24351-1 (Уравнения и способы их решения), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Уравнения и способы их решения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "24351-1"
Текст 2 страницы из документа "24351-1"
.
Квадратное уравнение
Алгебраическое уравнение второй степени.
, (3)
где , , – некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным.
Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
,
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.
При этом:
если , то уравнение имеет два различных действительных корня;
если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;
если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:
, ,
Частными видами квадратного уравнения (3) являются:
1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если ), которое обычно записывается в виде
.
Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле
. (4)
Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.
2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде
( - целое число).
Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле
. (5)
Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.
Корни приведенного квадратного уравнения
связаны с его коэффициентами Формулами Виета
,
.
В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:
если , , то оба корня отрицательны;
если , , то оба корня положительны;
если , , то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;
если , , уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.
Перепишем еще раз квадратное уравнение
(6)
и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если
+ + , (7)
то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
,
откуда
, .
которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).
,
Заметим, что , поэтому
,
откуда
.
,
но , из формулы (7) поэтому окончательно
.
Если положить, что + , то
,
Заметим, что , поэтому
,
откуда
,
но , поэтому окончательно
.
и
.
Двучленные уравнения
Уравнения n-й степени вида
(8)
называется двучленным уравнением. При и заменой 2)
,
где - арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению
,
которое и будет далее рассматриваться.
Двучленное уравнение при нечетном n имеет один действительный корень . В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и комплексных):
( 0, 1, 2, ..., ). (9)
Двучленное уравнение при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня , а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).
Двучленное уравнение при четном n имеет один действительный корней , а в множестве комплексных чисел корней, вычисляемых по формуле
( 0, 1, 2, ..., ). (10)
Двучленное уравнение при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет корней, вычисляемых по формуле (10).
Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.
1) ( ).
Уравнение имеет два действительных корня .
2) ( ).
Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня
.
3) ( ).
Уравнение имеет два действительных корния и два комплексных корня .
4) ( ).
Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: .
5) ( ).
Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня
.
6) ( ).
Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:
, .
Кубические уравнения
Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида
, где ,
оказались "крепким орешком". В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.
Начнем с упрощения
Если кубическое уравнение общего вида
, где ,
разделить на , то коэффициент при станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения
. (11)
Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:
Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь на и перегруппируем слагаемые:
. (12)
Мы видим, что надлежащим выбором , а именно взяв , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:
.
Если здесь сделать замену , получим кубическое уравнение относительно без члена с :
.
Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида
. (13)
Формула Кардано
Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:
.
Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :
, или
.
Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений
или
и взять в качестве сумму и . Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:
Дальше можно действовать по-разному, но все "дороги" приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и - корни уравнения
.
Выпишем эти корни:
Переменные и равны кубическим корням из и , а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:
.
Эта формула известная как формула Кардано.
Тригонометрическое решение
подстановкой приводится к "неполному" виду
, , . (14)
Корни , , "неполного" кубичного уравнения (14) равны
, ,
где
, ,
.
Пусть "неполное" кубичное уравнение (14) действительно.
а) Если ("неприводимый" случай), то и
,
,
где
.
(b) Если , , то
, ,
где
, .
(с) Если , , то
, ,
где
, .
Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.
Биквадратное уравнение
Алгебраическое уравнение четвертой степени.
,
где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению с последующим решением двух двучленных уравнений и ( и - корни соответствующего квадратного уравнения).
Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:
, .
Если , 3), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и мнимых сопряженных корня:
.
Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:
, .
Уравнения четвертой степени
Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.
Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени
можно избавиться от члена подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:
.
Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения: и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде , тогда уравнение перепишется так: