Работа № 3. Оценки

1. Cpавнение оценок

1.1. Определения

Пусть x₁, ..., x_n — выборка , т.е. n независимых испытаний случайной величины X , имеющeй функцию распределения F(x / a), зависящую от параметра a, значение которого неизвестно. требуется оценить значение параметра a.

Оценкой â = (x₁, ..., x_n) называется функция наблюдений, используемая для приближенного определения неизвестного параметра. Значение â оценки является случайной величиной, поскольку (x₁, ..., x_n) — случайная величина (многомерная).

Свойства оценок

1. Оценка â= (x₁, ..., x_n) называется состоятельной, если при n   â  a по вероятности при любом значении a.

2. Оценка â = (x₁, ..., x_n) называется несмещенной, если при любом a Mâ = M(x₁, ..., x_n) = a.

состоятельность - обязательное свойство используемых оценок. свойство несмещенности является желательным; многие применяемые оценки свойством несмещенности не обладают.

3. Оценка * называется оптимальной, если для неё средний квадрат ошибки

M(â- a)²= M[*(x₁, ..., x_n) - a]²= min M[(x₁, ..., x_n) - a]²

минимален среди всех оценок {}; здесь критерием качества оценки принят квадарт ошибки (â - a)². В более общей ситуации, если критерием качества служит некоторая величина L(â, a), называемая функцией потерь (или функцией штрафа), то оптимальная оценка та, для которой минимальна величина ML(â, a); последняя есть функциея неизвестного a и называется функцией условного риска. Ясно, что оптимальной оценки может не существовать (так как характеристикой является функция, а не число).

Задание для самостоятельной работы

Сравнить статистически на выборках объема n=10 две оценки: оценку максимального правдоподобия и медианную оценку

1) среднего нормального распределения и

2) параметра показательного распределения.

Отчет по работе должен содержать:

1) постановку задачи оценивания, анализируемые оценки, выражения для их дисперсий (если их нетрудно получить);

2) результаты экспериментов:

распечатки 3-5 выборок, распечатку значений оценок на всех k = 20 выборках для объема n = 10,

графическое представление результатов сравнения оценок на всех выборках, таблицу разброса значений оценок,

графическую зависимость S_а от объема n для различных оценок.

Нормальное распределениеs

20 выборок, n=10.

Сравнение оценки максимального правдоподобия и медианной оценки графически:

N=40

Сравнение оценок графически:

N=160

Сравнение оценок графически:

Итоговое сравнение оценок для значений n=10, 40, 160:

Наблюдаем, что оценка максимального правдоподобия точнее медианной оценки.

Показательное распределение Е(5)

20 выборок, n=10.

Сравнение оценок графически:

n=40

Сравнение оценок графически:

n=160

Сравнение оценок графически:

Итоговое сравнение:

Наблюдаем, что оценка максимального правдоподобия точнее медианной оценки.

Задача. Завод выпустил партию из N = 1500 приборов, предназначенных для непрерывной работы под водой в течение T = 70 часов. На испытание поставлены n = 30 приборов. Результаты испытаний на продолжительность оказались x₁,x₂,…,x_n. Оценить количество неработоспособных приборов в партии и их стоимость. Считать продолжительность работы X непрерывной работы случайной величиной, имеющей показательное распределение. С =300 р – стоимость одного прибора. Результаты испытаний получить моделированием; принять среднее значение равное m = 600 часов.

Результаты моделирования:

4 прибора проработали меньше T = 70 часов.

Для того чтоб оценить число неработающих приборов, нужно знать вероятность того, что прибор выйдет из строя. Для этого используем оценку для среднего параметра распределения работы прибора. Эта оценка получилась равной 446,8093.

p{прибор не работает} = p{ξ

Оценка для параметра показательного распределения a^* = 446,8093.

p{прибор не работает} = 1 – exp{-70/446,8093}= 1 – 0,855 = 0, 145.