24351-1 (Уравнения и способы их решения), страница 3

. (15)

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

, или

.

Это уравнение называется резольвентным (т.е. "разрешающим"). Относительно оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При правая часть уравнения (15) принимает вид

,

а само уравнение сводится к двум квадратным:

.

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

Решим для примера уравнение

.

Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:

.

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

,

или, после упрощения,

.

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение

,

откуда . Корни образовавшихся квадратных уравнений - и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

Решение Декарта-Эйлера

подстановкой приводится к "неполному" виду

. (16)

Корни , , , "неполного" уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений

,

в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие

,

причем , и - корни кубичного уравнения

.

Уравнения высоких степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени ( ) можно "обслужить" одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.

После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

, ,

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его "Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах" (1832 г.; опубликован в 1846 г.).

Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.

Уравнения, которые решаются

Хотят уравнения высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнения выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.

В основе одного из таких приемов лежит теорема о рациональных корнях многочлена:

Если несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то ее числитель является делителем свободного члена , а знаменатель - делителем старшего коэффициента .

Для доказательства достаточно подставить в уравнение и умножить уравнение на . Получим

.

Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на , поэтому и делится на , а поскольку и - взаимно простые числа, является делителем . Доказательство для аналогично.

С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа "кандидатов". Например, для уравнения

,

старший коэффициент которого равен 1, "кандидатами" будут делители числа –2. Их всего четыре: 1, -1, 2 и –2. Проверка показывает, что корнем является только одно из этих чисел: .

Если один корень найден, можно понизить степень уравнения. Согласно теореме Безу,

остаток от деления многочлена на двучлен равен , т. е. .

Из теоремы непосредственно следует, что

Если - корень многочлена , то многочлен делится на , т. е. , где - многочлен степени, на 1 меньшей, чем .

Продолжая наш пример, вынесем из многочлена

множитель . Чтобы найти частное , можно выполнить деление "уголком":

0

Но есть и более простой способ. Он станет понятен из примера:

Теперь остается решить квадратное уравнение . Его корни:

.

Метод неопределенных коэффициентов

Если у многочлена с целыми коэффициентами рациональных корней не оказалось, можно попробовать разложить его на множители меньшей степени с целыми коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение

.

Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трехчленов с неизвестными (неопределенными) коэффициентами:

.

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

.

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях, получим систему уравнений

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором. Не ограничивая общности, можно считать, что , тогда последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь два варианта: , и . Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них дает искомое разложение: . Этот способ решения называется методом неопределенных коэффициентов.

Если уравнение имеет вид , где и - многочлены, то замена сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней: и .

Возвратные уравнения

Возвратным алгебраическим уравнением называется уравнение четной степени вида

,

в которых коэффициенты, одинаково отстоят от концов, равны: , и т. д. Такое уравнение сводится к уравнению вдвое меньшей степени делением на и последующей заменой .

Рассмотрим, например, уравнение

.

Поделив его на (что законно, так как не является корнем), получаем

.

Заметим, что

.

Поэтому величина удовлетворяет квадратному уравнению

,

решив которое можно найти из уравнения .

При решении возвратных уравнений более высоких степеней обычно используют тот факт, что выражение при любом можно представить как многочлен степени от .

Рациональные алгебраические уравнения

Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида

, (17)

где и - многочлены. Далее для определенности будем полагать, что - многочлен m-й степени, а - многочлен n-й степени.

Множество допустимых значений рационального алгебраического уравнения (17)

задается условием , т. е. , , ..., где , , ..., - корни многочлена .

Метод решения уравнения (17) заключается в следующем. Решаем уравнение

,

корни которого обозначим через

.

Сравниваем множества корней многочленов и . Если никакой корень многочлена не является корнем многочлена , то все корни многочлена являются корнями уравнения (17). Если какой-нибудь корень многочлена является корнем многочлена , то необходимо сравнить из кратности: если кратность корня многочлена больше кратности корня многочлена , то этот корень является корнем (17) с кратностью, равной разности кратностей корней делимого и делителя; в противном случае корень многочлена не является корнем рационального уравнения (17).

П р и м е р. Найдем действительные корни уравнения

,