31056-1 (Рациональные уравнения и неравенства), страница 4

x² + 81x² / (9 + x)² = 40.

Решение. Воспользуемся формулой: a² + b² = (a – b)² + 2ab ((a b)² = a² 2ab + b² a² + b² = (a b)² + 2ab). Получаем:

(x – 9x / (9 + x))² + 2x9x / (9 + x) = 40, или

(x² / (9 + x))² + 18x² / (9 + x) = 40.

Пусть: (x² / (9 + x)) = t. Тогда t² + 18t – 40 = 0, t₁ = – 20; t₂ = 2. Получаем два уравнения:

(x² / (9 + x)) = 2; x² – 2x – 18 = 0; x_1,2 = 1 19,

(x² / (9 + x)) = – 20; x² + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0, x .

Ответ: x_1,2 = 1 19.

Однородные уравнения.

Пример 8.36. Решим систему уравнений

8 х² 6ху + у2 = 0,

х² + у² = 5.

Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у². Получится уравнение

8х² / у² 6ху / у² + у² / у² = 0 или 8х² / у² 6х / у + 1 = 0.

Введём вспомогательное неизвестное U = х / у. Уравнение примет вид

8U² 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни U₁ = 0,5; U₂ = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x / y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х² = 5, откуда х₁ = 1, х₂ = 1; соответственно у₁ = 2, у₂ = 2. Во втором случае получается уравнение17х² = 5, откуда х₃ = (5 / 17), x₄ = (5 / 17); соответственно y₃ = 4(5 / 17), y₄ = 4(5 /17).

Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x², 6xy, y²), одна и та же — она равна двум. Поэтому после деления на y² каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.

Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k относительно x и y, если P (x, y) — однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на y^k (если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.

Пример 8.37. Решить систему уравнений

y² xy = 12,

x² xy = 28.

Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если умножить первое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно второе уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y² 10xy + 3x² = 0, являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x² и решим уравнение 7U² 10U + 3 = 0 (здесь U = y / x, причём из второго уравнения системы следует, что x 0). Находим, что y = x или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев оба случая, найдём решения:

x₁ = 7, y₁ = 3; x₂ = 7, y₂ = 3.

Ответ: x₁ = 7, y₁ = 3; x₂ = 7, y₂ = 3.

Мы получили решения системы путём выведения из заданных уравнений вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях приводит к появлению “посторонних” корней — значений x и y, не удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить, подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.

Пример 8.38. Решим уравнение (x 1)⁴ + 9(x + 1)⁴ = 10(x² 1)².

Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неизвестные U и V:

U = (x 1)², V = (x + 1)².

Уравнение примет вид U² + 9V² = 10UV.

Это уравнение однородное, и после деления на V² оно становится уравнением относительно неизвестного W:

W = U / V = (x 1)² / (x + 1)².

Решим вспомогательное уравнение

W² 10W + 9 = 0.

Его корни W₁ = 1, W₂ = 9. Осталось решить уравнения

(x 1)² / (x + 1)² = 1 и (x 1)² / (x + 1)² = 9.

Из первого уравнения следует, что либо (x 1) / (x + 1) = 1, либо (x 1) / (x + 1) = 1.

Из второго получаем, что либо (x 1) / (x + 1) = 3, либо (x 1) / (x + 1) = 3. Решая получившиеся уравнения, видим, что первое из них не имеет корней, а из трёх остальных получаем x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 0,5.

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 0,5.

Пример 8.39.

3(x² – x + 1)² – 5(x + 1)(x² – x + 1) – 2(x + 1)² = 0.

Решение. Это так называемое однородное уравнение, т.е. уравнение вида

ay² + byz + cz² = 0,

где a, b, c, — заданные числа, отличные от нуля; y = y(x), z = z(x) — некоторые функции от x. Разделим обе части уравнения на (x² – x + 1)² 0:

3 – 5(x + 1) / (x² – x + 1) – 2((x + 1) / (x² – x + 1))² = 0.

Пусть (x + 1) / (x² – x + 1) = t, тогда 3 – 5t – 2t² = 0, т.е. t₁ = – 3; t₂ = 0,5. Следовательно:

(x + 1) / (x² – x + 1) = 0,5 = 1 / 2; 2x + 2 = x² – x + 1; x² – 3x – 1 = 0; x_1,2 = (3 13) / 2,

(x + 1) / (x² – x + 1) = – 3; x + 1 = – 3x² + 3x – 3; 3x² – 2x + 4 = 0; D = 4 – 48 < 0, x .

Ответ: x_1,2 = (3 13) / 2.

Решение симметрических систем уравнений.

Напомним, что многочлен P (x, y) называется симметрическим, если P (x , y) = P (y, x).

