Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу ВШ (1999)), страница 99

Возьмем теперь любую интегрируемую функцию у(х). Тогда для всякого е > 0 существует такое разбиение Т: 0 = хе « х„= 1 отрезка [О, 1], что выполняются неравенства а(Т) < 1(х) Ых < Я(Т), Я(Т) — 6(Т) < —, о где 6(Т) и 5(Т) — соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу, г е(Т) = ~ ~т~Г1хо $(Т) = ~ М~Ьхм ~-1 с=т нм — — )пГ у(х), М, = ецр 1(х). ~ела еевич Суммы Дарбу 6(Т) и Я(Т) можно представить также в виде где И(х) = пЬ,Н(х) = Мо если х Е Ьс — — [хв-пхс),1= 1,...,ю 665 и:ьоо и ме чоггсюн вниие Так как И(х) и Н(х) — кусочно-постоянные функции, то существует число Фо такое, что для всех Ф > Фо выполняются неравенства Ф 1 ~А-'~ И( и) — ~И(*) 1 ~<-', 3' п=1 о Ф 1 !Ю 1 ~ Н(хп) — / Н(х) Ых/ < —.

«=1 о Следовательно, имеем в(Т) — — < Ж '~~1 И(хп) < Ф 1~~1 Н(хп) < Б(Т)+ —, 3 3 «=1 л=1 Но поскольку для всех точек х Е [0,1] выполняется неравенство И(х) < ~(х) < Н(х), будем иметь Н-1 ~ ' И(Х«) < Н-1 ~ У(Х.) < Н-1 > Н(Х«), л=1 л»1 Поэтому из предыдущего неравенства получим е(Т) — — < Ф ' ~~~ У(х„) < Б(Т) + —. 3 3' Следовательно, имеем К 1 (Н '~.У(х.) — ( У(х) ~*~< К(Т) -6(Т)+" <., 3 »»1 о А это и означает, что выполняется утверждение 3). Докажем теперь, что из 5) следует 1).

Надо доказать, что 1пп РД) = О. Я-пол Для этого преобразуем функцию гй,о,Ф) = ~ ~у( .), п(О. 666 где 1, если а<х<!3, у(х) = Π— в противном случае. Заметим, что функцию у(х) можно представить в виде д(х) = р(!3 — х) — р(а — х) + (/3 — а), где р(х) = 1/2 — (х).

Рассмотрим далее периодическую функцию уе(х), с периодом 1, 1, если а<х<13. уо(х) = 1/2, если х = а,х.= 13, О, если О < х < об Д < х < 1. Она совпадает с функцией у(х) во всех точках, кроме точек х = а и х =,8, в которых она принимает значение, равное 1/2. Эту функцию можно предоставить в виде уо(х) = ро(/3 — х) — ре(а — х) + )3 — о, где 1/2 — (х), если х — нецелое число, р,!(х) = О, если х — целое число.

Ранее (см. лекцию 23, ч, 11!) для любого Ю > 1 мы получили неравенство е!и 2лпх ~Ро(х) ~Х' ) < Фл (х), лп а=! где !1!ч(х) = . Заметим, что последнее неравенство остается ! ч № в!и!;сх справедливым, если значение функции рс в целых точках, равное нулю, заменить на значение 1/2 функции р(х) = 1/2 — (х) в тех же точках. Разложим функцию !гв!(х) в ряд Фурье.

По лемме его коэффициенты Фурье с„, оцениваются следующим образом )с,„( < (я1!!) "(4+ 1п3!!)с Таким образом !т у(х) = !3 — а+ ) — (епт2яп(!3 — х) — з!п2яп(а — х)) + 33ч, яп !!ю! еет где [11н[ < и ОР— х) + Ф, (а — х). Положим М = [Ж!в Л!)+ 1. Тогда функцию )чо(х) можно представить в виде /!и М'! 4~у(х) = у с,„е~ '~*+ О ( — ) . [, М,) о<! !<и Теперь преобразуем функцию Р(фо,р), исходя из соотношений для функции о(х). Получим М '~(!.1;о,Ф) — (д — оП = М ' ~~',у( ) — (д — оН < <е < д-' ~ Ис [+ — ')([т„(д)[+ [т (о)[)+ ", 1<! 1<и где А > Π— некоторая постоянная, у (11) ~' о~ьа1д-я ) Заметим, что для любого вещественного числа !! справедливо равен- ство [т (!у)) = [т,„(0)[= т .

