341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 13

Сечение плоскостью Охг: у = О дает кривую хэ = 16(2 — 2), т. е. параболу с параметром р = 8, вершиной в точке х = О, 2 = 2 и ветвями, направленными в сторону убывания значений 2. Наконец, сечение плоскостью Оуг: х = О 25 дает параболу уэ = 25(2 — 2) с параметром р = —, вершиной в точке у = О, 2 = 2 и аналогично направленными ветвям2ь г 4. Поверхности я и нные в прост анстве 69 хт «б(г-хп уг гу(г-Н Рнс. 32 Заданная поверхность есть эллиптический параболоид. Преобразование координат х=х, у=у, »=2 — г (которое сводится к сдвигу начала в точку (О, О, 2) — вершину параболо- ида и обращению направления оси Ог) приводит его исходное уравнение (7) к каноническому виду — + — =» «> (, Г)2 У)2 16 25 (9) Установить тип заданных поверхностей и построить их: хг уг гг хг уг гг 1.372.

— + — + — = 1. 1.373. — + — — — = 1. 9 4 25 * 16 4 Зб 1.374. хг + уг - гг = -1 1.375. хг уг гг 1.ЗТ6. хг + уг = 2аг, а ф. О. 1.377. хг — уг = 2аг, а ~ О. г 1376 2» = хг+ 1.3Т9. хг = 2аг, а ~ О. г г х у г г 1,380. » = 2+ х + у . 1.381. — — — = бг. 5 4 1 382 *' + уг — »г = 4 1.383. х' — уг + гг + 4 = О 1.364*.

Доказать, что уравнение гг = ху определяет конус с вершиной в начале координат. 1.385*. Доказать, что уравнение г = ху определяет гиперболический параболоид. 1.366. Назвать и построить поверхности: а) хг = 2уг; б) » — а = ху. Выполненное исследование позволяет теперь достаточно детально изобразить заданную поверхность (рис. 32). 70 Гл. 1. Векторная аггебрз и аналитическая геометрия 2 2 — — — = 2», 4 3 х — 2у+2 = О. а) 3 6 < 2 2 — + — = 2г, 6) Зх — у + 6» — 14 = 0; 1.389, Найти г уг а) — + — + 81 36 х уг б) — + —— 16 9 хг уг в) — + — = 5 3 тачки пересечения поверхности и прямой: х — 3 у — 4 г+2 — =1 и 9 3 -6 4 »2 х у «+2 — =1 и 4 4 — 3 4 х+1 у — 2 г+3 г и 2 -1 — 2 Указание. Перейти к параметрическим уравнениям прямой.

1.390, Доказать, что в каждом из указанных ниже случаев заданные поверхность и плоскость имеют одну общую точку, найти ее координаты: хг «2 а) — + — = 2у, 2х — 2у — г — 10 = 0; 9 4 г уг 2 6) — + — — — = — 1, 5х+ 2»+ 5 = 0; 3 4 25 хг уг гг в) — + — — — = 1, 4х — Зу + 12» — 54 = О. 81 36 9 1.391. Доказать, что плоскость 2х — 12у — г + 16 = 0 пересекает гиперболический параболоид хг — 4уг = 2« по прямолинейным образующим (т.е. прямым, деликом лежащим на зтай поверхности).

Составить уравнения этих образующих. 1.392. Доказать, что плоскость 4х-5у — 10»-20 = 0 пересекает хг уг аднополастный гиперболоид — + — — — = 1 по прямолинейным 25 16 4 образующим. Составить уравнения этих образующих. 3. Плзсснфинвдия поверхностей пз типу преобразований пространства. Выделяют трн класса поверхностей: днлиндрнческне, конические н поверхности вращения,— инзариантных относительно преобразований соответствующего типа. 1.387. Составить уравнения праекдий на координатные плоскости сечения эллиптического параболоида уг+гг = х плоскостью х+2у — г=О. 1.388.

Установить, какие кривые определяются следующими уравнениями: э 4, Поверхности и кривые в пространстве 71 Цилиндрической лаверхнвстью (пишндрам) называетсл поверхность, инвариантнал относительно преобразований параллельного переноса Т(~аД, определяемых любым вектором, коллинеарным некоторому вектору о = ((, гл, л). Из этого определения следует, что если точна х — тв Мэ(хо, уо, эо) принадлежит пилиндру Я, то и всл прлмая — ' у-уо э — эо = — = — также принадлежит этому дилиндру. т л Принята следующая терминология: вслнал прямая, поллинеарнал х — 'со вектору г1 = (), т, и), называется осью цилиндра 5; прямые — = у — уо х — хо — — Мо(хо, уо, хо) е Я, целиком принадлежащие цит л линдру, называютсл его обраэуюэ4лма; всякая привал Г, лежащая на цилиндре и пересевающал все его образующие, нааывается лалравлающей этого цилиндра.

Пусть н = (1, тп, н) — любой вектор, коллинеарный оси цилиндра 5, а направляющал Г задана уравнениями г1(х, у, э) = О, Рг(х, у, э) = О. Точка М(х, у, т) принадлежит пнлиндру 5 в том и только том случае, ногпа существует число й такое, что точка с поординатами х+ М, у+гт, 4+ Ы лежит на образующей Г, т.е. Р~(х+ И, у+2гл, э+1л) = О, г' (*+ г), у + ггл, + ~л) = О. (10) Исключая параметр г иа системы (10), получим соотношение вида Р(х, у, х) = О, которое и являетсл уравнением заданного цилиндра.

