341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 11

хг+ уз = ах. Уравнение (11) и есть пинат, общее для эллипса, Записать уравнения тах: 1.299. у = х. 1.301, х+у — 1 = О. 1 303. хг — уг ог искомое уравнение в полярной системе коор- гиперболы и параболы. с заданных кривых в полярных координа- 54 Гл. 1. Векторная алгеб а н аналитическая геометрия Записать уравнения заданных кривых в декартовых прямо- угольных координатах и построить зги кривые: 1.305. т = 5. 1.306. 18 р = -1. 1.307. т сов <р = 2.

1.308. гяп1е = 1. 1/~/2 ~/2 сов (~о+ н/4) яп (1о+ н/4) 1.311. т = 2асов~р. 1.312. г = 2авш~р. 1 1 1.313. яп1р = —. ~/5', 1.314. яцг = —. 1.315. т~вш2~р = 2а~. 1.316. тт = а~сов2р 1,317. Написать в полярных координатах уравнения: а) прямой, перпендикулярной полярной оси н отсекающей на ней отрезок, равный 3; б) луча„исходящего из полюса под углом — к полярной оси; в) прямой, проходящей через полюс лод углом — к полярной оси. 1.318.

Написать в полярных координатах уравнение окружно- сти, если: а) радиус В = 5, окружность проходит через полюс, а ее центр лежит на полярной оси; б) радиус Л = 3 и окружность касастсн в полюсе полярной оси. 1.316. Определить полнрные координаты центра и радиус ка- ждой из следующих окружностей: а) т = 4сов~р; б) т = Зв1п~р; в) т = — 5вш~р; г) т = 6 сов /-, — ~р); д) т = 8 яп /~р — — ); с) т = 8вш /- — у). ~3 1.320. В полярной системе координат вывести уравнение окруж- ности радиуса В с центрам в точке С(го, ~ро).

х~ „г 1.321, Длн вллипса — + — = 1 написать полярное уравнение, 25 16 считая, что полнрная ось сонаправлена с осью абсписс, а полюс находится: а) в левом фокусе; б) в правом фокусе. ,2 2 1.322. Для правой ветви гиперболы — — — = 1 написать па- 16 9 лнрнае уравнение, считая, что палярнан ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится: а) в левом фокусе; б) в правам фокусе, 5 3.

Кривые на плоскости 55 1.323. Для параболы уг = бх написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы, 1.324. Написать канонические уравнения следующих кривых 2-го порядка: 9 9 . 3 а) г= ; б)т= ; в)г= 5 — 4соз~р' 4 — 5созу' 1 — сову хг ут 1.325. Вывести полярное уравнение эллипса — + — = 1 при аг Ьг условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс нахо- дится в центре эллипса.

у' = 1.326. Вывести полярное, уравнение гиперболы — — — = 1 аг Ьг при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс находитсн в пентре гиперболы. 1.327. Вывести полярное уравнение параболы уг = 2рх при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс нахо- дится в вершине параболы. 4. Параметрические уравнения кривой. Пусть заданы функции р(С) И ф(С), непрерывные на некотором промежутке 1 числовой оси (проме- жуток 1 может быть интервалом (а, Ь), отрезком (а, Ь), а также одним из полуинтервалов (а, Ь) или (а, Ь), причем не исключаются случаи, когда а = — оо и (нли) Ь = +со). Уравнения х = ~р(С), у = ф(С), С е 1, (12) называются яарамегприческими уравнениями кривой Г в декартовой прямоугольной системе координат, если выполнено следующее условие: для всякого значения параметра С 6 1 точка М(у(С), ф(С)) принад- лежит кривой Г н, наоборот, для всякой точки М(х, у) кривой Г су- ществует такое значение параметра С Е 1, что х = ~р(С) и у = ф(С).

