Работа N4. Доверительные границы и интервалы

Основные положения

Пусть (x₁,...,x_n)  x - n независимых наблюдений над случайной величиной с законом распределения F(z/a), зависящим от параметра a, значение которого неизвестно.

Определение 1. Функция наблюдений a₁(x₁,...,x_n) (заметим, что это случайная величина) называется нижней доверительной границей для параметра a с уровнем доверия Р_Д (обычно близким к 1), если при любом значении

P{ a₁(x₁,...,x_n) a}  P_Д

Определение 2. Функция наблюдений a₂(x₁,...,x_n) (случайная величина) называется верхней доверительной границей для параметра с уровнем доверия Р_Д , если при любом значении

P{ a₂(x₁,...,x_n)  a }  P_Д .

Определение 3. Интервал со случайными концами (случайный интервал)

I(x) = ( a₁(x), a₂(x) ) ,

определяемый двумя функциями наблюдений, называется доверительным интервалом для параметра a с уровнем доверия Р_Д , если при любом значении a

P{ I(x) a }  P{ a₁(x₁,...,x_n)  a  a₂(x₁,...,x_n) }  P_Д ,

т.е. вероятность (зависящая от a) накрыть случайным интервалом I(x) истинное значение a - велика: больше или равна Р_Д.

Задание.

1. Определить, сколько раз из k =50 доверительный интервал оказался неверным; сделать это для трех значений Р_Д.

2. Провести аналогично 50 испытаний доверительного интервала для случая неизвестной дисперсии.

Генерируем k=50 выборок по n=10 наблюдений, нормально распределённых с параметрами: среднее а = 10, дисперсия ² = 4.

Достаточной оценкой для а является

â = â(x ,...,x_n) = ,

распределенная по закону N(a, ).

Доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия Р_Д при известной дисперсии является интервал I( x₁, ... , x_n) =(a₁( x₁, ... , x_n), a₂( x₁, ... , x_n)), где

, ,

f_p - квантиль порядка (1+ Р_Д )/2 распределения N(0,1).

1. Р_Д=0,95; f_p=1,65.

Результаты k = 50 испытаний доверительного интервала представим графически:

Доверительный интервал оказался неверным в 4 случаях из 50.

Р_Д=0,995; f_p=2,58.

Доверительный интервал оказался неверным в 0 случаях из 50.

Р_Д=0,9995; f_p=3,29.

Доверительный интервал оказался неверным в 0 случаях из 50.

2. Пусть х₁, … ,х_n - выборка из нормального N(a,²) распределения; значения среднего а и дисперсии ² неизвестны. Оценки для а и ²:

, . (7)

Доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия Р_Д при неизвестной дисперсии является интервал I(x) = (a₁(х), a₂(х) ),

где , ,

t_p - квантиль порядка (1+ Р_Д)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Р_Д=0,95; f_p=1,83.

Доверительный интервал оказался неверным в 4 случаях из 50.

Р_Д=0,995; f_p=3,24.

Доверительный интервал оказался неверным в 0 случаях из 50.

Р_Д=0,995; f_p=4,78.

Доверительный интервал оказался неверным в 0 случаях из 50.

Интервалы для параметров нормального распределения

Пусть х₁, … ,х_n - выборка из нормального N(a,²) распределения; значения среднего а и дисперсии ² неизвестны. Оценки для а и ²:

, .

Как известно, доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия Р_Д при неизвестной дисперсии является интервал

I(x) = (a₁(х), a₂(х) ), (1)

где , , (2)

t_p - квантиль порядка (1+ Р_Д)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Доверительным интервалом для стандартного отклонения  с уровнем доверия Р_Д является интервал

I (x)=(₁(х), ₂(х)) ,

где , ,

t₁ и t₂- квантили порядков соответственно (1+ Р_Д)/2 и (1- Р_Д)/2 распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.

Сгенерируем выборку объема n=20 из нормального распределения с параметрами a =10, ²=2²=4 и определим доверительные интервалы для a и  с уровнем доверия Р_Д : 0.8 , 0.9 , 0.95 , 0.98 , 0.99 , 0.995 , 0.998 , 0.999. Результаты выпишем в виде таблицы. C ростом Р_Д интервал расширяется, с ростом n - уменьшается.

Если нас интересуют не интервалы, а верхние или нижние доверительные границы, то, как известно, они определяются теми же формулами (1) и (2), однако, значения порогов t изменяются. Например, нижней доверительной границей для a с уровнем доверия Р_Д является значение

,

где t_p - квантиль порядка Р_Д распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, а верхней границей для  с уровнем доверия Р_Д является

,

где t₂ - квантиль порядка 1- Р_Д распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.

Задание: определить верхние доверительные границы для а и  с уровнем доверия Р_Д = 0.95 .

Выборка:

Доверительные интервалы для а:

Доверительные интервалы для :

Верхняя доверительная граница для а с уровнем доверия Р_Д = 0.95 :

, где t_p - квантиль порядка (1+ Р_Д)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Для нашей выборки = 10,599 + 1,729 * 1,645/4,359 = 11,252.

Верхняя доверительная граница для  с уровнем доверия Р_Д = 0.95 :

, где t₂ - квантиль порядка 1- Р_Д распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.

Для нашей выборки = 1,645 * = 2,254.

Задача1. Расстояние а до некоторого объекта измерялось n₁ раз одним прибором и n₂- вторым; результаты х₁,…,х_n1; y₁,…,y_n2. Оба прибора при каждом измерении дают независимые случайные ошибки, нормально распределенные со средним 0 и стандартными отклонениями ₁ и ₂ соответственно. Методом максимального правдоподобия построить оценку â для а и доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д .

Варианты исходных данных

измерения получить моделированием с заданным параметром а.

Решение (без вывода). Оценка

, где с= ;

доверительный интервал I=( , ),

где - квантиль порядка (1+Р_Д)/2 распределения N(0,1).

SUM(x)=3182,6713

SUM(y)=4787,6653

C=1,97

a*=1,97*(1/25 * 3182,6713 + 1/64 * 4787,6653)=1,97*(127,307 + 74,807)=1,97*202,114=398,165

t_p=2,054

I=(398,165 - 2,054* ; 398,165 + 2,054* ) = (395,282; 401,048).