Пример 4. Написать уравнение цилиндра, ось которого совпадает с координатной осью От, а направляющая задана уравнениями г'(х, у) = =О, а — Ь=О. а Полагая г1 = П = (О, О, Ц, получим систему (10) в виде Е(х, у) = О, э+2 — 6 = О. Этот результат означает, что точка М(т, у, т) принадлежит пилиндру в том и только том случае, когда ее воординаты х и у удовлетворяют уравнению г'(х, у) = 0 при произвольном значении координаты а. Следовательно, уравнение г'(х, у) = О, описывающее проекцию направляющей на плоскость Оху, н есть уравнение заданного цилиндра. ~ь Построить заданные цилиндрические поверхности: 2 2 1.393.

у + ь = 4. 1.394. — — — = 1. х у 16 9 1.395, хг+ уг = ах. 1.396. хг = бх. 1 397 х 4 хг 1 398 хг ху 0 1.399. хг — хг = О. 1 400 уг + 222 0 1.401. хх = 4. 1.403. уг + хг = — х. 72 Гл. 1. Векторная алгеб а и аналитическая геометрия 1,403. Составить уравнения трех цилиндрических поверхностей, описанных около сферы хз + у~ + хз — 2ах = О с осями, параллельными соответственно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) оси Ох. 1.404. Найти уравнение цилиндра, проектирующего окружность хз+ (у+ 2)2+ (х — 1)з = 25, хе+ уз+из = 15 на плоскость: а) Оху; б) Охи; в) Оуж 1.405.

Найти уравнение проекции окружности (х + 1)з + (у + 2)з + (г — 2)з = Зб, х' + (у + 2)з + (х — 1)' = 25 на плоскостчс а) Оху; б) Охи; в) Оуж 1.406. Составить уравнение поверхности, каждан точка которой одинаково удалена ог прямой х = и, у = О и плоскости Оуж Построить поверхность. 1.407. Составить уравнение цилиндра, если: а) ось коллинеарна вектору с1 = (1, 2, 3), а направляющая задана уравнениями уз = 4х, х = О; б) ось коллинеарна вектору с1 = (1, 1, Ц, а направляющая задана уравнениями хз + у~ = 4х, г = О.

1.408. Сфера ха+уз+из = 4х освещена лучами, параллельными примой х = О, у = ж Найти форму тени сферы на плоскости Оху. 1.409. Построить тело, ограниченное поверхностями уз = х, х = О, х = 4, х = 4, и написать уравнение диагоналей грани, лежащей в плоскости х = 4. Конической поверхностью (конусом) называется поверхность, иквариантнан относительно преобразований гомотетии Н(Й, Мо) с произвольным коэффициентом и и центром в некоторой точке Мв(хв, ув, ва), называемой вершиной конуса. Из етого определения следует, что если х х1 точка М~(хы уы з1) принадлежит конусу, то всн прнман х) — хо у — у1 3 — я~ —, проходящая через эту точку и вершину Ма и нау1 уо зг — зо зываеман вбразую~цей конуса, целиком лежит иа конусе.

Всякая кривая Г, лежащая ка конусе и пересекающая все его образующие, называетсн ваправляюа4ей етого покуса. Пусть задан конус 5 с вершиной Ма(ха, дв, за) и направлнющей Р~(х, у, з) = О, Ра(х, у, г) = О. 3 4. Поверхности и кривые в пространстве 73 Точка М(х, у, г) принадлежит конусу Я в том и только том случае, ко- гда существует число г такое, что точка с координатами х + г(х — хо), у+1(у — уо), г+г(г — го) лежит на образующей Г, т.е. Р~(х+1(х — хо) у+В(д — уо), г+1(г — го)) = О, () Рг(х+ г(х — хо), У+г(д Уо) г+ г(г — го)) = О.

Р(х + е(х — хо), д+ г(у — до)) = О, г+1(г — го) — Ь = О. - го) — (г — го) Ь- го — — — 1, что г — го г — го дает Ь вЂ” (Ь Из второго уравнения 1 =— г — го после подстановки в первое уравнение Р хо + (Ь вЂ” ге) †, уо + (Ь вЂ” го) †) = О, (12) х — *о у — Уо 1 г — го г — го Уравнение (12) и есть уравнение заданного конуса.

В частном случае хо = уо = го = 0 (вершина конуса находится в начале координат) уравнение конуса принимает вид Р (Ь*-, Ьу-) = О. (13) Заметим, что уравнение (13) однородно относительно х, у и г (т, е. не меняется при замене х, д и г нв 1х, $У и Фг при произвольном 1 ф 0), а уравнение (12) однородно относительно х — хо, д — до и г — го. с 1.410. Пусть функция трех переменных Р(х, у, г) однородна относительно х, у и г, т.е. Ф ф 0 3 а Е %: Р(1х, 1у, 4г) = 1'Р(х, у, г).

Показать, что уравнение Р(х, у, г) = 0 определяет конус с верши- ной в начале координат, причем для любого Ь кривая есть его направляющая. Исключая параметр 1 из системы (11), получим уравнение конуса в виде Р(х, д, г) = О. Пример 5. Написать уравнение конуса, вершина которого находится в точке Мо(хо, уо, го), а направляющая задана уравнениями Р(х,у) =О, г — Ь=О.