24351-1 (Уравнения и способы их решения), страница 5
Описание файла
Документ из архива "Уравнения и способы их решения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "24351-1"
Текст 5 страницы из документа "24351-1"
.
Нетрудно убедиться, что данное кубическое уравнение имеет единственный рациональный корень и два иррациональных корня: и .
Таким образом, решение исходного уравнения сведено к решению простейших показательных уравнений:
, , .
Последнее из перечисленных, уравнений решений не имеет. Множество решений первого и второго уравнений:
и .
Н е к о т о р ы е п р о с т е й ш и е п о к а з а т е л ь н ы е у р а в н е н и я:
1) Уравнение вида
заменой сводится к квадратному уравнению
.
2) Уравнение вида
заменой сводится к квадратному уравнению
.
3) Уравнение вида
заменой сводится к квадратному уравнению
.
Логарифмические уравнения
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит в виде аргумента логарифмической функции.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
, (26)
где - некоторое положительно число, отличное от единицы, - любое действительное число. Логарифмическое уравнение (26) эквивалентно алгебраическому уравнению
.
В простейшем случае, когда , логарифмическое уравнение (26) имеет решение
.
Множество решений логарифмического уравнения вида , где - некоторый многочлен указанного неизвестного, находится следующим образом.
Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое уравнение относительно . После этого решаются простейшие логарифмические уравнения вида (25).
П р и м е р 1. Решить уравнение
. (27)
Относительно неизвестного данное уравнение – квадратное:
.
Корни этого уравнения: , .
Решая логарифмические уравнения
, ,
получаем решения логарифмического уравнения (27): , .
В некоторых случаях, для того чтобы свести решение логарифмического уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо предварительно сделать подходящие преобразования логарифмов, входящих в уравнение. Такими преобразованиями могут быть преобразование суммы логарифмов двух величин в логарифм произведения этих величин, переход от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием и т. д.
П р и м е р 2. Решить уравнение
. (28)
Для того чтобы свести решение данного уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо прежде всего привести все логарифмы к одному основанию (здесь, например, к основанию 2). Для этого воспользуемся формулой
,
в силу которой . Подставив в уравнение (28) вместо равную ему величину , получаем уравнение
.
Заменой это уравнение сводится к квадратному уравнению относительно неизвестного :
.
Корни этого квадратного уравнения: , . Решаем уравнения и :
,
,
П р и м е р 3. Решить уравнение
.
Преобразуя разность логарифмов двух величин в логарифм частного этих величин:
,
сводим данное уравнение к простейшему логарифмическому уравнению
.
Заключение
Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.
В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Я надеюсь, что мое сочинение может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений. В заключении хотелось бы отметить, что при написании данного сочинения я не ставил себе цели показать все виды уравнений, а излагал лишь имеющийся у меня материал.
Список использованной литературы
-
Глав. ред. М. Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.
-
Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.
-
Г. Корн и Т. Корн. Справаочник по математике для начуных работников и инженеров. – М.: Наука, 1970.- 720 с.
1) Под допустимыми понимаются те численные значения букв, при которых выполнимы все операции, совершаемые над буквами, входящими в равенство. Например, допустимыми значениями букв, входящих в равенство
будут следующие; для ; для , для
2) Если a и b имеют разные знаки, то .
3) Случай , аналогичен разобранному.
4) Под алгебраическими преобразованиями уравнения
Понимают следующие преобразования:
1) прибавление к обеим частям уравнения одного и того же алгебраического выражения;
2) умножение обеих частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение;
3) возведение обеих частей уравнения в рациональную степень.