31056-1 (675611), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Следовательно, х = а – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x). Поэтому, если х =а есть решение первого неравенства, то это значение есть также решение второго неравенства.

б) Пусть х = b – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x), т.е. P(b) + T(b) > Q(b) + T(b) –верное числовое неравенство. По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство. Следовательно, х = b – решение неравенства P(x) > Q(x).

Так как множества решений неравенства P(x) > Q(x) и P(x) + T(x) > > Q(x) + T(x) совпадают, то эти неравенства равносильные.

Свойство 2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл при вех хR, перенести из одно части в другую с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильно данному.

Дано. P(x) + T(x) > Q(x) – неравенство, Т(х) – слагаемое, которое имеет смысл при всех хR.

Доказать. Неравенства P(x) + T(x) > Q(x) и P(x) > Q(x) – T(x) – равносильные.

Доказательство. По свойству 1 можно к обеим частям неравенства P(x) + T(x) > Q(x) прибавить слагаемое (-Т(х)), так как это слагаемое имеет смысл при всех хR; получим равносильное неравенство:

P(x) + T(x) – T(x) > Q(x) – T(x), отсюда P(x) > Q(x) – T(x).

Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Дано. P(x) > Q(x) – неравенство (1),

T(x) > 0, xR,

P(x)T(x) > Q(x)T(x) – неравенство (2).

Доказать. Неравенства (1) и (2) равносильные.

Доказательство. Пусть при х = а P(a) > Q(a) – верное числовое неравенство, т.е. х = а – одно из решении первого неравенства. T(a) – значение Т(х) при х = а Т(а) > 0.

По свойству числовых неравенств P(a)T(a) > Q(a)T(a) – тоже верное числовое неравенство, т.е. х = а –одно из решении первого неравенства. Следовательно, если х= а – решение первого неравенства, то х = а – также решение второго неравенства.

Пусть при х = b неравенство P(b)T(b) > Q(b)T(b) – верное числовое неравенство, т.е. х = b – одно из решении второго неравенства.

По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство, так как T(b) > 0. Следовательно, х = b – одно из решении первого неравенства.

Поскольку множества решении первого и второго неравенств совпадают, то они равносильные.

Свойство 4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Это свойство доказывается аналогично 3 свойству.

Алгебраические неравенства.

Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0, a 0,

решениями которых будут:

при a > 0

x(- ; ), x( -; - ), x[ - ; ), x( -; - ],

при а < 0

x( -; - ), x( - ; ), x( -; - ], x[ - ; ).

Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0,

ax² + bx + c 0, ax² + bx + c 0,

где a, b, c некоторые действительные числа и а 0.

Квадратное неравенство ax² + bx + c > 0 в зависимости от значении своих коэффициентов a, b и c имеет решения:

при а > 0 и D = b² – 4ac 0

x( -; )( ; );

при а > 0 и D < 0 x любое действительное число;

при а < 0 и D 0

x( ; );

при а < 0 и D < 0

x = (т. е. решении нет ).

Решение неравенства ax² + bx + c < 0 сводится к решению рассмотренного неравенства, если обе части неравенства умножить на (-1).

Метод интервалов.

Пусть Р_n(x) многочлен n-й степени с действительными коэффициентами, а c₁, c₂, , c_i все действительные корни многочлена с кратностями k₁, k₂, , k_i соответственно, причем с₁ > c₂ > > c_i. Многочлен P_n(x) можно представить в виде

Р_n(x) = (x - c₁) ^k1(x - c₂) ^k2 (x – c_i)^ki Q_m(x), (3)

где многочлен Q_m(x) действительных корней не имеет и либо положителен, либо отрицателен при всех хR. Положим для определенности, что Q_m(x) > 0. Тогда при х > c₁ все сомножители в разложении (3) положительны и Р_n(х) > 0. Если с₁ корень нечетной кратности (k₁ нечетное), то при х(с₂; с₁) все сомножители в разложении (3), за исключением первого, положительны и Р_n(х)<0. В этом случае говорят, что многочлен Р_n(х) меняет знак при переходе через корень с₁. Если же с₁ корень четной кратности (k₁ четное), то все сомножители (в том числе и первый) при х(с₂; с₁) положительны и, следовательно, Р_n(х) > 0 при х(c₂; с₁). В этом случае говорят, что многочлен Р_n(х) не меняет знак при переходе через корень с₁.

Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно убедится, что при переходе через корень с₂ многочлен Р_n(х) меняет знак, если k₂ нечетное, и не меняет знака, если k₂ четное. Рассмотренное свойство многочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для того чтобы найти все решения

Р_n(х) > 0, (4)

достаточно знать все действительные корни многочлена Р_n(х) их кратности и знак многочлена Р_n(х) в произвольно выбранной точке, не совпадающей с корнем многочлена.

Пример: Решить неравенство

х⁴ + 3х³ – 4х > 0. (*)

Решение. Разложим на множители многочлен Р₄(х), стоящий в левой части неравенства (*). Вынося множитель х за скобку, получаем

Р₄(х) = х(х³ + 3х² – 4).

Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде

х³ + 3х² – 4 = (х-1)(х² + 4х + 4) = (х-1)(х + 2) ².

Таким образом, Р₄(х) = х(х - 1)(х + 2) ² и неравенство (*) может быть записано в виде

х(х –1)(х + 2)² > 0. (**)

Решим неравенство (**) методом интервалов. При х > 1 все сомножители, стоящие в левой части неравенства, положительны.

Рис. 1

Будем двигаться по оси О_х справа налево. При переходе через точку х = 1 многочлен Р₄(х) меняет знак и принимает отрицательные значения, так как х = 1 простой корень (корень кратности 1); при переходе через точку х = 0 многочлен также меняет знак и принимает положительные значения, так как х = 0 также простой корень; при переходе через точку х = -2 многочлен знака не меняет, так как х = -2 корень кратности 2. Промежутки знакопостоянства многочлена Р₄ (х) схематически представлены на рис 1. Используя этот рисунок, легко выписать множество решений исходного неравенства.

Ответ. х (-; -2) (-2; 0) (1; ).

Пример: Решить неравенство

(х² – 3х – 2)(х² – 3х + 1) < 10.

Решение: Пусть х² – 3х – 2 = y. Тогда неравенство примет вид y(y +3) < 10, или y² + 3y – 10 < 0, откуда (y + 5)(y – 2) < 0. Решением этого неравенства служит интервал –5

x ² – 3x – 2 < 2, x² – 3x – 4 < 0,

или

x² – 3x –2 > -5, x² – 3x + 3 > 0,

откуда

( x – 4)(x + 1) < 0,

(x + )² + > 0.

Поскольку второе неравенство выполняется при всех х, решение этой системы есть интервал (-1; 4).

Ответ: (-1; 4).

Пример: Решить неравенство

х⁴ – 34х² + 225 < 0.

Решение. Сначала решим биквадратное уравнение х⁴ – 34х² + 225 < 0. Полагая х² = z, получаем квадратное уравнение z² – 34z + 225 = 0, из которого находим: z₁ = 9 и z₂ = 25. Решая уравнения х² = 9 и х² = 25, получаем 4 корня биквадратного уравнения: -3, 3, -5, 5. Значит, х⁴ – 34х² + 225 = (х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5), и поэтому заданное неравенство иммет вид:

(х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5) < 0.

Изображаем на координатной прямой точки –5, -3, 3, 5 и проводим кривую знаков. Решение неравенства является объединение интервалов (-5; -3) и (3; 5).

Ответ: (-5; -3)(3; 5).

Пример: Решить неравенство

х⁴ – 3 < 2х(2х² – х – 2).

Решение. Дано целое рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем многочлен к стандартному виду. Получим равносильное неравенство

х⁴ – 4х³ + 2х² + 4х – 3 < 0.

Решая уравнение х⁴ – 4х³ + 2х² + 4х – 3 = 0, находим корни х₁ = -1, х_2,3 = 1, х₄ = 3. Тогда неравенство можно переписать в виде

(х – 1) ²(х + 1)(х – 3) < 0.

Найденные корни разбивают числовую ось на четыре промежутка, на каждом из которых левая часть неравенства, а значит, и исходного неравенства сохраняет знак. Выбирая пробные точки в каждом из промежутков (достаточно значения х подставлять только в последний два сомножителя), получаем знаки, указанные на рисунке. Видим, что неравенство выполняется на промежутках (-1; 1) и (1; 3).

Так как неравенство строгое, то числа –1, 1, 3 не входят в решение неравенства.

Ответ: (-1; 1)(1; 3).

Дробно-рациональные неравенства.

Решение рационального неравенства

> 0 (5)

где Р_n(х) и Q_m(х) многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Q_m(x)]², который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Q_m(x) 0), получим неравенство

Р_n(х) Q_m(x) > 0,

эквивалентное неравенству (5).

Дробно-линейным называется неравенство вида

>

(6)

k

где a, b, c, d, k некоторые действительные числа и с 0, (если с = 0, то дробно-линейное неравенство превращается в линейное, неравенство (6) не содержит аргумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), где вместо знака > стоят знаки <, , . Решение дробно-линейного неравенства сводится к решению квадратного неравенства. Для этого необходимо умножить обе части неравенства (6) на выражение (сх + d)², положительное при всех хR и x -d/c.

Пример: Решить неравенство

< -1.

Решение: Прибавляя к обеим частям неравенства 1, получим неравенство вида (5).

< 0,

которое эквивалентно неравенству

х²(х² – х – 2) < 0.

Множество решений последнего неравенства находится методом интервалов: х( -1;0)(0;2).

Ответ: х(-1;0)(0;2).

Пример: Решить неравенство

.

Решение: Перенеся все члены неравенства в левую часть, получим

- - 0, или 0, откуда 0.

Пользуясь методом интервалов и учитывая знак неравенства, заключаем, что решением неравенства является объединение полуинтервалов: [-4; -3)(-1; 1].

Ответ: [-4; -3)(-1; 1].

Пример: Решить неравенство:

0.

Решение: Полагая х 0 и х 3, разделим обе части неравенства на положительную дробь и получим и сразу заметим, что х = 0 удовлетворяет заданному неравенству, а х = 3 не удовлетворяет. Кроме того, множители с нечетными показателями степени заменим соответствующими множителями первой степени (ясно, что при этом знак выражения в левой части неравенства не изменится). В результате получим более простое неравенство, равносильное заданному для всех х0 и х3:

0.

Начертив кривую знаков, заштрихуем промежутки удовлетворяющие этому неравенству, и отметим на той же оси точки х = 0 и х = 3. Учитывая, что значение х = 0 является решением заданного неравенства, но не принадлежит заштрихованному промежутку, его следует дополнительно включать в ответ. Значение х = 3 не является решением неравенства, но принадлежит заштрихованному промежутку; следовательно, это значение нужно исключить. Итак, получаем ответ: (-; -4)[1; 3) (3; 4,5]U0.

Ответ: (-; -4)[1; 3)(3; 4,5]U0.

Пример: Решить неравенство

< 0.

Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, переписываем данное неравенство в виде

< 0.

Т очками, в которых множители меняют знаки, являются –5, 1, 2, 6. Они разбивают числовую ось не интервалы (-; -5), (-5; 1), (1; 2), (2; 6),(6; +). С помощью кривой знаков находим интервалы, где выполняется неравенство: (-5; 1) и (2; 6). При этом из (-5; 1) надо удалить точку 0, так как в этой точке выражение обращается в нуль. Итак, получаем ответ в виде (-5; 0)(0; 1)(2; 6).

Ответ: (-5; 0)(0; 1)(2; 6).

Пример: Решить неравенство

< 0.

Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде

< 0.

Нанесем числа 0, 1, 2, 5, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль, на числовую ось. Они разбивают числовую ось на пять промежутков.

С помощью “пробных” точек найдем знак выражения в каждом промежутке.

Выпишем интервалы, где выполняется неравенство: (-; 0), (0; 1), (2; 5).

Ответ: (-; 0)(0; 1)(2; 5).

Характеристики

Список файлов реферата