24351-1 (675592), страница 2
Текст из файла (страница 2)
.
Квадратное уравнение
Алгебраическое уравнение второй степени.
, (3)
где 
, 
, 
– некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением. Если 
, то квадратное уравнение (3) называется приведенным.
Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
,
Выражение 
называется дискриминантом квадратного уравнения.
При этом:
если 
, то уравнение имеет два различных действительных корня;
если 
, то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;
если 
, то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:
, 
,
Частными видами квадратного уравнения (3) являются:
1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если 
), которое обычно записывается в виде
.
Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле
. (4)
Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.
2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде
(
- целое число).
Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле
. (5)
Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.
Корни приведенного квадратного уравнения
связаны с его коэффициентами Формулами Виета
,
.
В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:
если 
, 
, то оба корня отрицательны;
если , 
, то оба корня положительны;
если 
, , то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;
если 
, , уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.
Перепишем еще раз квадратное уравнение
(6)
и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если
+ +
, (7)
то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
,
откуда
, 
.
которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).
,
Заметим, что 
, поэтому
,
откуда
.
,
но 
, из формулы (7) поэтому окончательно
.
Если положить, что 
+ , то
,
Заметим, что 
, поэтому
,
откуда
,
но 
, 
поэтому окончательно
.
и
.
Двучленные уравнения
Уравнения n-й степени вида
(8)
называется двучленным уравнением. При 
и 
заменой 2)
,
где 
- арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению
,
которое и будет далее рассматриваться.
Двучленное уравнение 
при нечетном n имеет один действительный корень 
. В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и 
комплексных):
(
0, 1, 2, ..., ). (9)
Двучленное уравнение при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня 
, а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).
Двучленное уравнение 
при четном n имеет один действительный корней 
, а в множестве комплексных чисел 
корней, вычисляемых по формуле
( 0, 1, 2, ..., ). (10)
Двучленное уравнение при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет корней, вычисляемых по формуле (10).
Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.
1) 
(
).
Уравнение имеет два действительных корня 
.
2) 
(
).
Уравнение имеет один дествительный корень 
и два комплексных корня
.
3) 
(
).
Уравнение имеет два действительных корния и два комплексных корня 
.
4) 
( ).
Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: 
.
5) 
( ).
Уравнение имеет один дествительный корень 
и два комплексных корня
.
6) 
( ).
Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:
, 
.
Кубические уравнения
Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида
, где 
,
оказались "крепким орешком". В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.
Начнем с упрощения
Если кубическое уравнение общего вида
, где ,
разделить на , то коэффициент при 
станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения
. (11)
Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:
Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь на 
и перегруппируем слагаемые:
. (12)
Мы видим, что надлежащим выбором , а именно взяв 
, можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:
.
Если здесь сделать замену 
, получим кубическое уравнение относительно 
без члена с 
:
.
Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида
. (13)
Формула Кардано
Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:
.
Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу 
:
, или
.
Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений
или 
и взять в качестве сумму и . Заменой 
, 
эта система приводится к совсем простому виду:
Дальше можно действовать по-разному, но все "дороги" приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что 
и 
- корни уравнения
.
Выпишем эти корни:
Переменные и равны кубическим корням из 
и 
, а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:
.
Эта формула известная как формула Кардано.
Тригонометрическое решение
подстановкой 
приводится к "неполному" виду
, 
, 
. (14)
Корни 
, 
, 
"неполного" кубичного уравнения (14) равны
, 
,
где
, 
,
.
Пусть "неполное" кубичное уравнение (14) действительно.
а) Если 
("неприводимый" случай), то 
и
,
,
где
.
(b) Если 
, , то
, 
,
где
, 
.
(с) Если , , то
, 
,
где
, 
.
Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.
Биквадратное уравнение
Алгебраическое уравнение четвертой степени.
,
где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой 
уравнение сводится к квадратному уравнению 
с последующим решением двух двучленных уравнений 
и 
( и - корни соответствующего квадратного уравнения).
Если 
и 
, то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:
, 
.
Если , 
3), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня 
и мнимых сопряженных корня:
.
Если 
и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:
, .
Уравнения четвертой степени
Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.
Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени
можно избавиться от члена 
подстановкой 
. Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:
.
Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде 
, где левая часть – квадрат выражения 
, а правая часть – квадрат линейного уравнения 
от , коэффициенты которого зависят от 
. После этого останется решить два квадратных уравнения: 
и 
. Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде 
, тогда уравнение перепишется так:
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
