В плоском слое каждый шар, например «А», окружен шестью другими шарами и, соответственно, шестью треугольными пустотами, три из которых типа «В» и три типа «С». Различие типов пустот состоит только в том, что пустоты типа «В» повернуты относительно пустот типа «С» на 60⁰. На рисунке справа соответствующие пустоты обозначены крестиком и ноликом. Пространственные плотнейшие упаковки получаются из плоских, если производить укладку так, чтобы шары вышележащего слоя попадали в треугольные впадины между шарами нижележащего слоя. При этом каждый следующий слой относительно нижнего может быть ориентирован двояко: шары верхнего слоя укладываются либо в лунки «в», либо в лунки «с» нижнего слоя.

Если шары укладываются по схеме АВАВАВ или АСАСАС, где А – нижний слой, В – слой, уложенный в лунки «В», С – слой, уложенный в лунки «С», то образующаяся кристаллическая структура характеризуется ячейкой в виде шестигранной призмы, как показано на рис. 7, а [3].

Такая ячейка называется гексагональной плотноупакованной (ГПУ). Как видно из рисунка, на исходный слой «А» наложен второй слой так, чтобы шары этого слоя укладывались во впадины «В», третий слой снова занимал позиции «А», четвертый – снова позиции «В» и т.д. Если слои чередуются в последовательности АВСАВСАВС, т.е. повторяемость начинается только с четвертого слоя, то образуются ячейки в виде гранецентрированного куба (ГЦК), показанного на рис.7, б. Если укладывать шары с некоторым зазором, то по схеме укладки АВАВАВ можно получить структуру с ячейкой в виде объемноцентрированного куба (ОЦК), рис. 7, в.

Для большинства металлов характерны указанные три типа кристаллических решеток с ячейками ОЦК, ГЦК и ГПУ.

Некоторым твердым телам, в том числе и металлам, свойственны не одна, а две или более кристаллические структуры, устойчивые при различных температурах и давлениях. Такие структуры называют модификациями вещества, а переход от одной модификации к другой – полиморфным превращением. Явление полиморфизма состоит в том, что тепловые колебания атомов при повышении температуры настолько увеличивают энергию атомов, что они могут покидать места прежнего устойчивого равновесия и занимать

новые с образованием другой кристаллической решетки. Так, например, углерод существует в двух модификациях – графит и алмаз, которые при определенных условиях могут переходить друг в друга. Из металлов примерами могут быть a-Fe и b-Fe, a-Sn и b-Sn и т.д. Полиморфизм имеет исключительно важное практическое значение. Придание сталям различных свойств при их термической обработке, получение нержавеющих сталей, сообщение разнообразным сплавам необходимых свойств в значительной степени основаны на использовании явления полиморфизма.

1. Параметры решетки, базис, координационное число

В общем случае элементарная ячейка кристаллической решетки представляет собой наклонный параллелепипед (рис. 8).

Если поместить начало координат в одну из вершин ячейки, то расстояния а,b,c до ближайших вершин и углы a, b, g между координатными осями называют параметрами кристаллической решетки.

Параметры a, b, c выражаются в ангстремах 1А=10^-8см (у металлов параметры решеток находятся в пределах 2-6 А.).

Базис решетки- это число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку.

В объемно центрированной ячейке всего 9 атомов ( 8 по вершинам куба и 1 в центре). Однако каждый из угловых атомов принадлежит данной ячейке только на 1/8, т.к. он одновременно принадлежит 8 соприкасающимся ячейкам. Поэтому на ячейку приходится (8 х 1/8) + 1 = 2 атома. Базис ОЦК - 2 атома.

В гранецентрированной ячейке всего 14 атомов ( 8 по вершинам куба и 6 в центрах боковых граней ). Каждый угловой атом принадлежит ячейке на 1/8, каждый центральный атом – на 1/2 . Поэтому базис ГЦК ( 8 х 1/8) + ( 6 х 1/2 ) = 4 атома.

В гексагональной плотноупакованной ячейке 17 атомов. На ГПУ ячейку

от 12 угловых атомов приходится только по 1/6 , от 2 атомов, лежащих в центрах оснований, - по 1/2, и только 3 атома, расположенные внутри ячейки, полностью принадлежат ей. Таким образом, базис ГПУ решетки - (12 х 1/6) + (2 х 1/2) + 3 = 6 атомов.

Кристаллическая решетка характеризуется также координационным числом К, которое показывает число атомов, расположенных на ближайшем одинаковом расстоянии от любого атома. Для ОЦК решетки К = 8, для ГЦК и ГПУ решеток К = 12. Чем выше координационное число, тем большая плотность упаковки атомов в ячейке.

1.4 Плотность упаковки атомов в решетке

При моделировании кристаллической решетки в виде соприкасающихся шаров между ними образуются пустоты.

