31056-1 (675611), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

N

Уравнения содержащие знак модуля.

Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются лишь знаком: если a = b, то либо a = b, либо a = b. Применим это замечание к решению уравнения

3x 1 = 2x + 3.

В силу сказанного выше из этого уравнения вытекает, что либо 3х 1 = 2х + 3, либо 3х 1 = (2х + 3). Корнем первого уравнения является число 4, а второго — число 2 / 5. Итак, решение уравнения имеет вид х₁ = 4, х₂ = 2 / 5.

В других случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений — по одному на каждом промежутке.

При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что

f (x), если f (x) 0,

f (x) =

– f (x), если f (x) < 0.

Пример 12.59. Решим уравнение.

x = 3 2x x 1.

Решение. Выражение x обращается в нуль при x = 0, а выражение 3 2x — при x = 3 / 2. Точки 0 и 3 / 2 разбивают числовую ось на промежутки (; 0),[0; 3 / 2], (3 / 2; ). При < x < 0 имеем x < 0 и 3 2x > 0. Поэтому на этом промежутке x = x, 3 2x = 3 2x и уравнение принимает вид x = 3 2x x 1. Решая его, получаем, что x = 1. Но это значение x не лежит на (; 0), и потому на этом промежутке уравнение корней не имеет. При 0 x 3/ 2 имеем x 0, 3 2x 0, поэтому x = x, 3 2x = 3 2x. И уравнение принимает вид x = 3 2x x 1. Решая его, находим x = 0,5. Так как это значение x принадлежит промежутку [0; 3 / 2], то 1 / 2 является корнем заданного уравнения. Наконец, на промежутке (3 / 2; +) имеем x > 0, 3 2x < 0, а потому x = x, 3 2x = (3 2x) и уравнение принимает вид x = (3 2x) x 1, т.е. 0 = 4. Значит, на этом промежутке нет корней заданного уравнения.

Мы получили, таким образом, что уравнение имеет лишь один корень, а именно x = 0,5.

Ответ: x = 0,5.

В некоторых случаях уравнение со знаком модуля имеет бесконечно много решений.

Пример 12.60. 8 5x = 3 + x + 5 6x.

Выражения (8 5x), (3 + x) и (5 6x) обращаются в нуль соответственно в точках 8 /5, 3, 5 / 6. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка. При этом, в ходе решения, устанавливаем, что на промежутках (; 3), (5 / 6; 8 /5], (8 / 5; +) уравнение корней не имеет, а на промежутке [3; 5 / 6] оно обращается в тождество 8 5x = 3 + x + 5 6x. Поэтому ответ имеет вид [3; 5 / 6].

Ответ: [3; 5/ 6].

Несколько сложнее решаются уравнения, в которых встречается знак модуля под знаком модуля. Однако и в этом случае метод разбиения оси на промежутки знакопостоянства позволяет решить уравнение.

Пример 12.61. Решим уравнение 2x 3 x + 2 = 8x + 12.

Решение. Выражение (x + 2) обращается в нуль при x = 2. Если x < 2, то (x + 2) < 0 и потому x + 2 = (x + 2). Значит, на промежутке (; 2) заданное уравнение принимает вид 2x 3 + (x + 2) = 8x + 12, т.е. 3x 1 = 8x + 12. Но при x < 2 имеем 3x 1 < 0 и потому 3x 1 = (3x 1). Получаем уравнение (3x 1) = 8x + 12, имеющее корень x = 1. Так как это число не лежит на промежутке (; 2), то заданное уравнение не имеет на это промежутке корней.

Пусть теперь x 2. Тогда x + 2 = x + 2, и мы получаем уравнение 2x 3 (x + 2) =8x + 12, т.е. x 5 = 8x + 12. Здесь надо рассмотреть два случая: x < 5 и x 5. В первом случае x 5 = (х 5), и потому получаем уравнение (x 5) = 8x + 12. Его корень равен 7 / 9. Поскольку 2 (7 / 9) 5, то 7 / 9 является корнем заданного уравнения. Если же x 5, то x 5 = x 5 и уравнение принимает вид x 5 = 8x + 12. Корнем полученного уравнения является число 17 / 7. Поскольку оно не лежит на луче [5; +), оно не является корнем заданного уравнения. Итак, решение имеет вид x = 7 / 9.

Ответ: x = 7 / 9.

Пример 12.62.

1 – 2x + 3x + 2 + x = 5.

Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнения в каждом из полученных интервалов:

X

0,5

– 2 / 3

0

А) если x < – 2 / 3, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 < 0, x < 0 и уравнение переписывается так:

1 – 2x – 3x – 2 – x = 5, т.е. – 6x = 6, x = – 1 (–; – 2 / 3).

