31056-1 (675611), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Ответ: Если a = 1, то x — любое число; a = 1, то нет решений; если a 1, то x = 1 / (a 1).

Пример 10.46. При каких a уравнение ax² x + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение. Прежде всего обратим внимание на распространённую ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени, не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда a = 0, то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же a 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 12a принимает значение, равное нулю, при a = 1 / 12.

Ответ: a = 0 или a = 1 / 12.

Пример 10.47. при каких a уравнение (a 2)x2 + (4 2a)x + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение. Понятно, что надо начинать со случая a = 2. Но при a = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если a 2, то данное уравнение — квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при a = 2 или a = 5. Поскольку мы установили, что a = 2 не подходит, то

Ответ: a = 5.

Вероятно, в двух последних примерах ничего сложного нет (тем более, ели они уже решены). Однако, на наш взгляд, параметр в этих задачах проявляет своё “коварство”, особенно для начинающих. Поэтому полезно рассмотреть ещё несколько примеров, где параметр “расставляет ловушки”.

Пример 10.48. При каких значениях a уравнение ax² + 4x + a + 3 = 0 имеет более одного корня?

Решение. При a = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При a0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16 4a² 12a — положительный. Отсюда получаем 4 < a < 1. Однако в полученный промежуток (4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ: 4 < a < 0 или 0 < a < 1.

Пример 10.49. При каких a уравнение a(a + 3)x² + (2a + 6)x 3a 9 = 0 имеет более одного корня?

Решение. Стандартный шаг — начать со случаев a = 0 и a = 3. При a = 0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при a = 3 решением уравнения служит любое действительное число. При a = 3 решением уравнения служит любое действительное число. При a 3 и a 0, разделив обе части данного уравнения на a + 3, получим квадратное уравнение ax² + 2x 3 = 0, дискриминант которого 4(1 + 3a) положителен при a > 1 / 3. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка (1 / 3; ) надо исключить точку a = 0, а в ответ не забыть включить a = 3.

Ответ: a = 3 или 1 / 3 < a < 0, или a > 0.

Пример 10.50. При каких значениях a уравнение (x² ax + 1) / (x + 3) = 0 имеет единственное решение?

Решение. Данное уравнение равносильно системе

x ² ax + 1 = 0,

x 3.

Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения, естественно приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие x 3 должно привлечь внимание. И “тонкий момент” заключается в том, что квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно только один из них должен равняться 3. Имеем D = a² 4, отсюда D = 0, если a = 2; x = 3 — корень уравнения x² ax + 1 = 0 при a = 10 / 3, причём при таком значении a второй корень квадратного уравнения отличен от 3.

Ответ: a = 2 или a = 10 / 3.

Пример 10.51. При каких a уравнение ax² = a2 равносильно неравенству

x 3 a?

Решение. При a 0 уравнение имеет единственное решение, а неравенство — бесконечно много. Если a = 0, то решением как уравнения, так и неравенства является всё множество действительных чисел. Следовательно, требованию задачи удовлетворяет только a = 0.

Ответ: a = 0.

Пример 10.52. Решить уравнение с параметрами

(a² 9)x = a² + 2a 3.

Решение. Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Запишем уравнение в виде:

(a 3)(a + 3)x = (a + 3)(a 1).

Если a = 3, то уравнение принимает вид: 0x = 0. Отсюда следует, что при x R, т.е. решением уравнения является любое действительное число. Если a 3, то уравнение принимает вид: (a 3)x = a 1.При a = 3 имеем 0x = 2. Уравнение решения не имеет. При a 3 имеем x = (a 1) / (a 3). Уравнение имеет единственное решение (например, x = 3 при a = 4, x = 3 / 5 при a= 2 и т.д.)

Ответ: a = 3, x R; a = 3, x ; a 3, x = (a 1) / (a 3).

Пример 10.53.

(x 4) / (x + 1) 1 / a(x + 1) = 2 / a.

Решение. Очевидно, (x + 1)a 0, т.е. x 1, a 0. Преобразуем данное уравнение, умножив обе его части на a(x + 1) 0:

(x 4)a 1 = 2(x + 1), т.е. (a + 2)x = 4a 1.

Если a = 2, то имеем 0х = 9. Следовательно, x . Если a 2, то x = (4a +1) / (a + 2). Но, как мы уже отметили, x 1. Поэтому надо проверить, нет ли таких значений a при которых найденное значение x равно 1.

(4a 1) / (a + 2) = 1, т.е. 4a 1 = a 2, т.е. 5a = 1, a= 1 / 5.

Значит, при a 0, a 2, a 1 / 5 уравнение имеет единственное решение (4a 1) / (a + 2).

Ответ: x при a {2, 0, 1 / 5}; x = (4a 1) / (a + 2) при a {2, 0, 1 / 5}.

Пример 10.54.

(a 5)x² + 3ax (a 5) = 0.

Решение. При (a 5) = 0, т.е. a = 5 имеем 15x 0 = 0, т.е. x = 0. При a 5 0, т.е. a 5 уравнение имеет корни

X_1,2 = (3a (9a² + 4(a 5)²)) / (2(a 5)).

Ответ: x = 0 при a = 5; x = (3a (9a² + 4(a 5)²)) / (2(a 5)) при a 5.

Пример 10.55.

1 / (x 1) + 1 / (x a) = (a + 1) / a.

Решение. Отмечаем, что a(x 1)(x a) 0, т.е. x 1, x a, a 0. При этих условиях данное уравнение после упрощений принимает вид

(a + 1)x² (a² + 4a + 1)x + (2a² + 2a) = 0.

