24351-1 (Уравнения и способы их решения), страница 4

где , .

Многочлен имеет два действительных корня (оба простые):

, .

Многочлен имеет один простой корень . Следовательно, уравнение имеет один действительный корень .

Решая то же самое уравнение в множестве комплексных чисел, получим, что уравнение имеет, кроме указанного действительного корня, два комплексно сопряженных корня:

, .

Иррациональные уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное (либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют иррациональным уравнением. В элементарной математике решения иррациональных уравнений отыскивается в множестве действительных чисел.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать "лишние" корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни рационального уравнения корнями иррационального уравнения.

В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить то рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.

Приведем некоторые стандартные, наиболее часто применяемые методы решения иррациональных алгебраических уравнений.

1) Одним из самых простых приемов решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению. В этом легко убедиться, возведя обе части уравнения

в любую четную степень. В результате этой операции получается уравнение

множество решений которого представляет собой объединение множеств решений:

и .

Однако, несмотря на этот недостаток, именно процедура возведения обеих частей уравнения в некоторую (часто четную) степень является самой распространенной процедурой сведения иррационального уравнения к рациональному уравнению.

П р и м е р 1. Решить уравнение

, (18)

где , , - некоторые многочлены.

В силу определения операции извлечения корня в множестве действительных чисел допустимые значения неизвестного определяются условиями

, .

Возведя обе части уравнения (18) в квадрат, получим уравнение

.

После повторного возведения в квадрат уравнение превращается в алгебраическое уравнение

. (19)

Так как обе части уравнения (18) возводились в квадрат, может оказаться, что не все корни уравнения (19) будет являться решениями исходного уравнения, необходима проверка корней.

2) Другим примером решения иррациональных уравнений является способ введения новых неизвестных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.

П р и м е р 2. Решить иррациональное уравнение

.

Множество допустимых значений этого уравнения:

.

Положив , после подстановки получим уравнение

или эквивалентное ему уравнение

,

которое можно рассматривать как квадратное уравнение относительно . Решая это уравнение, получим

, .

Следовательно, множество решений исходного иррационального уравнения представляет собой объединение множеств решений следующих двух уравнений:

, .

Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два рациональных алгебраических уравнения:

, .

Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное уравнение имеет единственный корень .

В заключение заметим, что при решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнение с возведения обеих частей уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может существенно упростить его решение.

П р и м е р 3. Решить уравнение

. (20)

Множество допустимых значений данного уравнения: . Сделаем следующие преобразования данного уравнения:

.

Далее, записывая уравнение в виде

,

получим:

при уравнение решений иметь не будет;

при уравнение может быть записано в виде

.

При данное уравнение решений не имеет, так как при любом , принадлежащем множеству допустимых значений уравнения, выражение, стоящее в левой части уравнения, положительно.

При уравнение имеет решение

.

Принимая во внимание, что множество допустимых решений уравнения определяется условием , получаем окончательно:

При решением иррационального уравнения (20) будет

.

При всех остальных значениях уравнение решений не имеет, т. е. множество его решений – пустое множество.

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины, можно свести к уравнениям, не содержащим знака абсолютной величины, используя определение модуля. Так, например, решение уравнения

(21)

сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.

1) Если , то уравнение (21) приводится к виду

. (22)

Решения этого уравнения: , . Условию удовлетворяет второй корень квадратного уравнения (22), и число 3 является корнем уравнения (21).

2) Если , уравнение (21) приводится к виду

.

Корнями этого уравнения будут числа и . Первый корень не удовлетворяет условию и поэтому не является решением данного уравнения (21).

Таким образом, решениями уравнения (21) будут числа 3 и .

Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины, можно подобрать таким образом, что решениями уравнения будут все значения неизвестного, принадлежащие некоторому промежутку числовой оси. Например, решим уравнение

. (23)

Рассмотрим числовую ось Ох и отметим на ней точки 0 и 3 (ноли функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую ось на три промежутка (рис. 1):

, , .

0 3 x

рис. 1.

1) При уравнение (23) приводится к виду

.

В промежутке последнее уравнение решений не имеет.

Аналогично, при уравнение (23) приводится к виду

и в промежутке решений не имеет.

2) При уравнение (23) приводится к виду

,

т. е. обращается в тождество. Следовательно, любое значение является решением уравнения (23).

Трансцендентные уравнения

Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помощью алгебраических преобразований, называется трансцендентным уравнением ⁴).

Простешими трансцендентными уравнениями являются показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

Показательные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели степеней при некоторых постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением, решение которого сводится к решению алгебраического уравнения, является уравнение вида

, (24)

где и - некоторые положительные числа . Показательное уравнение (24) эквивалентно алгебраическому уравнению

.

В простейшем случае, когда , показательное уравнение (24) имеет решение

Множество решений показательного уравнения вида

, (25)

где - некоторый многочлен, находится следующим образом.

Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое относительно неизвестного . После этого решение исходного уравнения (25) сводится к решению простейших показательных уравнений вида (24).

П р и м е р 1. Решить уравнение

.

Записывая уравнение в виде

и вводя новую переменную , получаем кубическое уравнение относительно переменной :