Исключением параметра С из (12) уравнение кривой может быть пред- ставлено в виде Р(х, у) = О. Аналогично определяются параметрические уравнения кривой в по- лярных координатах. Пример 5. Показать, что параметрические уравнения х = а сов С, у = азы С, С 6 (О, 21г), определяют окружность хг + уг = аг. О Если точка М(х, у) такова, что х = а сов С и у = азСп С для некоторого значения С б (О, 2к), то х' + у' = а' соз' С + а' вСп' С = а', т.е. тачка М(х, у) принадлежит окружности хг+ уз = а . 56 Гл.

1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия Верно к обратное: если тачка М(х, у) принадлежит окружности х~ + + уэ = аэ, та, полагая 1 = (ОЙ.', 1), $ Е [О, 2я), получим х = асоэ1 н у = аэ1о1. 1> Пример 6. Кривая Г задана полярным уравнением т = 2Лэ1п~р.

Составить параметрические уравнения этой кривой в полярных н декартовых прямоугольных координатах, выбирая в качестве параметра полярный угол у. з Нетрудно убелиться, чта заданная кривая — окружность радиуса Л с центром в точке С(0, Л). Параметрические уравнения этой кривой в полярных координатах: т=2Лэ1о1, 1а=1, 1б [О, ). Параметрические уравнения в декартовых прямоугольных координатах получаются, если в формулы перехода х = т соя 1е, у = тэ1о ~р вместо т н 1а подставить нх выражения в виде функций параметра П В итоге получим Е х = тЯ саэу(1) = Лэю21, у = тЯ э1пу(1) = Л(1 — соя 21), 1 Е [О, я). 1> 1.328. Составить параметрические уравнения луча Г = ((х, у)[ х — у+ 1 = О, у > О), принимая в качестве параметра: а) абсциссу х; б) ординату у; в) расстояние р(М, Мо) от точки М Е Г до вершины Ма луча; г) полярный'угол, если полюс совпадает с началом координат, а полярнан ось сонаправлена с осью Ох.

1.329. Составить параметрические уравнения отрезка с кон- цами в точках Мт(1, 1) и Мэ(2, 3), принимая в качестве пара- метра: а) расстояние р(М, М~); б) расстояние р(М, Мз). 1.330. Составить параметрические уравнения окружности ра- диуса Л с центром в тачке Ма(ха, уо), принимая в качестве па- раметра 3 угол между осью Ох и вектором МоЛт, отсчитываемый против часовой стрелки. 1.331, Составить параметрические уравнения окружности х~ + + у~ = 2Лх, принимая в качестве параметра полярный угол, если полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс находится: а) в начале координат; б) в центре окружности. В задачах 1.332 — 1.340 требуется исключением параметра Ф найти уравнения заданных кривых в виде Г(х, у) = 0 и построить эти кривые. 1,332, х = -1+ 21, у = 2 — 1, $ Е (-оо, +оо).

1,333, х = 1т — 21+1, у = $ — 1, 16 ( — оо, +оо). 2' 3. Кривые на плоскости 57 1.334. х = -1+ 2сазС, у = 3+ 2зшс, 8 б [О, 2я) 1.335. х = а саз1, у = 5 зшс, 1 ~ (О, 2л). 1+2зес1, у = -1+15$, $ Е (- —, -). 1+ —, у= — 1 — —, 1Е(О,+ао). 2Нсоа 1, у = Лаш2$, $ Е ~ — —, -). 1.336. х = 1.337. х = 1.338. х = 1.333. х = ге з(п 21, у = 2Лзш21, 1 Е '10, я). от 1 1.340. х = 2рс1521, у = 2рсМйуь 1Е (О, -~. 2 2 1.341. Составить параметрические уравнения зллипса — + — = а2 Ь2 = 1, принимая в качестве параметра 8 угол между осью Ох и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый против часовой стрелки. х2 1.342.

