Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу ВШ (1999)), страница 100

Примерные вопросы и задаЧи к коллоквиумам и экзаменам Семестр 1, коллоквиум №1 1. Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения, функции. Взаимно - однозначное соответствие. Обратная функция. 2. Эквивалентность множеств. Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел. 3.

Теорема Г.Кантора о неэквивалентности множества и множества всех его подмножеств. 4. Множество мощности континуум. Несчетность континуума. б. Иррацяональность квадратного корня из двух. Десятичная запись вещественного числа. Свойства вещественных чисел. Аксиома Архимеда. 6.

Теорема о существовании точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества. Т. Лемма об отделимости множеств. Лемма о системе вложенных отрезков. Лемма о последовательности стягивающихся отрезков. 8. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности и их свойства. 9. Неравенство Бернулли и бином Ньютона. 10. Сходящиеся последовательности и их арифметические свойства.

11. Предельный переход в неравенствах. 12. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. 13. Число»е» н его иррациональность. Постоянная Эйлера. 14. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела ограниченной числовой последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности. 15. Критерий Коши сходнмостн последовательности.

16. Теорема Штольца. Предел последовательности средних арифметических членов сходящейся последовательности. Существование решения уравнения И.Кеплера. 17. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии. Итерационная формула Герона. Предельные соотношения: [гп! О I» ! и ) 0 [птг и I» »-гоо »-гсо Заг!а»» к как.гака»у.чу Ь. Доквввть, что [а,Ь) (»,Ь), [а,Ь[ [а,Ь). гь аирА га — 1п((-А), яирАыВ = шах(аирА,аарВ). „г ' 3. а) 1»п — "„= О, гдг Ь вЂ” постоя»и»я.

-г б). 1»п»(ан — 1) = !па, а > О. 4. Пусть 1»п я = +со. Тогда 1ип -~Я-'-~-*" = +со. -г с г се пусть р > О д»я всех» е)г[ и !1пг р» = р, тогда пг» (рг.,.р»)г!» =р. -г 6. Исходя из 1мп (1+ 1/и) = е доказатги что 11ш —,— ",7« = е. -и и -. и (и!)г 7. Доказать, что последоеательиость аи = (1+ 1/п)и+и строго убывает тогда и только тогда, когда р > 1/2. 6. Для любого рационального числа и с условием [и[ < ! справедливо раиемство 1 + г < е" < 1 + — " 9.

1пп / г + ! +... г1=1п2. +г +г . г ) ю 10. Пусть хи — последовательмость с ограмичеииым измемеиием, т.е. существует С > О, такое, что для всех и б И имеем ~.„ г[сьтг — кь[ < с. Тогда последовательность к сходится. 11. Пусть 0 < к .г < х + хи. Тогда существует предел )мп 12.

а) 1пгг (а +6«) < 11пг а + !Ьп 6, если последние пределы существуют. г п б). Если существует предел 1пп а = а и 1(гп 6„,ю 6, то !пп а«6« = а6. и« и-гги -гю в). !шг а = — )[Ш (-аи). -гю г г 13. Пусть )пп аи ш+оо. Тогда существует гшпа«. -гю «ен 14. Пусть 1пп а = а. Тогда последовательмость (а ) имеет либо наибольший, либо маимемьший злемемт, либо и тот и другой. 16. Пусть и = аг + + а -+ +оо, аь > О, йпг аи = О.

Тогда множество -КЮ предельны» точек дробных частей (ги) совпадает с отрезком [0,1]. 16. Пусть йш (гиег — зи) = 0 и ме существует ми конечного, ми бесконечного предела 1пп ги, и пусть 1= !1ш и, ь = 1мп и . Тогда последовательиость ги и-г расположема всюду плотмо ма отрезке [1, Ц. 17.

а) Пусть а > 0 и !пп а = О. То~да существует бескоиечмо много номеров и, таких, что аи > шах(аиег,а«аз,аиьг,...). б) Пусть аи > 0 и 1пп а = О. Тогда существует бескоиечмо много иомеров п, таких, что аи < пап(аг,аг,...,аи-г). Семестр 1, коллоквиум №2 1. Предел функции в точке. Функции, бесконечно малые в точке. Финальная ограниченность функций, имеющих предел в точке. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Свойгтво монотонности предела функции. 2. Критерий Коши существования предела функции по базе множеств. 3, Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.

4. Теоремы о пределе сложной функции по базам множеств. 5. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность синуса и показательной функции. 6. Замечательные пределы. 7. Разрывы функции в точке и их классификация.

Разрывы монотонных функций. В. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема о непрерывности обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность уравнения Кеплера. 9. Теоремы Коши о промежуточных значениях функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функциями, непрерывными на отрезке.

10. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на отрезке. Свойства открытых и замкнутых множеств на числовой оси. 11. Лемма Бореля о конечном покрытии компакта открытыми множествами. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на компакте. 12. Понятия дифференциала и производной функции.