Если a +1 = 0, т.е. a = 1, имеем, 2x = 0, т.е. x = 0.

Если a + 1 0, т.е. a 1, то находим, что

x_1,2 = (a² + 4a + 1 (a⁴ + 2a² + 1)) / (2(a +1) = (a² + 4a + 1 (a² + 1) ) / (2(a + 1))

т.е. x₁ = a + 1, x₂ = 2a / (a + 1). Найдём значения a, при которых x = 1 и x = a, чтобы исключить их.

a + 1 = 1 a = 0 — недопустимо по условию;

a + 1 = a 1 = 0 — невозможно;

2 / (a + 1) = 1 2a = a + 1, т.е. a = 1;

2 / (a + 1) = a 2a = a² + a, a = 1 и a = 0 — недопустимо.

Итак, если a 1, a 0, a 1, то x₁ = a + 1, x₂ = 2a / (a + 1).

Теперь рассмотрим, что происходит с уравнением при a = 1. Найдём корни уравнения: x₁ = 1 и x₂ = 2, причём x₁ = 1 не подходит по условию. Теперь выписываем

Ответ: x₁ = a + 1 и x₂ = 2 при a 0, a 1; x = 0 при a = 1; x = 2 при a = 1.

Пример 10.56. При каких значениях a система уравнений

a xy + x y + 1,5 = 0,

x + 2y + xy + 1 = 0.

Имеет единственное решение?

Решение. Умножим второе уравнение на a и вычтем его из первого уравнения. Получаем равносильную систему

a xy + x y + 1,5 ax 2ay axy a = 0,

x + 2y + xy + 1 = 0, т.е.

( 1 a)x (2a + 1)y + 1,5 a = 0,

x + 2y + xy + 1

1. Если a = 1, то 3y + 0,5 = 0, т.е. y = 1 /6. Подставив это значение во второе уравнение, находим единственное значение x. Система имеет единственное решение.

2. Если a = 0,5, то система имеет единственное решение.

3. При остальных значениях a сведём систему к квадратному уравнению; из первого уравнения системы находим

y = ((1 a)x + 1,5 a) / (2a + 1),

подставляем во второе уравнение:

x + ((2 2a)x + 3 2a) / (2a + 1) + ((1 a)x² + 1,5x ax) / (2a + 1) +1 = 0, т.е.

2ax + 3x 2ax + 3 2a + x² ax² +1,5x ax + 2a + 1 = 0,

(1 a)x² + (4,5 a)x + 4 = 0.

Уравнение имеет единственное решение в том случае, когда дискриминант равен нулю:

(9 / 2 a)² 4 4(1 a) = 0, т.е. a² + 7a + 17 / 4 = 0, т.е. a = (7 42) / 2.

Ответ: a = 1, a = 1 / 2, a = (7 42) / 2.

Пример 10.57.

x³ – (a + b + c)x² + (ab + ac + bc)x – abc =0.

Решение. x³ – ax² – bx² – cx² + abx + acx +bcx – abc = 0,

группируем: x²(x – a) – bx(x – a) – cx(x – a) – cx(x – a) + bc(x – a),

(x – a)(x² – bc – cx + bc).

(x – a) = 0,

x₁ = a.

x² – bc – cx + bc = 0,

x(x – b) – c(x – b) = 0,

(x – b)(x – c) = 0,

x – b = 0, x₂ = b

x – c = 0, x₃ = c.

Ответ: x₁ = a; x₂ = b; x₃ = c.

Замечание: корни уравнения можно было легко найти, пользуясь теоремой Виета для кубического уравнения:

если x³ + px² + qx + r = 0, то

x_{1 +} x_{2 +} x₃ = - p,

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = q,

x₁x₂x₃ = - r .

В нашем случае:

x₁ + x₂ + x₃ = a + b + c,

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = ab + bc +cd,

x₁x₂x₃ = abc.

Отсюда следует, что x₁ = a; x₂ = b; x₃ = c.

Графический метод решения систем нелинейных уравнений.

Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными можно решать графически. Для этого нужно начертить графики обоих уравнений и найти координаты точек их пересечения. Нам уже известны графики следующих уравнений:

1. ax + by + c = 0 — прямая линия.

2. xy = k — гипербола.

3. (x a)² + (y b)² = R² — уравнение окружности с центром A(a, b) и радиусом R.

К этому виду приводятся с помощью выделения полных квадратов уравнения вида:

x² + y² 2ax 2by + c = 0.

1. ax² + bx + c = 0 — парабола y = ax² c вершиной в точке A(m, n), где m = b / 2a, а n = (4ac b²) / 4a.

Пример 11.58. Найдём графически корни системы:

x ² + y² 2x + 4y 20 = 0,

2x y = 1.

Решение. Выделяя полные квадраты, получаем:

x² + y² 2x + 4y 20 = (x² 2x +1) + (y² + 4y + 4) 1 4 20 = (x 1)² + (y + 2)² 25.

Значит, систему уравнений можно записать так:

( x 1)² + (y + 2)² = 25,

2x y = 1.

Графиком первого уравнения является окружность с центром A(1; 2) и радиусом 5. А 2x y = 1 — уравнение прямой, проходящей через точки B(0; 1) и C(2; 5). Строим окружность радиуса 5 с центром в точке A и проводим прямую через точки B и C. Эти линии пересекаются в двух точках M(1; 3) и N(3; 5). Значит решение системы таково: x₁ = 1, y₁ = 3; x₂ = 3, y₂ = 5.

Y

C

5

M

B

X

2

0

A

2

Характеристики

Список файлов реферата