Б) если – 2 / 3 x < 0, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 0, x < 0 и поэтому имеем:

1 – 2x + 3x + 2 – x = 5, и т.к. 3 5, то в промежутке [– 2 / 3; 0) корней нет.

В) если 0 x < 0,5, то получаем: 1 – 2x + 3x + 2 + x = 5, т.е. 2x = 2; x = 1 [0; 0,5).

Г) если 0,5 x, то – 1 +2x + 3x + 2 + x = 5, 6x = 4, x = 2 / 3 (0,5; ).

Ответ: x₁ = – 1; x₂ = 2 / 3.

Пример 12.63.

x + x – 1 = 1.

Решение. (x – 1) = 0, x = 1; получаем интервалы:

X

0

1

A) x (; 0), тогда – x – x +1 = 1; – 2x = 0; x = 0 (; 0).

Б) x [0; 1), тогда x – x +1 = 1; 1 = 1 x — любое число из [0; 1).

В) x [1; ), тогда x + x – 1 = 1; 2x = 2; x = 1 [1; ).

Ответ: x [0; 1].

Основные методы решения рациональных уравнений.

1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений — приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax² + bx + c = 0 решаются по выведенной нами формуле

Также используется теорема Виета: x₁ + x₂ = – b / a; x₁x₂ = c / a.

2) Группировка: путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

3) Подстановка: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно что удобно обозначить. Например, уравнение

(x² + x – 5) / x + 3x / (x² + x – 5) + 4 = 0,

легко решается с помощью подстановки (x² + x – 5) / x = t, получаем t + (3 / t) + 4 = 0.

Или: 21 / (x² – 4x + 10) – x² + 4x = 6. Здесь можно сделать подстановку x² – 4 = t. Тогда 21 / (t + 10) - t = 6 и т.д.

В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований. Например, дано уравнение

(x² + 2x)² – (x +1)² = 55.

Переписав его иначе, а именно (x² + 2x)² – (x² + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x² + 2x=t.

Имеем t² – t – 56 = 0, t₁ = – 7, t₂ = 8. Осталось решить x² + 2x = – 7 и x² + 2x = 8.

В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее”. Например

1. Уравнение (x + a)⁴ + (x + b)⁴ = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку

x = t – (a + b) / 2.

1. Симметрическое уравнение (возвратное) a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a₁x + a₀ = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1 / x = t, если n —чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = – 1.

2. Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному, если a + b = c + d и т.д.

4) Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + … + a₁x + a₀ = 0 ищем в виде p / q, где p — делитель a₀, q — делитель a_n, p и q взаимно просты, pZ, qN.

5) “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

6) Уравнения с модулем: при решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что

f (x), если f (x) 0,

f (x) =

– f (x), если f (x) < 0.

Рациональные неравенства.

Пусть () числовая функция одного или нескольких переменных (аргументов). Решить неравенство

() < 0 (() > 0) (1)

это значит найти все значения аргумента (аргументов) функции , при которых неравенство (1) справедливо. Множество всех значении аргумента (аргументов) функции , при которых неравенство (1) справедливо, называется множеством решении неравенства или просто решением неравенства.

Множество решении нестрого неравенства

() 0 (() 0) (2)

представляет собой объединение множества решении неравенства (1) и множества решении уравнения () = 0.

Два неравенства считаются эквивалентными, если множества их решении совпадают.

Под множеством допустимых значении неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения функции ().

Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных функции _i(), могут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств это значит найти множество всех значении аргументов функции _i(), при которых справедливы все неравенства системы одновременно.

Говорят, что системы неравенств эквивалентны, если множества их решении совпадают.

Свойства равносильных неравенств.

При решении неравенств используют свойства равносильности.

Неравенства с одной переменной называются равносильными, если множества их решении совпадают.

Например, неравенства 3х > 6 и х – 2 > 0 имеют одинаковые множества решении х[2; +]. Эти неравенства – равносильные.

Неравенства х > 0 и х² > 0 – неравносильные, так как решение первого неравенства есть множество х[0; +], а решение второго неравенства есть множество х[-; 0][0; +]. Эти множества не совпадают.

При решении неравенств выполняются только такие преобразования, при которых получаются более простые равносильные неравенства. Эти преобразования возможны при выполнении следующих свойств равносильных неравенств.

Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Дано. Р(х) > Q(x) – неравенство, Т(х) – выражение, которое имеет смысл при всех действительных значениях х, хR.

Доказать. Неравенства Р(х) > Q(x) и Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x) – равносильные.

Доказательство. а) Пусть при х = а неравенство Р(а) > Q(a) – верное числовое равенство, т.е. х =а – одно из решении неравенства Р(х) > Q(x), Т(а) – значение Т(х) при х =а.

По свойству числовых неравенств Р(а) + Т(а) > Q(a) + T(a) – верное числовое неравенство.

Характеристики

Список файлов реферата