Возьмем любое число с > О, Выберем наименьшее число У нз условия А!пФ е — < —, Ф 2' т, е возьмем Ж= — !и — +1. Так как !пп с,! 1Т,„= О, то существует число Яо такое, что для Я-~ос всех Я > Яо и для всех п1, 1 < гп < М = [Ф 1ок Ж] + 1 выполняется неравенство [б)-1Т [ < 4(1+ 1п Ф) 1в Х Следовательно, для всякого е > 0 мы нашли число Оо такое, что для всех Я > Яо справедливо неравенство П(Я) = р [Ю 'г"(Фо,Ф) — (д — )[< о<а<Р<1 Это означает, что 1пп О(Я) = О. Ю-~се «(« 1 ()(( — 1 ~~, е2~«~(~~+;2) ) < «г«ч = «л«! 2«п ли«а( Так как о — иррациональное число, то е«п ли«а ф О.

Поэтому ггл« вЂ” ! О при Х вЂ” «оо. Следовательно, согласно критерию Г.Вейля последовательность 1аи+ 3) равномерно распределена по модулю 1. 2. Пусть о — иррациональное число и Ья„= я„«.! — х„-«о при и -+ оо. Тогда последовательность 1я„) равномерно распределена по модулю 1.

В частности, последовательность еи ли ои + з~и равномерно распределена по модулю 1. Положим хи.г! — яи = а+у„, 1пп у, = О. Рассмотрим тригонометрическую сумму а« Я = Ф ~е ~'~*" и=1 Тогда имеем ««« 2иииа )(г-1 л ' 2иии(и +«-2 ) «ге и=! «Ч л«-1 % Е2л!«ии + гэ«, ии1 где «г «Л(-1 ~, (~2 ! ( +1-яи) 2 ' + ) и=1 Отсюда получим ~л~1 етииии) г)л«( ф-1~е2и! хил«е2и«и«ил) Правая часть последнего равенства стремится к О при Ф -+ оо. Действительно, имеем )«« )Г«Л ~ < я 1 ~~«)Е 2и«'Ит"— 2 )«« 1) = — ~~«)е«пли«у„) < 2л)ги))(« '~~«,(уи)- и=1 и=« ии1 Теорема доказана полностью. Примеры. 1.

Пусть а и )« — вещественные числа и а иррациональное число. Тогда последовательность 1аи+)«) равномерно распределена по модулю 1. Действительно, прн любом фиксированном целом числе ги. отличном от нуля, пмеем Воспользуемся тем, что 1пп (у«~ = О. Получаем «-»с« Ю !ип Ж ~~1 (у ( — О «=1 Поэтому имеем 1пп ти = О Ю-Фх Так как 1 — ет»1 ~ О (ввиду иррациональности числа а), то !пп Ян = О, а это и означает, что последовательность (и«) равно- М-»о« мерно распределена по модулю 1. 3. Пусть !Р«) — последовательность чисел Фибоначчи: Р1 = 1, Рз = 1, Р„+1 = Р„ + Р„ 1 при и ) 2.

Тогда последовательность (!и Р„) равномерно распределена по модулю 1. Действительно, для Р„ имеет место формула 1 1+Я 1 — ъУ5 Отсюда получим Р«+1 1+ т/5 1пп— = о. Р„2 Следовательно, при и -+ оо имеем, что 1п Р„+1 — 1п Р« -э 1п а, поскольку число 1па является иррациональным. Значит, в силу утверждения примера 2 последовательность (!пР„) равномерно распределена по модулю !. 4. Пусть 1пп у' (и) = а — иррациональное число. Тогда последовательность )у(п)) равномерно распределена по модулю 1.