Так, например, три шара, прикрытые сверху одним шаром, образуют пустоту, называемую тетраэдрической (см. рис. 9,а), т. к. линии, соединяющие центры этих шаров, образуют тетраэдр. В тетраэдрическую пустоту можно вписать шар радиусом 0,22 R, где R - радиус шаров (атомов ячейки). Другой случай, когда три шара первого слоя прикрыты сверху не одним шаром, а треугольником из шаров, повернутым на 60⁰ относительно первого слоя. Пустоту, образованную шестью шарами, называют октаэдрической, т.к. линии, соединяющие центры этих шаров, образуют октаэдр (см. рис. 9, в). В нее можно вписать шар радиусом 0,41 R. На каждый шар приходится 1 эктаэдрическая и 2 тетраэдрические пустоты.

Наличие пустот в элементарной ячейке определяет плотность упаковки атомов в решетке. Плотностью упаковки называется отношение объема, занятого атомами, к объему ячейки. Так, плотность упаковки ОЦК равна 0,68, а упаковок ГЦК и ГПУ - 0,74.

2. Индексация плоскостей и направлений

в кристаллической решетке

2.1. Индексация плоскостей

Для обозначения плоскостей и направлений в кристаллической решетке используют индексы, связанные с координатными осями [3].

Для кубической решетки систему координат строят следующим образом. Начало координат помещают в одной из вершин элементарной ячейки, ось «х» направляют в сторону наблюдателя, ось «у» направляют горизонтально вправо и ось «z» - вертикально вверх.

Положение плоскости определяется отрезками, отсекаемыми ею на координатных осях. За единицу измерения вдоль каждой оси принимают параметр ( период ) решетки в направлении данной оси. Чтобы не иметь дело с бесконечностями, а также дробными числами, используют величины, обратные отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях, причем отношение этих величин приводят к отношению трех наименьших целых чисел. Совокупность таких чисел ( h,k,l ), заключенная в круглые скобки, называется индексами Миллера.

Индексы плоскости отыскиваются следующим образом. Определяются отрезки А, В и С, которые этой плоскостью отсекаются на осях координат.

Записываются величины, обратные отсекаемым отрезкам, например: 1/А, 1/В,1/С. Полученные дроби приводят к общему знаменателю, например,

это будет число D. Целые числа h = D / А, k = D / В, l = D / С и являются индексами данной плоскости.

Определим, например, индексы плоскости, которая отсекает на осях координат отрезки А = , В = 2 и С = . Отношения : : =

= . Общий знаменатель D = 2.

Индексами

плоскости являются величины h = , k = , l = .

Обозначение плоскости (416).

В гексагональной решетке начало координат помещают в центре основания ячейки и в плоскости основания проводят три координатные оси x, y, u, расположенные под 120⁰ и ось z вертикально вверх. Такая 4-х индексная система Миллера - Бравэ содержит четвертый индекс i, который ставят на третьем месте ( h, k, i, l ). Дополнительный индекс i вычисляется через индексы h и k: i = - ( h + k ). В случае, если отрезок отсекается плоскостью на отрицательном направлении координатной оси, то над соответствующим индексом ставится черта.

Примеры индексации плоскостей в кубической решетке показаны на рис. 10, а

в гексагональной плотноупакованной решетке – на рис. 11.

Непараллельные плоскости, имеющие одинаковое атомное строение (количество атомов и их расположение), кристаллографически эквивалентны.

Всю совокупность эквивалентных плоскостей обозначают индексом какой-либо одной плоскости, заключенным в фигурные скобки. Например, плоскости 100, 010, 001, 100, 010, 001. Их обозначают индексом одной какой-либо плоскости и заключают в фигурные скобки как семейство плоскостей 100 или 001. Другой пример, семейство 111. Это плоскости 111, 111,111, 111 и др. Если плоскость проходит через начало координат, то для удобства ее

индексации начало координат следует перенести в какую-либо соседнюю вершину элементарной ячейки.

1. Индексация направлений

Ориентация прямой определяется координатами двух ее точек. Если выбрать из семейства прямых ту, которая проходит через начало координат, или перенести прямую параллельно самой себе так, чтобы она прошла через

начало координат, то направление прямой определится координатами только второй ее точки.

Направления в кристаллической решетке обозначают координатами конца отрезка, проходящего через начало координат. Эти координаты называются индексами направлений. За единицу измерения по каждой кристаллографической оси выбирают период решетки. Полученные значения координат точки приводят к отношению трех наименьших целых чисел. Эти числа, заключенные в квадратные скобки, обозначают собой индексы направлений. Совокупность непараллельных кристаллографических направлений, эквивалентных по числу атомов, составляют семейство направлений. Его обозначают индексом одного из направлений и заключают в угловые скобки. Например, семейство шести ребер куба 100, 010, 001, 100, 010, 001 обозначают  100 .

Примеры обозначения направлений в кубической и гексагональной плотноупакованной ( ГПУ) решетке показаны на рис. 12 и 13.