Теория вероятностей

Тема 1. Основные понятия и теоремы теории

вероятностей

1.1. Понятие случайного события

Испытанием мы будем называть тип опыта (эксперимента).

Например, извлечение наудачу карты из колоды – испытание.

Бросание наудачу игральной кости (монеты) – испытание.

Существенно, что испытания в приведенных примерах (как и все испытания в данном курсе) выполняются наудачу, т.е. субъективный фактор здесь предполагается исключенным.

Определение. Случайным событием называется выделенный исход некоторого испытания.

Очевидно, что в конкретном испытании рассматриваемое случайное событие может наступить, а может и не наступить. (Отметим также, что сам эпитет “случайное” перед термином “событие“ в дальнейшем для краткости мы обычно будем опускать.)

Всюду ниже для обозначения событий мы будем использовать заглавные буквы латинского алфавита (возможно, с индексами). Например, ,B,C, или .

Пример. Пусть испытание – извлечение карты из колоды. Тогда событиями являются: A– извлечена карты красной масти, B – извлечена “ картинка“, C – извлечен туз и т.п. Если в результате конкретного испытания из колоды достали, например, семерку бубен, то событие A наступило, события B и C – нет.

Пример. Пусть испытание – бросание игральной кости. Тогда событиями являются, например, A – число выпавших очков – четно, B – число выпавших очков – больше 4, C– на верхней грани игральной кости выпала “5”.

Удобным обозначением для событий, относящихся к рассматриваемому испытанию (бросание игральной кости), служит перечисление всех исходов благоприятствующих наступлению события. Например, здесь ={2,4,6}, ={5,6}, ={5}.

1.2. Статистическое определение вероятности

Пусть проведено N испытаний, в которых некоторое событие A наступает раз. Тогда отношение называется частостью (долей) наступления события A в N испытаниях.

Определение. Пусть условия проведения некоторого испытания можно в точности воспроизвести неограниченное число раз. Тогда вероятностью наступления события A (в одном испытании) называется такое число, около которого группируются значения частости при неограниченном увеличении числа испытаний N .

Символически это определение можно записать в виде

Отметим практическое следствие данного определения: если нас интересует значение вероятности наступления некоторого события , то производят достаточно большое число испытаний N, по их результатам определяют значение частости и затем полагают

(Более подробно обоснование такого подхода будет рассмотрено ниже: см. Закон больших чисел, теорему Бернулли.)

Также статистическое определение вероятности имеет следующее важное

Следствие (область возможных значений вероятности события). Значение вероятности произвольного события заключено в границах от 0 до 1, т.е.

Доказательство. Очевидно, что

Выполняя почленное деление последнего неравенства на , получаем

Переходя теперь к пределу при , имеем

1.3. Классификация случайных событий

1. Определение. Два события называются равными, если одно из них наступает тогда и только тогда, когда наступает другое.

Пример. Будут произведены 3 выстрела в мишень. А – число попаданий в мишень равно 0, В – число попаданий в мишень меньше, чем 0,5. Очевидно, что

2. Определение. Два события называются равновозможными, если вероятности их наступления равны (в смысле статистического определения вероятности).

На практике равновозможность событий обычно усматривается из симметрии ситуации.

Пример. Пусть испытание – бросание монеты. Тогда события – выпадение “орла” и – выпадение “решки” являются равновозможными.

3. Определение. Событие называется достоверным, если оно наступает в каждом из испытаний.

Достоверное событие будем обозначать через Такое событие определено однозначно для каждого вида испытания.

Пример. Пусть испытание – бросание игральной кости. Тогда где m – число выпавших очков.

Т.к. , то т.е.

4. Определение. Событие называется невозможным, если оно не наступает ни в одном из испытаний.

Невозможное событие будем обозначать символом . Это событие определено однозначно для каждого вида испытания.

Пример. Пусть измеряется рост наудачу взятого человека. Тогда  = (значение роста – отрицательное число) = (рост – более 100 км) =….

Т.к. то т.е.

5. Определение. Два события называются несовместными (несовместимыми), если они не могут наступить одновременно.