В самом деле, из теоремы Лагранжа о конечных приращениях имеем !пп Ьт(п) = а, Отсюда, используя утверждение примера 2, получим, что (Ц(п)) равномерно распределена по модулю 1. Прежде чем рассматривать следующий пример, докажем неравенство Г.Вейля — ван дер Корпута. Лемма. Пусть и1,..., ин — любые комплексные числа, Н натуральное число, 1 < Н < Н. Тогда справедливо неравенство < Н(И+ Н вЂ” 1) ~~~ (и«(~+ 1<««и 1(«<И 670 и-! п»й»+л Е +2(М+Н вЂ” 1) ~ (Н вЂ” Ь) л=! 1<»<и-л М и+и-! и- ! Нг ип = ~ ! ип п=1 т=о Возводя обе части этого равенства в квадрат, и, пользуясь неравен- ством Коши: )~ .ь„( <'> ! „)"> )ь„(', получим и Нг ~~~ ип < (1! + Н вЂ” 1)И~, пн1 где и+и-! и-! И' = ~ ~~~ ип »=1 ппо Преобразуем сумму И'. Для этого выделим сумму "диагональных" ЧЛЕНОВ И'1 И СуММу »НЕднаГОНаЛЬНЫХ" ЧЛЕНОВ И'г.

ИМЕЕМ И-1Н-! и+И-1 и - и -л = И'! + И'г »=о л=о где И-! и+И-1 — и„,п ~ п1=0 »=1 и+И-1 Игг = У ~~! ~~! (пп-,пйп-л+ йп ип Л). о«л<и-! Очевидно, справедливо равенство и+и-! »=1 п=1 б71 Здесь и обозначает число, комплексно сопряженное к числу и. Доказательство. Для удобства рассуждений определим числа а» для всех целых значений и следующим образом: ип = О при и < О и при и > Ф. Тогда имеет место равенство поскольку и„= 0 при и < 0 н при и > Ф.

Поэтому г И'г —— Н ««и Преобразуем сумму И'г. Для этого обозначим и — т =1, и — И = 1+И. Получим и-г н-пз-г и-ь И'г =,Г ~~', ~ ~)и~и(+ь + и~и(еь). =о ь=г Меняя порядок суммирования по И и по т в сумме И'г, и, переходя к неравенствам, имеем н-1 н-1н-ь-г и-ь )Иг)<2 У ~~,' ~~,'и~и~+о =2» (Н вЂ” И вЂ” 1) ~и и +л ««и л=1 « =о Лемма доказана. 5. Пусть для любого фиксированного натурального числа И последовательность (з«еь — к«) равномерно распределена по модулю 1.

Тогда (к«) равномерно распределена по модулю 1. Зафиксируем целое число т, отличное от нуля,, и натуральное число Н. По неравенству Г.Вейля — ван дер Корпута имеем г ( + )ь ) ~ г«««(« ~.л-«) Н )'1( е л=1 «=1 При любом' фиксированном И > 1 последовательность 1з„+ь — к«) равномерно распределена по модулю 1, следовательно, по критерию Г.ВеИля при Ф -) оо и-ь ег („+„- „) ьб Ф вЂ” Е «=1 Устремляя Н к бесконечности в предыдущем неравенстве, получим г — 1 ! г«о««„ и-«со ))( — Й' «=1 бтг В силу того, что последнее неравенство имеет место для сколь угодно больших Н, имеем а зто и означает, что (х„) р.р. птос) !.

6. Пусть 6 > 1 — некоторое фиксированное число. Пусть также предел 1пп Льх„= а является иррациональным числом. Тогда последовательность (х„)— равномерно распределена по модулю 1. Доказательство утверждения получается по индукции по параметру 6. При 6 = ! оно совпадает с утверждением примера 2. Предположим, что это утверждение. верно при 6 = пь Докажем его при 6 = т+ 1. Имеем ~ь(~ х )=!6 х+а — ~~ = Ь +'х.

+Л +'х„~~+ .+Ь члхьеь ь Отсюда при фиксированном 6 > 1 и при и -+ сс получим Ьь(Ь х„) -+ 6а, причем 6а — - также иррациональное число. Заметим теперь, что Ьз(з х„) = Ь (~6ьх„), В силу предположения индукции, примененного к последовательности (Ььх„), имеем, что последовательность (Ььх„) равномерно распределена по модулю 1 при любом фиксированном 6 > 1. Следовательно, из утверждения примера 5 имеем, что последовательность (х„) — равномерно распределена по модулю 1. В частности, отсюда следует, что последовательность значений многочлена у(п) со старшим козффициентом, являющимся иррациональным числом, будет равномерно распределена по модулю !.