Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу ВШ (1999)), страница 98

°,1к-~)), Пз = ((Е, 1ь): 1 Е дР, ~~ (Е < 1ь < Л(Ф)). Ограничимся здесь случаем, когда поверхность Пз является кусочно-гладкой ориентированной поверхностью. Она также является цилиндрической, а поверхности П~ и Пз можно представлять себе как "нижнюю" и "верхнюю" крышки этой цилиндрической поверхности. Следуег отметить, что множество Пз может быть и пустым, что, например, имеет место в случае, когда А есть й-мерный шар вида 1~э+ .. +1~а < 1. Тогда, очевидно, поверхности П~ и Пз являются полусферами вада 1з~+ +1ьз = 1 с условием 1ь < 0 и 1ь > 0 соответственно.

Покажем, что интеграл по поверхности Пз равен нулю. Действительно, поскольку Пз есть» — 1-мерная поверхность в пространстве Й измерений, то ее можно параметризовать 11 — — 11(й),...,1»» — — 1» 1(й), О = (иы...,и» 1) Е лз, Р(лз) = Пз. Заметим, что 1(и) является диффеоморфизмом. Предположим, что якобнан отображения 1: лз -+ Пз в точке й = ио не равен нулю, т.е. У(ио) = ~ О. Р(иы..., и» вЂ” 1) Тогда в силу непрерывности функции 1(и) в некоторой окрестности точки и = ио она отлична от нуля. Далее, согласно теореме об обратном отображении точка 1(йо) будет внутренней точкой множества Р (проекции множества А на гиперплоскость 1» = О). Но точка 1(бо)— граничная точка множества Р, что невозможно.

Следовательно, в любой точке и Е лз имеем равенство У(6) = ' ' = 0 Р(иы..., и»-1) Используя это, после замены переменных 1 = 1(6) в поверхностном интеграле получим Ф(1,1») Й1 Л . Л Й» 1 — Ф(1(О),1»)Х(и) Ии1 Л . Л Ни» 1 = О. пз Рассмотрим теперь интегралы по поверхностям П1 и Пю В силу определения ориентации поверхности (см. пример 812) имеем Ф(1,1») а, Л" Л 11», = ( — 1)"-' Ф(Е,1„Уз(1)) а,...а», п.

Ф(1,1») 11, л ли1», = (-1)" ~Ф(1,1„у,(()) м,... 11», и, Следовательно, справедлива цепочка равенств и, и, 658 г',(~~ дФ =(-е'-'~ ( ~1 — а.) а, . а., = / д1, У~Я =(-1) — ~ —, й,... (1, =(-1) — ~ —,Я1, Л" Л 11, = ь-~ Г дФ ь-~ Г дФ вЂ” мадли; Л. Ла» дФ(Г) д1ь 4 Теорема доказана. Замечание, Ограничение на множество Пз, наложенное пря доказательстве последней теоремы, на самом деле не являются существенными. Дело в том, что любое выпуклое тело Р в пространстве 2" можно рассматривать как бесконечно-гладкий образ другого выпуклого тела Ро С 2", граница дРс которогс не содержит отрезков прямой, а для такого тела множество Пз пусто.

Легко построить какое-либо бесконечно-гладкое в обе стороны отображение ~р такое, что р(Рс) = Р Ь Ф(Р) = Рс, причем ~р(Ф(2)) = и для всех и Е К~; В качестве соответствующего примера рассмотрим отображение Ф(й), задаваемое равенством Ф(й) = ко + (2 — йо) (1 + е 1 '~ ) Здесь яо — некоторая фиксированная внутренняя точка тела Р С Ж", а б > 0 — вещественная постоянная. Тогда тело Рс получается как образ Р при отображении ф. Ясно, что.обратное отображение у всегда существует, причем как у, так и ф являются бесконечно-гладкими. С другой стороны, с помощью стандартных вычислений можно показать, что при достаточно малом (в зависимости от отношения минимального и максимального расстояний от точки ко до границы дР тела Р) значении параметра б тело Ро. будет выпуклым и его граница ВРо не будет содержать отрезков прямой.

Учитывая достаточную громоздкость зтих выкладок и большой произвол в выборе отображения Ф, проводить их здесь мы не будем, а ограничимся только сделанным замечанием. Лекции 16 ДОПОЛНЕНИЕ. 1 1. ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЛЕММА ОБ ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке ввел в математику ГВейль (Н.Рlеу1.()Лег д1е С!еасбиег1еа(ипд иоп ХаИ1еп тод. Ета МайЛ. Апп.,1916, В4.77, 5.313— 352). Он заложил основы теории равномерного распределения, которая получила дальнейшее развитие в теории чисел, теории функций, классической механике. Здесь мы докажем критерий равномерного распределения значений числовой последовательности на отрезке, принадлежащий Г.Вейлю. Пусть хы..., х„,...

— последовательность вещественных чисел. Построим последовательность дробных частей (х~),..., (х„),.... Для простоты изложения в дальнейшем будем считать, что все члены последовательности (х„) находятся. на полуинтервале [О, 1). Пусть Е(А') = Е(А', а, д) обозначает количество членов последовательности (х„), таких, что и < Ю и а < (х„) < д, причем О < о < д < 1. Положим Р(г7) = зир /У 'Е(Ю, о, д) — (д — а)). о<п<а<~ Величина Р(Х) называется ошклонением первых Ф членов последовательности (х„).

Определение. Последовательность (х„) называется равномерно распределенной по модулю, равному единице (р.р. шо4 1 или просто р.р.), если 1пп Р(А') = О. нчсю Для дальнейшего нам будет необходима следующая лемма об оценке сверху абсолютной величины коэффициентов Фурье одной функции. Лемма. Пусть задано разложение функции 1 и )=Ф ю= 1 -.'-К в ряд Фурье ~~(х) = ~~ с е ~' т=-оо еао Далее, поскольку по разным берегам разреза значение квадратного корня от аналитической функции отличаются только знаком, а направления обхода по отрезкам 64 и Еь — противоположны, то у( ) Ь!г = / Дх) )22.

Пусть . = х+ 26, х Е 6). Тогда при 6-+ +ос имеет место равномерный предел 2кФК3к у(2) = =60. ~/62+ 6!и Ях 6 Здесь мы воспользовались теоремой Вейерштрасга, поскольку для некоторой постоянной с ) 0 справедливо неравенство )2(2)! = !2(х+ 26)! < се Следовательно, по теореме о переходе к пределу под знаком собственного интеграла от функции, зависящей от параметра, получим !пп ~(2) Ых = !пп Дх) НК = О. ь-~ е ~,/ Ь-К+ Таким образом, имеем к.=)Ы*)ы*=2 ю )Х)*)~ =2) ~)*)~.

61 Ьк 3К Заметим, что 6!и (х22) = ь'6)2 (я2). Поэтому интеграл К, преобразуется к виду +ко екΠ— ( е 2"'"' ,-г ) а К Очевидно, имеем КД вЂ” (П (Е + 1/! + 62) ЕКК вЂ” 6+ .ОУ! + 62 е ' = — 6+ Я+62, 6)Ьха = 6, Выполним в последнем выражении для интеграла К, замену переменных вида х = Ь вЂ” а. Получим е — 2к~п!к+к) К,=2! о 662 Используя формулы, и+в и — в п+ю и — и яЬи+яЬе= 2вЬ вЂ”,сЬ, вЬп — яЬЛ вЂ” 2сЬ вЂ” — вЬ 2 2 найдем вЬ гг(я+а) — вЬ ла = вЬл(х+2а) айгг:г. Следовательно, интеграл К, примет вид Ела е -2агвх К =2е г(х=2г " " ба ,/ вЬЛ(х+2а)вЬлх я Так как при х > О функция в1гх — монотонная и вЬля > лх, то справедливы неравенства 2а а эа е -2ал1х 1 лх вЬ гг(х + 2а) о 2а Далее, имеем (яЬ2ла = 2гьг1+ г~): 2а 1 / Нх 8а 2 <— ~/ляЬ2лп аГ ь/х я'вЬ2ла гг а После замены переменной 1 = ех получим ° l В результате замены переменной и = 1/1 находим +ах г 1 1.1-е 2аа 1 сЬло 1 Я+я = — 1п = — 1и — = — 1и —.

2 1 — е 2"а 2 яЬла 2 я Таким образом, справедливо неравенство ,аг1+ Я2 а ~ + л л е ввз Наконец, получаем оценку для коэффициента Фурье е / 11, 4+!пУ,лдч е м Лемма полностью доказана. Заметим, что в дальнейшем мы могли бы воспользоваться более слабыми оценками коэффициентов Фурье функции 1!чч(х), но приведенная оценка имеет самостоятельный интерес. 1 2.

КРИТЕРИЙ Г. ВЕЙЛЯ Докажем теперь следующую теорему, которая называется критерием Г.Вейля равномерного распределения значений последовательности по модулю, равному единице. Теорема. Эквивалентны следующие утверждения: 1) последовательность (х„) равномерно распределена по модулю единица; 2) пря любых фиксированных а и !1, 0 < а < )3 < 1, имеет место соотношенне Р(Ф, а, )1) 1Ч->со Ф 3~ для любой янтегрируемой по Римаиу функции 1(х), определенной 'на отрезке (О, 1], справедливо соотношение 1Ч 1 !пп м ~~1 у(х„) = / у(х) пх; о=1 о 4) для любой непрерывной функции Г(х) имеем М 1 !пп ю ' ~~1 у(х„) = ~ у(х) пх; ло1 а 5) при любом целом числе т ~ 0 имеем 1Ч йп У-1Ъ-ег„.-.. 0 1ч-1о~ л=1 ~Уокозаетельстео.

Очевидно, из определения имеем, что из первого утверждения теоремы следует второе утверждение. Кроме того, из третьего утверждения следует четвертое утверждение, а из него следует утверждение 5). Остается только доказать, что справедливы импликации: 2) =ь 3) и 5) =ь 1). Докажем, что из утверждения 2) следует утверждение 3). Определим периодическую функцию д(х) с периодом 1 равенством 1, если а<х<13, д(х) = 0 — в противном случае. Тогда утверждение 2) можно представить в виде И 1 1пп Ф ' ~ д(х„) = ~ д(х) Ых. зко а Заметим, что если последнее равенство выполняется для несколькик функциий д~ (х),..., дь (х), то оно выполняется для любой линейной комбинации с~д~(х) + ° + сьдь(х) с вещественными коэффициентами сы.,.,сю Следовательно, это равенство имеет место для любой кусочно-постоянной функции.