Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу ВШ (1999)), страница 101

Теорема о длине дуги кривой. 16. Плошадь плоской фигуры и обьем пространственного тела. Определение меры Жордана. 17. Критерий измеримости множества по Жордану. 18. Свойства меры Жордана. Измеримость спрямляемой кривой. 19. Связь между интегрируемостью функции по Риману и изме- римостью по Жордану ее криволинейной трапеции, 20. Определение и свойства меры Лебега. Интеграл [!ебега. Интеграл Стильтьеса.

Задачи к коллокеарму ы Пусть 7(х) б В[а,6). Тогда точки непрерывности функции Пх) иа отрезке [а,6] образуют всюду плотное множество. 2. Пусть У(х) б 77[а,6]. Тогда для выполиеиия равенства ] 7т(х) дх = О необходимо и достаточно, чтобы Х(х) = О во всех точках иепрерывиости функции У(х) иа отрезке [а,6].

ь 3. Пусть 7(х) Е 77[а,6]. Тогда функция Пх) удовлетворяет условию ()пг Г]7(х.~- ь-ьо, Ь) — 7(х)] до = О. г у к , тг 4. Найти предел )пп — (к)п — „+ мп — + . + мп -ьс !' б. Пусть 7(х) б С[О,+со), )пп 7(х) = А. Найти предел йгп Зо 7(пх) дх. к то Х 8. Пусть 7(х) мепрерывяая периодическая функция с периодом Т. Тогда функцию Г(х) = 7 Пх) дх можио представить в виде суммы линейной функции и ко периодической функции с периодом Т. т. Пусть Лх) — миогочлем степеии большей ц Тогда ] шп(7(х)) дх сходится. о бтв Пусть /'(х) —. мои«таира и ]/'(х)] > А иа [а, Ь].

Тогда имеем ! ь /" ыьп(/(х)) !»х < ф. 9. Пусть /«(х) — иепрерывиа и [/«(х)] > А иа [а,Ь). Тогда имеем ь (а»п(/(х)) !»х < -А. 10. Пусть фуякцип Дх) моиотоипа па иптервале (О,а) и существует интеграл [ х'„г(х) г»х. Тогда »пп х!'» /(х) = О. о *-!го ь 11. Пусть /(х) б /»[а,Ь]. Тогда (пп /'/(х)юп«х Нх = О. ь ь 12. Пусть /(х) б )»[а,Ь]. Тогда йш (/(х)]з»пгьх] !(х = о /'/(х) !(х. -+ ьь (!о! ! 13.

Пусть /(х) б /»[0,1], Тогда »пп о 2. /(!"„») ю (/(х) !(х. о 14. Пусть /(х) б /»[0,1). Тогда »пп „= О. ]) 2/»«(«+ ! )! 16. Доказать формулу Валлиса т = )пп ( и«) —, интегрируя по отрезку [О,х/2) нераьеиство з»пт«ы х < мп!" х < мпт" ' х. 17. Пусть функция /(х) ограиичеиа. Для того чтобы / б Я[о,б] пеобходимо и достаточно, чтобм для любого е > 0 и любого б > 0 мпожество точек отрезка (а,6], в которых /(х) имев~ колебание больше чем е, можно покрыть коиечиым числом интервалов, сумма длин которых меньше б (Критерий Дюбуа-реймоиа). 13. Пусть / у б Я[а,6].

Тогда гпах(/,д) б/Ь[«,6] и пап (/ 9) б В[а,6]. ь 19. Пусть а(!) Ь(!) б С[а Ь) и ((а(Г)х (Г)+ Ь(!)х(!)) !»! = 0 гх(!) б П»[а Ь], х(а) = х(6) = О. Тогда функция а(!) диффереицируема и а'(!) = Ь(!). 20. ПРи ь > 1 имеем ь(ь) = х,' и ' = ь / ~~3)г- г»х+ —,! + о, Р(х) = о — (х). «! ! 21. И (Д ) — ! ) 23. Пусть /(х) > О и ие убывает иа [1,+со), и пусть при х -ь +со справедливо соотношение [ /]„-)- Ыи х.

Тогда имеем /(х) х при х -+ +со. ! 23. Пусть /(х) > 0 иа [О,+ос), и пусть при б -ь О+ справедливо равенство + Т /(!)е о! !»! т. тогда при т -++оо имеем (/(! ы!) т. о о 24. Пусть Дх) > 0 па [а,6] и / б В[«,6). Тогда справедливо равеиство ; »Р« )пп / /" (х) ах = апр Дх). ь е(,ь! Семестр П, экзамен 1.

Критерий Римана интегрируемости функции на отрезке 2. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману. 3. Интеграл Римана как предел по базе. Классы интегрируемых функций. 379 4.

Основные свойства определенного интеграла, Аддитивногть интеграла. 5. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла. 6. Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля. 7. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. 8. Первая и вторая теоремы о среднем значении. 9. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. 10. Неравенства, содержащие интегралы.

11. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману. 12. Определение несобственного интеграла. Критерий Коши и достаточ1юе условие сходимости несобственных интегралов. 13. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Специальные признаки сходимости. 14. Формулы замены переменной. и интегрирования по частям в несобственном интеграле. 15. Кривые в многомерном пространстве, Теорема о длине дуги кривой. 16. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана.

17. Критерий измеримости множества по Жордану. 18. Свойства меры Жордана. Измеримость спрямляемой кривой. 19, Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции. ' 20. Непрерывные функции в И". Дифференцируемые функции в 1с". Достаточное условие дифференцируемости функции в точке. 21. Теорема о дифференцировании сложной функции. Инвариант- ность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования.

Производная по направлению. Градиент. Геометрический смысл дифференциала. 22. Частные производные высших порядков. Теоремы о равенстве смешанных производных второго порядка. 23. Дифференциалы высших порядков. Достаточное условие дифференцируемости. Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. 24. Приложение формулы Тейлора. Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточное условие экстремума. 25.

Неявные функции. Теорема о неявной функции. 26. Система неявных функций. Теорема теорема о системе неявных функций. Теорема об обратном отображении. 27. Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа. 880 Семестр 111, экзамен 1. Сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Формулировка критерия Коши.

Общий член и остаток ряда. 2. Признаки сходимости рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши, Куммера и Раабе), Интегральный признак Коши — Маклорена. Сходимость ряда дзета-функции Римана. 3. Признаки сходимости Лейбница, Абеля и Дирихле для произвольных числовых рядов. 4. Абсолютная и условная сходимость рядов.

Перестановки членов абсолютно сходящегося ряда. Ь. Теорема Римана о перестановках членов в условно сходящихся рядах. 6. Теорема о произведении абсолютно сходящихся рядов. Теорема Мертенса о произведении рядов. 7. Теоремы о сходимости двойного и повторных числовых рядов.

8. Равномерная сходимость функциональных рядов. Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда. Критерий Коши и признак Вейерштрасса для равномерной сходимости функционального рида. 9. Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости ряда. 10. Теорема Дини о равномерной сходимости функционального ряда. 11. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. 12.

Теорема о двойном и повторных пределах по базам множеств. 13. Степенные ряды. Радиус сходимости. Теорема Коши Адамара. Теорема Абеля о непрерывности суммы ряда на отрезке. 14. Бесконечные произведения. Признак абсолютной сходимости. Выражение гамма-функции в виде бесконечного произведения, формула Эйлера и функциональное уравнение для гамма-функции. 15.

Непрерывность собственных интегралов, зависящих от параметра. Правило Лейбница. Теорема о равенстве повторных интегралов. 16, Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле для равномерной сходимости несобственных интегралов. 17. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости несобственных интегралов. 18. Теорема о повторных интегралах с бесконечными пределами. Вычисление интеграла Дирихле.

19. Интегральное представление для гамма-функции Эйлера. Формула дополнения. Формула Стирлинга. 20. Теорема о приближении функции Бернулли тригонометрическим многочленом. 21. Неравенство Бесселя для строго регулярной функции. Полнота замкнутой ортонормированной системы. 681 22. Теорема о замкнутости тригонометрической системы функциЯ. 23. Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье для строго кусочно-гладкой функции.

24. Ядро Дирихле и интегральное представление частичной суммы ряда Фурье. Принцип локализации Римана. 25. Признак Дини для сходимости ряда Фурье. Признаки Липшица, Жордана и Дирихле. 26. Разложение котангенса на простейшие дроби. Представление синуса в виде бесконечного произведения. 27. Ядро Фейера. Аппроксимационная теорема Вейерштрасса для тригонометрических и алгебраических многочленов. 28. Методы Лапласа и стационарной фазы.

Семестр 1т', экзамен 1. Двойной интеграл Римана как предел по базе. Критерий Римана интегрируемости функции от двух переменных по прямоугольнику. 2. Эквивалентность трех формулировок критерия существования двойного интеграла по прямоугольнику.

Специальный критерий интегрируемости функции двух переменных по прямоугодьнику, связанный с равномерными разбиениями. 3. Критерий измеримости по Жордану цилиндрической криволинейной фигуры. 4. Эквивалентность двух определений — обобщенного и через характеристическую функцию множества, — двойного интеграла по ограниченной области, измеримой по Жордану. 5. Критерий измеримости по Жордану плоского множества. 6. Основные свойства двойного интеграла (лннейностть интегрирование неравенств, теорема о среднем, аддитивность), Сведение двойного интеграла к повторному.

7. Интегрируемость функции двух переменных: а) непрерывной на прямоугольнике, б) непрерывной и ограниченной на множестве, измеримом по Жордану. 8. Теорема об оценке погрешности при замене приращения гладкого отображения на его дифференциал на компактном выпуклом множестве. 9. Лемма о площади образа выпуклого множества при гладком отображении. Замена переменных в двойном интеграле. 10.

Критерий Лебега интегрируемости функпии двух переменных по Риману. 11. Несобственные интегралы первого и второго рода. Критерий сходимости и признак сравнения для несобственного интеграла первого рода от неотрицательной функции. 12. Площадь поверхности. Выражение площади поверхности через двойной интеграл. 13.