Пример. Испытание – извлечение карты из колоды. Если событие А – извлечена карта красной масти, событие В – извлечена карта черной масти, то А и В – несовместны.

Пример. Пусть по мишени производится 3 выстрела и m – число попаданий в мишень. Тогда события, например, и – несовместны.

6. Определение. События называются единственно возможными для некоторого испытания, если в результате испытания хотя бы оно из них обязательно наступает.

Пример. Пусть испытание – бросание игральной кости. Тогда события А и В – единственно возможны (т.к. не существует такого исхода бросания игральной кости, при котором ни А, ни В не наступило). Напротив, А и С не являются единственно возможными (т.к. при выпадении “6” ни А, ни С не наступают).

7. Определение. Говорят, что события образуют полную систему (группу), если эти события попарно несовместимы и единственно возможны.

Пример. Пусть испытание – бросание игральной кости. Тогда события образуют полную систему.

Пример. Пусть по мишени производится 3 выстрела и m – число попаданий в мишень. Тогда события, например, образуют полную систему.

Заметим, что при заданном типе испытания полная система событий определена, вообще говоря, неоднозначно.

Определение. Если два события образуют полную систему, то они называются парой взаимно противоположных событий.

Если одно из событий такой пары обозначено, скажем, через , другое будет обозначено

Пример. Пусть испытание – бросание монеты. Тогда события А – выпадение “орла” и В – выпадение “решки” являются взаимно противоположными ( ).

Пример. Пусть по мишени производится 3 выстрела, и m – число попаданий в мишень. Тогда события, например, и – взаимно противоположны.

1.4. Операции над событиями

Определение. Суммой событий А и В называется такое событие , которое считается наступившим тогда и только тогда, когда наступило или событие А, или событие В, или оба эти события вместе.

Пример. Пусть испытание – извлечение карты из колоды, а следующие события состоят в извлечении: А – карты красной масти, В – картинки, D – числовой карты. Если в результате конкретного испытания из колоды достали, например, “семерку” крестей то событие А+В не наступило, а события и наступили.

Пример. Пусть по мишени производится 3 выстрела, m – число попаданий в мишень , . Тогда .

Замечание 1. Условие единственной возможности событий равносильно тому, что В частности, если события образуют полную систему, то , и при имеем

Определение. Произведением событий А и В называется такое событие , которое считается наступившим тогда и только тогда, когда события А и В наступили одновременно.

Пример. Пусть испытание состоит в бросании игральной кости.

. Тогда и .

Замечание 2. Произвольные события А и В являются несовместимыми тогда и только тогда, когда .

1.5. Классическое определение вероятности

Определение. Пусть некоторое испытание имеет n исходов, причем эти исходы

а) попарно несовместимы;

б) единственно возможны;

в) равновозможны

и наступлению события А благоприятствует исходов из Тогда вероятность наступления события А (в одном испытании) определяется по формуле

Пример. В коробке имеется 10 хороших деталей и 5 бракованных. Наудачу из коробки извлекается одна деталь. Найти вероятность наступления события А – извлеченная деталь – хорошая.

Решение. Общее число исходов равно полному числу деталей в коробке. Извлечению хорошей детали благоприятствует исходов из общего числа (число хороших деталей). Тогда

Пример. Одновременно бросаются три монеты. Найти вероятность того, что на двух из них выпадет “орел”.

Решение. Для удобства будем предполагать, что монеты некоторым образом занумерованы. Единичным исходом здесь является совокупный результат по трем монетам (другими словами, для того, чтобы задать единичный исход, надо сказать, что выпало на первой монете, на второй и на третьей). Перечислим возможные исходы (см. Таблицу 1, в которой выпадение “орла” на соответствующей монете обозначено буквой “О”, “решки” – “Р”). Видно, что общее число исходов равно 8. Число благоприятствующих исходов равно 3 – это исходы с номерами 2, 3, 5 Таблицы 1. Тогда

.

Пример. В коробке 6 белых шаров и 8 красных. Наудачу одновременно извлекаются 3 шара. Найти вероятность, того, что среди них будут: