31056-1 (Рациональные уравнения и неравенства), страница 8

Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.

При решении неравенства, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, используется тот же прием, что и при решении уравнении, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, именно: решение исходного неравенства сводится к решению нескольких неравенств, рассматриваемых на промежутках знакопостоянства выражений, стоящих под знаков абсолютной величены.

Пример: Решить неравенство

х² - 2 + х < 0. (*)

Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х² – 2, стоящего под знаком абсолютной величены.

1. Предположим, что

х² – 2 0,

тогда неравенство (*) принимает вид

х² + х –2 < 0.

Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х² –2 0 представляет собой первое множество решений исходного неравенства (рис 1): х(-2; -].

2) Предположим, что х² – 2 < 0, тогда согласно определению абсолютной величены имеем х² - 2= 2 – х², и неравенство (*) приобретает вид

2 – х² + х < 0.

Рис. 1

Рис. 2

Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х² – 2 < 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): х(-; -1).

Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем х(-2; -1)

Ответ: х(-2; -1).

В отличие от уравнений неравенства не допускают непосредственной проверки. Однако в большинстве случаев можно убедиться в правильности полученных результатов графическим способом. Действительно, запишем неравенство примера в виде

х - 2 < -х.

Построим функции y₁ =х² - 2 и y₂ = -х, входящие в левую и правую часть рассматриваемого неравенства, и найдем те значения аргумента, при которых y₁2.

На рис. 3 заштрихованная область оси абсцисс содержит искомые значения х.

Рис. 3

Р
ешение неравенств, содержащих знак абсолютной величены, иногда можно значительно сократить, используя равенство х²= х².

Пример: Решить неравенство

> 1. (*)

Решение: Исходное неравенство при всех х ­ -2 эквивалентно неравенству

­х - 1> х + 2. (**)

Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство

6х < -3,

т.е. х < -1/2.

Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства, определяемого условием х -2, окончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех х(-; -2)(-2; -1/2).

Ответ: (-; -2)(-2; -1/2).

Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

> 1.

Р

-(2х + 5) < х + 1

2х + 5 > х +1,

х > -4,

x > -4/3.

ешение: Так как х +1 0 и, по условию, х +1 0, то данное неравенство равносильно следующему: 2х + 5 > х +1. Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств –(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5,

о ткуда

Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х -1, иначе выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла.

Ответ: 0.

Пример: Решить неравенство:

х - 2 .

Решение: Пусть х = y. Заметим далее, что х + 1 > 0. Поэтому данное неравенство эквивалентно следующему: -2 (y –2)(y + 1), или y² – y 0, или 0 y 1, или 0 х 1. Отсюда -1 х 1.

Ответ: [-1; 1].

Пример: Решить неравенство

х² – 3х + 2+ 2х + 1 5.

Решение. х² – 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -½. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.

1. х < -½. В этом случае х² – 3х + 2 > 0, 2х +1 < 0. Получаем неравенство х² – 3х + 2 – 2х – 1 5, х² – 5х – 4 0. С учетом условия х < -½ находим х -½.

2. – ½ х 1. Имеем неравенство х² – х – 2 0. Его решение –1 х 2. Следовательно, весь отрезок –½ x 1удовлетворяет неравенству .

3. 1 < x < 2. Получаем х² – 5х + 6 0; х 2 или х 3. Вновь подходит весь интервал.

4. х 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2.

Ответ: х 2.

Пример: Решить неравенство.

х³ + х - 3- 5 х³ – х + 8.

Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.

х³ + х - 3 - 5 х³ – х + 8, х³ + х - 3 х³ – х + 13

х³ + х - 3 - 5 -х³ + х – 8 х³ + х - 3 - х³ + х – 3

х³ + х – 3 х³ – х + 13 х 8,

х³ + х – 3 -х³ + х – 13, х³ -5,

х³ + х – 3 -х³ + х – 3, х³ 0,

х³ + х – 3 х³ – х + 3 х 3

- х 8, - х 8.

х – любое

Ответ: - х 8.

Неравенства с параметрами.

Неравенства с параметрами являются наиболее трудными задачами курса элементарной математики. Это объясняется тем, что их решения следует получать при всех допустимых значениях входящих в них параметров.

Пример: Для всех значений а решить неравенство

aх > 1/x.

Решение: Запишем неравенство в виде

> 0,

тогда исходное неравенство эквивалентно двум системам неравенств:

ax² – 1 > 0, ax² – 1 < 0,

x > 0; x < 0.

Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем в виде:

ax² > 1.

При а > 0 оно эквивалентно неравенству х² > 1/a, множество решений которого х < -1/ и x > 1/. В этом случае решения первой системы: х(1/; ). При а 0 левая часть неравенства ах² –1 > 0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и вся система неравенств.

Рассмотрим вторую систему. При а > 0 решениями неравенства ах² – 1<0 будут значения х(-1/; 1/), а решениями системы значения х(-1/; 0). При a 0 левая часть неравенства ах² –1 < 0 отрицательна при

л

а

б

юбых значениях х, т.е. это неравенство выполняется при все хR и, следовательно, решениями системы будут значения х(-; 0).

Приведем графическую иллюстрацию решения этого примера.

