятностью 1.)
-
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.
где – произвольное число.
-
Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) математических ожиданий этих случайных величин, т.е.
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.
5. Пусть 
– такие случайные величины, математические ожидания которых равны между собой, т.е. 
где 
и а – некоторое число. Тогда среднее арифметическое этих случайных величин равно их общему математическому ожиданию, т.е.
Заметим, что свойства 2 – 5 математического ожидания остаются справедливыми также для непрерывных случайных величин.
Пусть закон распределения случайной величины Х тот же, что и выше (см. начало параграфа).
Определение. Дисперсией дискретной случайной величины Х называется число 
определяемое равенством
Число 
является мерой разброса значений случайной величины Х около ее математического ожидания.
Пример. Пусть случайная величина Х биномиально распределена с параметрами и . Найдем дисперсию этой случайной величины.
В предыдущем примере найдено, что М(Х) = 2,4. Тогда