При решении систем уравнений вида

P₁ (x, y) = 0,

P₂ (x, y) = 0,

где P₁ (x, y) и P₂ (x, y) — симметрические многочлены, полезной оказывается такая замена неизвестных: x + y = U, xy = V. Напомним, что любой симметрический многочлен P (x, y) можно представить как выражение от U и V.

Пример 9.40. Решить систему уравнений

x ² + xy + y² = 49,

x + y + xy = 23.

Решение. Заметим, что:

x² + xy + y² = x² + 2xy + y² xy = (x + y)² xy.

Сделаем замену неизвестных: x + y = U, xy =V. Система примет вид:

U ² V = 49,

U + V = 23.

Сложив эти уравнения, получим уравнение U² + U 72 = 0 с корнями U₁ = 8,U₂ = 9. Соответственно V₁ = 15, V₂ = 32. Остаётся решить системы уравнений:

x + y = 8,

xy = 15,

x + y = 9,

xy = 32.

С истема x + y = 8, имеет решения: x₁ = 3, y₁ = 5; x₂ = 5, y₂ = 3.

xy = 15.

С истема x + y = 9, действительных решений не имеет.

xy = 32.

Ответ: x₁ = 3, y₁ = 5; x₂ = 5, y₂ = 3.

Пример 9.41. Решить систему

1 / x + 1 / y = 5,

1 / x² + 1 / y² = 13.

Решение. Сначала введём неизвестные X и Y:

X = 1 / x, Y = 1 / y,

а затем U и V: U = X + Y = 1 / x + 1 / y, V = XY = 1 / xy.

Получается система:

U = 5,

U² 2V = 13,

из которой U = 5, V = 6. Далее решая систему

X + Y = 5,

XY = 6,

находим X₁ = 2, Y₁ = 3; X₂ = 3, Y₂ = 2, откуда получаем x₁ = 1 / 2, y₁ = 1 / 3; x₂ = 1 /3, y₂ = 1 / 2. Можно сразу ввести неизвестные U = x + y, V = xy, получится система

U = 5V,

U² 2V = 13V²,

Приводящая к тем же решениям исходной системы.

Ответ: x₁ = 1 / 2, y₁ = 1 / 3; x₂ = 1 /3, y₂ = 1 / 2.

Уравнения и системы уравнений с параметрами.

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнения с параметрами задаёт множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

Например, линейное уравнение ax + b = c с неизвестным x можно рассматривать как уравнение с параметрами a, b, и c. Его решением при a 0 является x = (c b) / a. Если a = 0, то получается “уравнение” b = c, и если действительно b = c, то корнями данного уравнения являются все действительные числа. Если же b c, при этом a = 0, то данное уравнение корней не имеет.

Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Не приводя подробных определений, рассмотрим случай в качестве примеров следующие объекты:

• функция прямая пропорциональность: y = kx (x и y — переменные; k — параметр,k 0);

• линейная функция: y = kx + b (x и у — переменные, k и b —параметры);

• линейное уравнение: ax + b = 0 (x — переменная; a и b —параметры);

• уравнение первой степени: ax + b = 0 (x — переменная; a и b — параметры, a 0);

• квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0 (x — переменная; a, b и c — параметры, a 0).

Решить уравнение с параметрами означает следующее:

1. исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

Ответ к задаче “решить уравнение с параметрами” должен выглядеть следующим образом: уравнение при такихто значениях параметров имеет корни …, при такихто значениях параметров — корни …, при остальных значениях параметров уравнение корней не имеет.

Пример 10.42. Решим уравнение px = 6 с неизвестным x и параметром p. Если p 0, то можно разделить обе части уравнения на p, и тогда мы находим корень уравнения x = 6 /p. Если p = 0, то уравнение корней не имеет, потому что 0x = 0 для любого x.

Ответ: при p 0 уравнение имеет единственный корень x = 6 / p; при p = 0 уравнение корней не имеет.

Пример 10.43. Сравнить: a и 3a.

Решение. Естественно рассмотреть три случая:

Если a < 0, то a > 3a;

Если a = 0, то a = 3a;

Если a > 0, то a < 3a.

Пример 10.44. Решить уравнения ax = 1.

Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: x = 1 / a. Однако при a = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:

Ответ: Если a = 0, то нет решений; если a 0, то x = 1 / a.

Пример 10.45. Решить уравнение (a2 1)x = a + 1.

Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достачно рассмотреть такие случаи:

1. a = 1; тогда уравнение принимает вил 0x = 2 и не имеет решений;

2. a = 1; получаем 0x = 0, и очевидно x — любое.

3. a 1; имеем x = 1 / (a 1).

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа — это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, мы считаем целесобразным привести