Для этого рассмотрим отдельно два случая а > 0 и а 0 и для каждого из них построим графики функций, стоящих в левой и правой частях исходного неравенства. Заштрихованные промежутки оси О_х представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях.

Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений и неравенств с параметрами.

Ответ: Если а 0, то х(-; 0); если а > 0, то х(-1/; 0)(1/; ).

Пример: Решить неравенство:

< .

Решение: Преобразуем данное неравенство: 3m²х + 3 – 2mx² – 6 < m + 9x; mx² – 9x < m + 3; (m – 3)(m + 3)x < m + 3. Далее находим решение неравенства при различных значения параметра m:

1. Пусть (m – 3)(m + 3) > 0, т.е. m < -3 или m > 3. Тогда неравенство имеет решение х < 1/(m – 3).

2. Пусть (m – 3)(m + 3) < 0, т.е. –3 < m < 3. Тогда неравенство имеет решение х > 1/(m – 3).

3. Пусть (m – 3)(m + 3) = 0, т.е. m = 3 или m = -3. Тогда если m = 3, то неравенство примет вид 0х < 6 и, значит выполняется при любом хR. Если же m = -3, то неравенство примет вид 0х < 0 и, следовательно, не имеет решении.

Пример: Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство

4а³х⁴ + 4а²х² + 32х + а + 8 0.

Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно х, так и относительно параметра а. Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на а, а затем сделать замену y = ax, то в новом многочлене максимальная степень параметра а будет равна 2. Случай а = 0 дает нам ответ х - ¼. Будем теперь считать, что а > 0. Умножив обе части неравенства на а и сделав замену y = ax, получим

4y⁴ + 4ay² + 32y + a² + 8a 0.

Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно а:

a² + (4y² + 8)a + 4y² + 32y 0,

¼D = (2y² + 4) ² – 4y² – 32y = 16(y – 1) ².

Раскладывая левую часть неравенства на множители, получим

(а + 2y² + 4y)(a + 2y² – 4y + 8) 0,

или

(2y² + 4y + a)(2y² – 4y + 8 + a) 0.

Второй множитель положителен при всех y, если а > 0. Приходим к неравенству 2y² + 4y + a 0, откуда, если 0 < a < 2, y ½(-2 -) или y ½(-2+); если а 2, y – любое. Возвращаясь к х, получим ответ.

Ответ: Если а = 0, то х - ¼; если 0 < a < 2, то х 1/2a*(-2 - ) или х 1/2a(-2 + ); если а 2, то х – любое.

П

Рис. 1, а

ример: Решить систему неравенств

х ² – 3х + 2 0,

ах² – 2(а + 1)х + а – 1 0.

Решение: Поскольку решением первого неравенства является 1 х 2, то задача сводится (при а 0) к выяснению расположения корней квадратного трехчлена f(x) = ах² – 2(а + 1)х + а –1 относительно отрезка [1; 2]. Имеем

¼D = (а + 1) ² – а(а – 1) = 3а + 1, f(1) = -3, f(2) = а – 5.

Область изменения параметра а оказалось разделенной на 4 части (не считая граничных точек).

1. Если а < - 1/3, второе неравенство, а следовательно и данная система не имеют решения. То же имеет место и при а = -1/3.

2. Е

   Рис. 1, б

   
   сли –1/3 < a < 0, то f(1) < 0, f(2) < 0. Для вершины параболы выполняется неравенство х_в = < 0 (рис. 1,а ). Следовательно, множество решении второго неравенства не содержит точек отрезка [1; 2]. Система

не имеет решения. То же имеет место и при а = 0.

1. Если 0 < a < 5, то f(1) < 0, f(2) < 0 (рис. 1, б). Значит, на всем отрезке [1; 2] f(x) < 0. Система вновь не имеет решения.

1. Е сли а 5, то f(1) < 0, f(2) 0 (рис. 1, в). Решением системы будет х₂ х 2 где х₂ – больший корень уравнения f(x) = 0.

О

Рис. 1, в

твет: Если а < 5, система не имеет решения; если а 5, то 1/а(а + 1 +) х 2.

Пример: Решить неравенство

2х² + х – а - 8 х² + 2х – 2а – 4.

Решить: Напомним, что неравенство а b эквивалентно двойному неравенству –b a b. В нашем случае после преобразования приходим к системе неравенств

а -х² + х + 4,

а х² + х – 4.

Изобразим на плоскости (х; а) множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе. При конкретном значении параметра а = решением нашего неравенства будут абциссы тех точек горизонтальной прямой а = , которые находятся в заштрихованной области. Найдем точки пересечения А(2; 2), В(-2; -2) наших точек парабол и вершину С(-0,5; -4,25) параболы а = х² +х – 4.

Далее получаем: если а > 2, то соответствующая прямая пересекается с заштрихованной областью.

Если –2 < a 2, то соответствующая прямая пересекается с заштрихованной областью по отрезку. Концами этого отрезка будут точки с абциссами ½(-1 + ) (больший корень уравнения а = х² + х – 4 или х² – х – 4 + а= 0).

Если –4¼ a -2, то горизонтальная прямая, соответствующая таким а, пересекается с заштрихованной областью по двум отрезкам. Решением неравенства будет