Министерство общего и профессионального образования РФ

Муниципальное образовательное учреждение

Гимназия № 12

сочинение

на тему: Уравнения и способы их решения

Выполнил: ученик 10 "А" класса

Крутько Евгений

Проверила: учитель математики Исхакова Гульсум Акрамовна

Тюмень 2001

Содержание

1. План 1

2. Введение 2

3. Основная часть 3

4. Заключение 25

5. Приложение 26

6. Список использованной литературы 29

План.

1. Введение.

2. Историческая справка.

3. Уравнения. Алгебраически уравнения.

а) Основные определения.

б) Линейное уравненение и способ его решения.

в) Квадратные уравнения и способы его решения.

г) Двучленные уравнения способ их решения.

д) Кубические уравнения и способы его решения.

е) Биквадратное уравнение и способ его решения.

ё) Уравнения четвертой степени и способы его решения.

ж) Уравнения высоких степеней и способы из решения.

з) Рациональноное алгебраическое уравнение и способ его

решения.

и) Иррациональные уравнения и способы его решения.

к) Уравнения, содержащие неизвестное под знаком.

абсолютной величины и способ его решения.

1. Трансцендентные уравнения.

а) Показательные уравнения и способ их решения.

б) Логарифмические уравнения и способ их решения.

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попытался показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стал ограничиваться только действительным решением, но и указал комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений. К сожалению, из-за нехватки времени я не смог изложить весь имеющийся у меня материал, но даже по тому материалу, который здесь изложен, может возникнуть множество вопросов. Я надеюсь, что моих знаний хватит для того, чтобы дать ответ на большинство вопросов. Итак, я приступаю к изложению материала.

Математика... выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Историческая справка

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

уравнения. Алгебраические уравнения

Основные определения

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв ¹). Для записи тождества наряду со знаком также используется знак .

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: , , ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , , ... или , , ...); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: , , , ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , , ... или , , ...).

В общем виде уравнение может быть записано так:

( , , ..., ) .

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения.

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Если все решения уравнения являются решениями уравнения , то говорят, что уравнение есть следствие уравнения , и пишут

.

Два уравнения

и

называют эквивалентными, если каждое из них является следствие другого, и пишут

.

Таким образом, два уравнения считаются эквивалентными, если множество решений этих уравнений совпадают.

Уравнение считают эквивалентным двум (или нескольким) уравнениям , , если множество решений уравнения совпадает с объединением множеств решений уравнений , .

Н е к о т о р ы е э к в и в а л е н т н ы е у р а в н е н и я:

1. Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

2. Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

3. эквивалентно двум уравнениям и .

4. Уравнение эквивалентно уравнению .

5. Уравнение при нечетном n эквивалентно уравнению , а при четном n эквивалентно двум уравнениям и .

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

,

где – многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.

Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида

+ + ... + + ,

где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена _{, ,} , ..., , называются коэффициентами (или параметрами) уравнения и считаются заданными; х называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.

Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (реже решениями) алгебраического уравнения.

Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида F(х) , где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

Так вот, главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.

Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка(и) пересечения двух графиков даст решение(я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.

Линейное уравнение

Линейным уравнением называется уравнение первой степени.

, (1)

где a и b – некоторые действительные числа.

Линейное уравнение всегда имеет единственный корень , который находится следующим образом.

Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число , получаем уравнение

, (2)

эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину , получаем корень уравнения (1):