31056-1 (Рациональные уравнения и неравенства)
Описание файла
Документ из архива "Рациональные уравнения и неравенства", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "31056-1"
Текст из документа "31056-1"
Рациональные уравнения и неравенства
Содержание
I. Рациональные уравнения.
-
Линейные уравнения.
-
Системы линейных уравнений.
-
Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
-
Возвратные уравнения.
-
Формула Виета для многочленов высших степеней.
-
Системы уравнений второй степени.
-
Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.
-
Однородные уравнения.
-
Решение симметрических систем уравнений.
-
Уравнения и системы уравнений с параметрами.
-
Графический метод решения систем нелинейных уравнений.
-
Уравнения, содержащие знак модуля.
-
Основные методы решения рациональных уравнений
II. Рациональные неравенства.
-
Свойства равносильных неравенств.
-
Алгебраические неравенства.
-
Метод интервалов.
-
Дробно-рациональные неравенства.
-
Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.
-
Неравенства с параметрами.
-
Системы рациональных неравенств.
-
Графическое решение неравенств.
III. Проверочный тест.
Рациональные уравнения
Функция вида
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + … + an – 1x + an,
где n — натуральное, a0, a1,…, an — некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.
Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением.
Уравнение вида
P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + … + Pm(x) / Qm(x) = 0,
где P1(x), P2(x), … ,Pm(x), Q1(x), Q2(x), …, Qm(x) — целые рациональные функции, называется рациональным уравнением.
Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) — многочлены (Q (x) 0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x) 0.
Линейные уравнения.
Уравнения вида ax+b=0, где a и b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением.
Если a0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b /a.
Если a=0; b0, то линейное уравнение решений не имеет.
Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.
Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.
Если прямая проходит через точку с координатами X0 и Y0, то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y0 = aX0 + b.
Пример 1.1. Решить уравнение
2x – 3 + 4(x – 1) = 5.
Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
6x = 12, x = 2.
Ответ: 2.
Пример 1.2. Решить уравнение
2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.
Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.
Ответ: .
Пример 1.3. Решить уравнение.
2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.
Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,
– 4x + 9 = 9 – 4x,
-4x + 4x = 9 – 9,
0x = 0.
Ответ: Любое число.
Системы линейных уравнений.
Уравнение вида
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b,
где a1, b1, … ,an, b —некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x1, x2, …, xn.
Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:
-
система не имеет решений;
-
система имеет ровно одно решение;
-
система имеет бесконечно много решений.
Пример 2.4. решить систему уравнений
2 x + 3y = 8,
3x + 2y = 7.
Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.
Из первого уравнения выражаем: x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений
x = (8 – 3y) / 2,
3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.
Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1.
Ответ: (1; 2).
Пример 2.5. Решить систему уравнений
x + y = 3,
2x + 2y = 7.
Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).
Ответ: Решений нет.
Пример 2.6. решить систему уравнений
x + y = 5,
2x + 2y = 10.
Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).
Ответ: Бесконечно много решений.
Пример 2.7. решить систему уравнений
x + y – z = 2,
2x – y + 4z = 1,
-
x + 6y + z = 5.
Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.
Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.
Таким образом, система приобрела треугольный вид
x + y – z = 2,
y – 2z = 1,
y = 1.
Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.
Ответ: (1; 1; 0).
Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений
2 x + ay = a + 2,
(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
имеет бесконечно много решений?
Решение. Из первого уравнения выражаем x:
x = – (a / 2)y + a / 2 +1.
Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем
(a + 1)( – (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
Далее умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:
(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
ya(4 – a – 1 ) = (a + 2)(4 – a – 1),
ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).
Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y.
Ответ: 3.
Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b и c — некоторые числа (a0);
x — переменная, называется квадратным уравнением.
Формула решения квадратного уравнения.
Сначала разделим обе части уравнения ax2 + bx + c = 0 на a — от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения
x2 + (b / a)x + (c / a) = 0
выделим в левой части полный квадрат
x2 + (b / a) + (c / a) = (x2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a)2) – (b / 2a)2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a))2 – (b2) / (4a2) + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – ((b2 – 4ac) / (4a2)).
Для краткости обозначим выражение (b2 – 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2)).
Возможны три случая:
-
если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (D)2. Тогда
D / (4a2) = (D)2 / (2a)2 = (D / 2a)2, потому тождество принимает вид
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / 2a)2.
По формуле разности квадратов выводим отсюда:
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =
= (x – (( -b + D) / 2a)) (x – (( – b – D) / 2a)).
Теорема: Если выполняется тождество
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),
то квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 при X1 X2 имеет два корня X1 и X2, а при X1 = X2 — лишь один корень X1.
В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение
x2 + (b / a)x + (c / a) = 0,
а тем самым и уравнение ax2 + bx + c = 0, имеет два корня:
X1=(-b + D) / 2a; X2= (-b - D) / 2a.
Таким образом x2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).
Обычно эти корни записывают одной формулой:
где b2 – 4ac = D.
-
если число D равно нулю (D = 0), то тождество
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2))
принимает вид x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2.
Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X1 = – b / 2a
3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2))
является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение
x2 + (b / a)x + (c / a) = 0
не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax2 + bx + c = 0.
Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант
D = b2 – 4ac.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:
X=-b / (2a).
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:
X1=(-b + D) / (2a); X2= (-b - D) / (2a).
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:
-
b = 0; c 0; c / a <0; X1,2 = (-c / a )
-
b 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.
Корни квадратного уравнения общего вида ax2 + bx + c = 0 находятся по формуле
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называется приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение обозначают так:
x2 + px + q = 0.
Теорема Виета.
Мы вывели тождество
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),
где X1 и X2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c =0. Раскроем скобки в правой части этого тождества.
x2 + (b / a)x + (c / a) = x2 – x1x – x2x + x1x2 = x2 – (x1 + x2)x +x1x2.
Отсюда следует, что X1 + X2 = – b / a и X1X2 = c / a. Мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 1603):
Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X, взятому c противоположным знаком и делённому на коэффициент при X2; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, делённому на коэффициент при X2.
Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства
X1 + X2 = – b / a и X1X2 = c / a,
то числа X1 и X2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Замечание. Формулы X1 + X2 = – b / a и X1X2 = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень X1 кратности 2, если положить в указанных формулах X2 = X1. Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ax2 + bx +c = 0 имеет два совпадающих друг с другом корня.
При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения
(1 / X1) + (1/ X2)= ( X1 + X2)/ X1X2 ;
X12 + X22 = (X1 + X2)2 – 2 X1X2;
X1 / X2 + X2 / X1 = (X12 + X2 2) / X1X2 = ((X1 + X2)2 – 2X1X2) / X1X2;
X13 + X23 = (X1 + X2)(X12 – X1X2 + X22) =
= (X1 + X2)((X1 + X2)2 – 3X1X2).
Пример 3.9. Решить уравнение 2x2 + 5x – 1 = 0.
Решение. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;
X1 = (- 5 + 33) / 4; X2 = (- 5 -33) / 4.
Ответ: X1 = (- 5 + 33) / 4; X2 = (- 5 -33) / 4.
Пример 3.10. Решить уравнение x3 – 5x2 + 6x = 0
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x(x2 – 5x + 6) = 0,
отсюда x = 0 или x2 – 5x + 6 = 0.
Решая квадратное уравнение, получаем X1 = 2 , X2 = 3.
Ответ: 0; 2; 3.
Пример 3.11.
0>