Геометрический смысл производной и дифференциала. Односторонние производные. Связь дифференцируемости и непрерывности функции. 13. Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциремость решения уравнения Кеплера. 14. Производная суммы, произведения и частного двух функций Производные элементарных функций. 15. Производные и дифференциалы высших порядков. Формулы Лейбница и Валле Пуссена. 16. Теорема Дарбу о возрастании функции в точке. Теорема Рояля о нуле производной. Теоремы Коши и Лагранжа о конечных прирашениях.

17. Теорема Ферма об экстремуме функции. Теорема Дарбу о промежуточном значении производной. Теорема о точках разрыва производной на интервале, Задачи к колле еиуму 1. Доказать, что а) Цгп — *, =0(а> 1, п>0), б) 1пп — бф — =0(а>1,е> -евое * -г ч о).

3. Пусть функшгя /(х) ограничена на любом интервале (1,6), 6 > 1. Тогда а) йпт /~-) = йпг (/(к+1) /(к)); б) 1пп (/(т)) (* = 1пп /~~у ) ~ (/(в) > С >о). 3. Пусть функция /(к) ограничена на любом интерыеле (1,6), 6 > 1, и пусть йпг (/(х+ 1) — Лк)) = оо. Тогда )пп /~З. = со. е- ° а 4. Пусть при т > 1 задана последовательность вещественнозначнык функций Л(л), Л(х),...,/ (в),.... Тогда найдется функция Лх), растущая быстрее любой из етик функций при к -г -1-оо.

б. Пусть /(т) непрерывна на отрезке (о,6). Тогда функции ( -с, если /(х) < -с, Д(к) = .Г(х), если )/[с)~ < с, с, если Лг) > с, где с > Π— любое вещественное число, го(х) = 1пг /(у), М(х) = еи1з /(у), <в<* «<н<* также непрерывны. б. Пусть У(х) непрерывна и ограничена н» интервале (а,+со), любого числа т найдетса последовательность х» -++со, такаЯ, что 1!пг (т(х„+ з-з+ Т! — Т(х )) м О. 7. Пусть т'(х) непрерывна на отрезке [»,6] и о = хе < х! « х = Ь. Тогда существует точка ( Е (»,6), такая, что У(с) = В. для того, чтобы функцию 1(хзь непрерывную на конечном интервале (»,6), можно было продолжить непрерывным образом на отрезок [»,6] необходимо и достаточно, чтобы функция у(х) был» равномерно непрерывна на интервале (а, Ь).

9. Пусть функция Дх) определена на всей числовой оси, непрерывна кот» бы в одной точке, периодична и отлична от постоянной, Тогда она имеет наименьший положительный период. 10. Пусть функция ((х) непрерывна на всей числовой оси, отлична ог постоянной и удовлетворяет функциональному уравнению' /(х+ у) = у(х) !(у] Тогда У(х) = а*, где а = ((1). В этой задаче условие непрерывности можно заменить на условие ограниченности функцик на любом интервале (О,п). 11, Доказать, что функция е Ы*, ес»и хЗГО, [ О, если т=о, бесконечно дифференцируема при х = О.

12. Привести пример функции, определенной на всей числовой оси, непрерывной и разрывной почти всюду на ней. 13. Пусть уравнение х~+рх+д = О, р, т б Р. имеет три различнык вещественных корня. Тогда р < О. 14. !1усть функция /(х) имеет производную (и — 1)-го порядка на интервале (»,6), и раз дифференцируема на отрезке [»,Ь] и справедливы равенства ((хе) — ((хг) ж ° = У(х~) (о = хс < х! < ." < х = 6). Тогда существует точка ( Е (»,6), такая, что Т(е](О = О. 15. Пусть функция 1(х) дифференцируем» на [1,-)-со) и !пп У'(х) = О. з ~+» Тогда !нп Т~~~ = О. И наоборот, если Ях) = о(х), то ()гп ]У'(х)[ = О.

*.+ т 16. Пусть функция /(х) непрерывна на [а,+го), 1(а) < О и при некотором положительном й для всех х > а выполняется неравенство Т (х) > .Й Тогл» уравнение У(х) = О имеет единственный корень в интервале (и, а — у(а)/6). 1т. пусть функции /(х) и у(х) дифференцируемы и раз при х > хо, пусть также ~!(хс] = у(хс), Т(а](хо) = у!"](хс) при Ь = 1,...,п — ! и „г!"](х] > у!"](х) пРи всех х > хс. Тогда при х > хс справедливо неравенство,г(х) > у(х).

Семестр 11, коллоквиум 1. Критерий Римана интегрируемости функции на отрезке 2. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману. 3. Интеграл Римана как предел по базе. Классы интегрируемых функпий. 4. Основные свойства определенного интеграла. Аддитнвность интеграла о ", 5. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегриро- вания.

Производная интеграла. 6. Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля, 7. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. 8. Первая и вторая теоремы о среднем значении. 9. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, 10. Неравенства, содержашие интегралы. 11. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.

12. Определение несобственного интеграла. Критерий Коши и достаточное условие сходимости несобственных интегралов. 13. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Специальные признаки сходимости. 14. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном наг~трале. 15. Кривые в многомерном пространстве.