31056-1 (Рациональные уравнения и неравенства), страница 2

x³ – 3x + 2 = 0.

Решение. Перепишем уравнение, записав –3x = – x – 2x, x³ – x – 2x + 2 = 0, а теперь группируем

x(x² – 1) – 2(x – 1) = 0,

(x – 1)(x(x + 1) – 2) = 0,

x – 1 = 0, x₁ = 1,

x² + x – 2 = 0, x₂ = – 2, x₃ = 1.

Ответ: x₁ = x₃ = 1, x₂ = – 2.

Пример 3.12. Решить уравнение

7

= – 2.

(x – 1)(x – 3)(x – 4)

(2x – 7)(x + 2)(x – 6)

Решение. Найдём область допустимых значений x:

X + 2 0; x – 6 0; 2x – 7 0 или x – 2; x 6; x 3,5.

Приводим уравнение к виду (7x – 14)(x² – 7x + 12) = (14 – 4x)(x² – 4x – 12), раскрываем скобки.

7x³ – 49x² + 84x – 14x² + 98x – 168 + 4x³ – 16x² – 48x – 14x² + 56x + 168 = 0,

11x³ – 93x² + 190x = 0,

x(11x² – 93x + 190) = 0,

x₁ = 0

11x2 – 93x + 190 = 0,

93(8649 – 8360) 93 17

x_{2,3 =} = ,

22 22

т.е. x₁ = 5; x₂ = 38 / 11.

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x₁ = 0; x₂ = 5; x₃ = 38 / 11.

Пример 3.13. Решить уравнение x⁶ – 5x³ + 4 = 0

Решение. Обозначим y = x³, тогда исходное уравнение принимает вид

y² – 5y + 4 = 0, решив которое получаем Y₁ = 1; Y₂ = 4.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности

уравнений: x³ = 1 или x³ = 4, т. е. X₁ = 1 или X₂ = ³4

Ответ: 1; ³4.

Пример 3.14. Решить уравнение (x³ – 27) / (x – 3) = 27

Решение. Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):

(x – 3)(x² + 3x + 9) / (x – 3) = 27 . Отсюда:

x ² + 3 x + 9 = 27,

x – 3 0;

x² + 3 x – 18 = 0,

x 3.

Квадратное уравнение x² + 3 x – 18 = 0 имеет корни X₁ = 3; X₂ = -6

(X1 не входит в область допустимых значений).

Ответ: -6

Пример 3.15. Решить уравнение

(x² + x –5) / x + (3x) / (x² + x – 5) = 4.

Решение. Обозначим y= (x² + x – 5) / x, тогда получаем уравнение y + 3 / y = 4.

Преобразуем его: y + 3 / y – 4 = 0, (y² – 4y + 3) / y = 0, отсюда

y² – 4y + 3 = 0,

y 0

Квадратное уравнение y² – 4y + 3 = 0 имеет корни Y₁ = 1; Y₂ = 3 (оба корня входят в область допустимых значений).

Таким образом корни, исходное уравнение эквивалентно (равносильно) совокупности уравнений

(x² + x – 5) / x = 1 или (x² + x – 5) / x = 3.

Преобразуем их:

(x² + x – 5) / x – 1 = 0 или (x² + x – 5) / x – 3 = 0;

x ² – 5 = 0,

x 0

или

x ² – 2x – 5 = 0,

x 0;

X₁ = 5; X₂ = – 5 или X₃ = 1 + 6; X₄ = 1 – 6

(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).

Ответ: 5; – 5; 1 + 6; 1 – 6 .

Пример 3.16. Решить уравнение x(x + 2)(x + 3)(x + 5) = 72.

Решение. Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение

(x + 2)(x + 3)(x + 5)x = 72, (x² + 5x + 6)(x² + 5x) = 72.

Обозначим y = x² + 5x, тогда получим уравнение (y + 6)y = 72, или

y² + 6y – 72 = 0.

Корни этого уравнения: Y₁ = 6; Y₂ = – 12.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

x² + 5x = 6 или x² + 5x = – 12.

Первое уравнение имеет корни X₁ = 1; X₂ = – 6. Второе уравнение корней не имеет, так как D = 26 – 48 = – 23 < 0.

Ответ: – 6; 1.

Пример 3.17. Решить уравнение 4x² + 12x + 12 / x + 4 / x² = 47.

Решение. Сгруппируем слагаемые: 4(x² + 1 / (x²)) + 12(x + 1 / x) = 47.

Обозначим y = x + 1 / x, при этом заметим, что

y² = (x +1 / x)² = x² +2 + 1 / (x²),

отсюда x² + 1 / (x²) = y² – 2. С учётом этого получаем уравнение

4(y² – 2) + 12y = 47, или 4y² + 12y - 55 = 0.

Это квадратное уравнение имеет корни Y1 = 5 / 2; Y2 = – 11 / 2.

Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

x + 1 / x = 5 / 2 или x + 1 / x = – 11 / 2.

Решим их:

x + 1 / x – 5 /2 = 0 или x + 1 / x + 11 / 2 = 0;

2x² – 5x + 2 = 0,

x 0

или

2 x² + 11x + 2 = 0,

x 0;

X1 = 2; X2 = 1 / 2 или X3 = ( - 11 + 105) / 4; X4 = ( -11 - 105) / 4

(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).

