31056-1 (675611), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 7,

₃ = x₁x₂x₃ = – 5.

Корни искомого уравнения обозначим буквами y₁, y₂, y₃, а его коэффициенты — буквами b₁, b₂, b₃, положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y₁ = x₁², y₂ = x₂², y₃ = x₃² и поэтому

b₁ = – (y₁ + y₂ + y₃) = – (x₁² + x₂² + x₃²),

b₂ = y₁y₂ + y₁y₃ + y₂y₃ = x₁²x₂² + x₁²x₃² + x₂²x₃²,

b₃ = – y₁y₂y₃ = – x₁²x₂²x₃² .

Но имеем

x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ +x₃)² – 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = ₁² - 2₂ = 3² – 27 = – 5,

x₁²x₂² + x₁²x₃² + x₂²x₃² = (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)² – 2x₁x₂x₃(x₁ + x₂ +x₃)= ₂² – 2₁₃ = = 7² – 23(– 5)= 79,

x₁²x₂²x₃² = (x₁x₂x₃)² = ₃² = 25.

Значит, b₁ = 5, b₂ = 79, b₃ = – 25, и потому искомое уравнение имеет вид

y³ + 5y² + 79y – 25 = 0.

Ответ: y³ + 5y² + 79y – 25 = 0.

Системы уравнений второй степени.

В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.

Пример 6.23. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.

2x + y = 7,

xy = 6.

Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 – 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений

y = 7 – 2x,

7x – 2x² = 6.

Квадратное уравнение – 2x² + 7x – 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3 / 2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.

Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Пример 6.24. Решить систему уравнений

x + y + 2xy = 7,

xy + 2(x + y) = 8.

Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.

Получаем систему уравнений

a + 2b = 7,

b + 2a = 8

или

a = 7 – 2b,

b + 14 – 4b = 8.

Отсюда

a = 3,

b = 2.

Возвращаясь к переменным x и y, получаем

x + y = 3,

xy = 2.

Решив эту систему:

x = 3 – y,

(3 – y)y = 2;

y² – 3y + 2 = 0, Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.

Ответ: (2; 1) , (1; 2).

Пример 6.25. Решить систему уравнений

y ² – xy = 12,

x² – xy = – 3.

Решение. Разложим левые части уравнений на множители:

y (y – x) = 12,

x(x – y) = – 3.

Выразив из второго уравнения (x 0) x – y = – 3 / x, т.е. y – x = 3 / x, и подставив его в первое уравнение, получим

y / x = 4,

x(x – y) = – 3, откуда

y = 4x,

x(x – y) = – 3.

Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем

- 3x² = – 3, X₁ = 1; X₂ = – 1, тогда Y₁ = 4; Y₂ = – 4.

Ответ: (1; 4), (– 1; – 4).

Пример 6.26. Решим задачу.

Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 м, а площадь равна 15 м².

Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и ху = 15

Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений

х + у = 8,

ху = 15,

т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба уравнения системы обращает их в верные числовые равенства.

Из первого уравнения находим, что у = 8 – у. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем х(8 у) = 15, т.е. 8х х² = 15 или

х² 8х + 15 = 0.

Решим это уравнение: D = (8)² 4115 = 64 60 = 4,

Х_1,2 = (8 4) / 2 = (8 2) / 2.

Значит, х₁ = 5, х₂ = 3. Поскольку у = 8 х, то получаем у₁ = 3, а у₂ = 5. В обоих случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон которого равны 3 м и 5 м.

Замечание: уравнение х² 8х + 15 = 0 можно вывести быстрее, используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями уравнения z² 8z + 15 = 0.

Рассмотрим системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными. Если в одно из них какоенибудь неизвестное входит лишь в первой степени, то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.

Пример 6.27. Решим систему уравнений

2 х + у = 11,

х² + у² = 53.

Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 2х)2 = 53.

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

х2 + 121 44х + 4х2 = 53

и потому 5х2 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения х надо решить уравнение

5х2 44х + 68 = 0.

Решая его, находим D = (44)2 4568 = 1936 1360 = 576,

Х_1,2 = (44 24) / 10.

Итак х₁ = 6,8; х₂ = 2, у₁ = 11 26,8 = 2,6; у₂ = 11 22 = 7.

Ответ: х₁ = 6,8; у₁ = 2,6; х₂ = 2; у₂ = 7.

Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.

При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные (у = х² для биквадратных уравнений и у = х + 1 / х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.

Пример 7.28. Решим уравнение 12 / (х² + 2х) 3 / (х² + 2х 2) = 1.

Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать. Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х² + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х² + 2х. Тогда уравнение примет вид

12 / у 3 / (у 2) = 1 или (у² 11у + 24) / (у(у 2)) = 0,

откуда y₁ = 3; y₂ = 8. Осталось решить уравнения х² + 2х = 3 (его корни х₁ = 1, х₂ = 3) и х² + 2х = 8 (его корни х₃ = 2, х₄ = 4).

Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).

Пример 7.29. Решим систему уравнений

2 / х + 3 / у = 8,

5 / х 2 / у = 1.

Решение. Обозначим 1 / х через U, а 1 / у через V. Тогда система примет вид

2 U + 3V = 8,

5U 2V = 1,

т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 3V / 2, и подставляя во второе: 5(4 3V / 2) 2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1 / x = 1, 1 / y = 2.

Ответ: x = 1, y = 0,5.

Пример 7.30.

(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.

Решение. (x – 4)(x – 7)(x – 5)(x – 6) = 1680, т.е.

(x² – 11x + 28)(x² – 11x + 30) = 1680.

Обозначим x² – 11x + 28 = t, тогда t(t + 2) = 1680, t2 + 2t – 1680 = 0, t₁ = – 42; t₂ = 40. Поэтому

x² – 11x + 28 = – 42; x² – 11x + 70 = 0; D = 121 – 280 < 0 x_1,2 .

x² – 11x + 28 = 40; x² – 11x – 12 = 0; x₁ = 12; x₂ = – 1.

Ответ: x₁ = 12; x₂ = – 1.

Пример 7.31.

2x⁴ + 3x³ – 16x² + 3x + 2 = 0.

Решение. Это возвратное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2 0, получим

2x² + 3x – 16 +3 / x + 2 / x² = 0, т.е.

2(x² + 1 / x²) + 3(x + 1 / x) – 16 = 0,

обозначим x + 1 / x = t, тогда x² + 2 + 1 / x² = t², т.е. x² + 1 / x² = t² – 2, получаем 2(t² – 2) + 3t – 16=0, т.е. 2t² + 3t – 20 = 0, t₁ = – 4; t₂ = 5 / 2 = 2,5. Следовательно, имеем

x + 1 / x = – 4; x² + 4x + 1 = 0; x_1,2 = –2 3,

x + 1 / x = 2,5; 2x² – 5x + 2 = 0; x₃ = 2; x₄ = 1 / 2.

Ответ: x_1,2 = –2 3; x₃ = 2; x₄ = 1 / 2.

Пример 7.32.

(x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 16.

Решение. Сделаем подстановку x = t – 4. Тогда получаем (t – 1)⁴ + (t + 1)⁴ = 16, т.е.

t⁴ – 4t³ + 6t² – 4t + 1 + t⁴ + 4t³ + 6t² + 4t + 1 = 16,

т.е. 2t⁴ + 12t² – 14 = 0, или t⁴ + 6t² – 7 = 0. Положим t² = z 0, тогда

z² +6z – 7 = 0, z₁ = – 7; z₂ = 1.

С учётом t² = z 0 отбрасываем z₁. Итак, z = 1, т.е. t² = 1, отсюда t₁ = –1; t₂ = 1. Следовательно, x₁ = – 1 – 4 = – 5 и x₂ = 1 – 4 = – 3.

Ответ: x₁ = – 5 и x₂ = – 3.

Пример 7.33.

13x / (2x² + x +3) + 2x / (2x² – 5x + 3) = 6.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x 0:

13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,

обозначим 2x + 3 /x = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т.е.

13t – 65 + 2t + 2 = 6t² – 24t – 30, т.е.

6t² – 39t + 33 = 0, т.е. 2t² – 13t + 11 = 0,

t₁ = 1; t₂ = 5,5.

Следовательно:

2x + 3 / x = 1; 2x² – x + 3 = 0; D = 1 – 24 < 0 x .

2x + 3 / x = 5,5; 4x² – 11x + 6 = 0; x₁ = 2; x₂ = 0,75.

Ответ: x₁ = 2; x₂ = 0,75.

Пример 7.34.

x⁴ – 2x³ + x – 0,75 = 0.

Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения x²:

x⁴ – 2x³ + x² – x² + x – 0,75 = 0, т.е.

(x² – x)² – (x² – x) – 0,75 = 0.

Пусть x² – x = t, тогда t² – t – 0,75 = 0, x₁ = – 0,5; x₂ = 1,5.

Возвращаясь к старой переменной, получаем:

x² – x = – 0,5; x² – x + 0,5 = 0; D = 1 – 2 < 0 x .

x² – x = 1,5; x² – x – 1,5 = 0; x_1,2 = (1 7) / 2.

Ответ: x_1,2 = (1 7) / 2.

Пример 7.35.

Характеристики

Список файлов реферата