Ответ: 2; 0,5; ( - 11 + 105) / 4; (-11 - 105) / 4.

Пример 3.18. Решить уравнение x³ – x² – 9x – 6 = 0.

Решение. Угадаем хотя бы один корень данного уравнения. “Кандидатами” в целочисленные корни (а только их есть надежда отгадать) являются числа

1, 2, 3, 6.

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что X = -2 является его корнем.

Р азделим многочлен x³ – x² – 9x – 6 на двучлен x + 2

x³ – x² – 9x – 6 = (x + 2)(x² – 3x – 3) = 0.

Решив теперь уравнение x² – 3x – 3 = 0,

получаем X₂ = (3 - 21) / 2, X₃ = (3 + 21) / 2.

Ответ: x {-2; (3 - 21) / 2; (3 + 21) / 2}.

Пример 3.19.

x³ – x² – 8x + 6 = 0.

Решение. Здесь a_n = 1, a₀ = 6. Поэтому, если данное уравнение имеет рациональные корни, то их следует искать среди делителей числа 6: 1, 2, 3, 6. Проверкой убеждаемся, что x = 3, т.к. 27 – 9 – 24 + 6 = 0.

Делим (x³ – x² – 8x + 6) на (x – 3)

Получаем: x³ – x² – 8x + 6 = (x – 3)(x² + 2x – 2), т.е. данное уравнение можно представить в виде (x – 3)(x² + 2x – 2) = 0. Отсюда находим, что x₁ = 3 — решение, найденное подбором, x_2,3 = – 1 3 — из уравнения x² + 2x – 2 = 0.

Ответ: x₁ = 3; x_2,3 = – 1 3.

Пример 3.20.

4x⁴ + 8x³ + x² – 3x – 1 = 0.

Решение. Здесь a_n = 4, a₀ = –1. Поэтому рациональные корни уравнения следует искать среди чисел: 1; 0,5; 0,25 (делители 4 есть 1; 2; 4, делители (– 1) есть 1). Если x = +1, то 4 + 8 + 1 – 3 – 1 0; если x = – 0,5, то

4 / 16 – 8 / 8 + 1 / 4 + 3 / 2 – 1 = 0, т.е. x = – 0,5 корень уравнения. Делим

(4x⁴ + 8x³ + x² – 3x – 1) на (x + 0,5):

Данное уравнение можно представить в виде: (x + 0,5)(4x³ + 6x² – 2x – 2) = 0.

Отсюда x₁ = – 0,5 (решение, найденное подбором) и 4x³ + 6x² – 2x – 2 = 0, т.е. 2x³ + 3x² – x – 1 = 0. Аналогично находим корень этого уравнения: x = – 0,5. Снова делим.

Имеем: (x + 0,5)(2x² + 2x – 2) = 0. Отсюда x₂ = – 0,5 и x_3,4 = (– 1 5) / 2.

Ответ: x₁ = x₂ = – 0,5; x_3,4 = (– 1 5) / 2.

Замечание: зная, что x = – 0,5, можно не заниматься делением, а просто выделить за скобки множитель (x + 0,5). Из 2x³ + 3x² – x – 1 = 0 следует:

2x³ + 3x² – x – 1 = 2x³ + x² +2x² + x – 2x – 1 = 2x²(x + 0,5) + 2x(x + 0,5) – 2(x+0,5) =

= (x +2)(2x² + 2x – 2) = 0.

x₁ = – 0,5; x_3,4 = (– 1 5) / 2.

Возвратные уравнения.

Уравнение вида

a_nxⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + … +a₁x + a₀ = 0

называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если

a_{n – 1} = a_k, при k = 0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0,

где a, b и c — некоторые числа, причём a 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

• разделить левую и правую части уравнения на x². При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a 0;

• группировкой привести полученное уравнение к виду

a(x² + 1 / x²) + b(x + 1 / x) + c = 0;

• ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено

t² = x² + 2 + 1 / x², то есть x² + 1 / x² = t² – 2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at² + bt + c – 2a = 0;

• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.

Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой

x + 1 / x = t.

Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx + a = 0

Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.

Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень исходного уравнения. “Кандидатов” в корни многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы избрали “не тот” метод решения, и существует иной метод, реализация которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.

Формулы Виета для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен P (x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a_n

имеет n различных корней X₁, X₂, …, X_n. В этом случае он имеет разложение на множители вида

a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a_n = a₀(x – x₁)(x – x₂)…(x – x_n).

Разделим обе части этого равенства на a₀ 0 и раскроем скобки. Получим равенство

Xⁿ + (a₁ / a₀)x^{n – 1} + … + (a_n / a₀) =

= xⁿ – (x₁ + x₂ + … +x_n)x^{n – 1} + (x₁x₂ +x₁x₃ + … +x_n-1x_n)x^{n – 2} +

+ … + (-1)ⁿx₁x₂…x_n.

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняются равенства

x₁ + x₂ + … + x_n = -a₁ / a₀,

x₁x₂ + x₁x₃ + … + x_{n – 1}x_n = a₂ / a₀,

_{…………………….}

x₁x₂ … x_n = (-1)ⁿa_n / a_0­.

Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x³ – 3x² + 7x + 5 = 0.

Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x₁, x₂ и x₃. Тогда по формулам Виета имеем

₁ = x₁ + x₂ +x₃ = 3,