Составить параметрические уравнения гиперболы —— а2 „2 — — = 1, принимая в качестве параметра 1 угол между осью Ох 52 и радиус-вентором ОЛ2, отсчитываемый против часовой стрелки. 1.343. Составить параметрические уравнения параболы у2 = = 2рх, принимая в качестве параметра: а) ординату у; б) угол между осью Ох и вектором О~д, отсчитываемый против часовой стрелки; в) угол между осью Ох и фекальным радиус-векторам М, отсчитываемый против часовой стрелки.

5, Неноторые кривые, встречающиеся в математнне н ее приложениях. В настоящем пункте, имеющем справочный характер, приведены уравнения н указаны основные геометрические свойства ряда специальных кривых (алгебранческнх н трансцендентных), встречающихся в практике инженерных расчетов. Вывод уравнений зтйх кривых может быть предложен в цачестве задач повышенной трудности прн изучении курса аналитической геометрии. Достаточно детальное изучение формы кривых может быть вьшолнена с привлечением методов дифференциального исчисления.

1. Спирали спираль Архимеда т = ау (рнс. 9)„гиперболическая а спираль т = — (рнс. 10), логарифмическая спираль т = ат (рнс. 11); стрелкой указано направление обхода кривой, соответствующее возрастанию <р. 9 3. Кривые на плоскости 59 2. Ле/лниската Бернулли (хо+уз)з = 2аз(хз — уз) (рис.

12), или гз = = 2аз сов 2р (полюс помещен в точку О). Характеристическоесвойство: [КК1[[Рз [ = сопяг = аз, где Г~(-а, О), Ез(а, О). 3. Цнссоида уз(2й — х) = хз (рис. 13), или г = 2Л С8 рыл ~р (полюс помещен в тачку 0). Характеристическое свойства: для всякого луча ~р = ~ро (сро Е (- —, -)) [ОМ[ = [ВС[. 4. Строфоида хз [(х + а)з + уз) = азуз (рис.

14), или г =— соя у х а18~о (полюс помещен в тачку А(-а, 0)). Характеристическое свойск кхх тво: для всякого луча 1о = 1оо (уо Е (--, — )) [ВМ[= [ВФ[= [ОВ[, 2'2 ) 5. Конхоидо хауз+ (х+ а)з(хз — Ьз) = 0 (рис. 15), или г = — х Ь соя з (полюс помещен в точку А( — а, 0)). Характеристическое свойствт для всякого луча ~р = сро (уо е ( — — -~) [ВМ[ = [ВЬ/[ = сопят = Ь. 2 2// б. Улагпка Васкалл (хз+ уз — 2ах)з = Ьз(хз+ уз) (рис. 16), или г = = 2а соз ~рх 6 (полюс помещен в точку 0). Характеристическое свойство: для всякого луча 1о = ~ро (ззо е ( — —, -Я [ВЛХ[ = [В/з [ = сопяг = Ь, 2' 2/! ° 7. Четырехлепестковал роза (хз + уз)з = 4азхзуз (рис. 17), или г = а[ вш 2ф (полюс помещен в точку 0).

Характеристическое свойство: всякая точка М атой кривой есть основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на отрезок АВ постоянной длины 2а, движущийся так, что концы его все времй находятся на координатных асях. 8. Астроида х = асовз1, у = ая1п 1, 1 Е [О, 2з), или хз!з + уз!з = = аз!Я (рис. 18). Характеристическое свойства: всякая точка Мятой кривой есть основание перпендикуляра РМ к отрезку АВ постоянной длины а, движущемуся так, что каппы его все время находятся на координатных осях.

9. Эвольвента (развертка) окрухености х = а(соя1+1в1п1), у = = а(ейп Ф вЂ” 1 соз1), 1 Е [О, +оо) (рис. 19). Характеристичесвое свойство: каждая тачка М втой кривой есть конец нити, которая, оставаясь натянутой, разматывается с окружности хз + уз = аз (в начальный момент конец нити находится в точке А(а, 0)). 10. Циклопда х = а(1 — я1п1), у = а(1 — сов1), 1 Е ( — оо, +ос) (рис. 20). Характеристическое свойство: кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а, которая катится без скольжения по оси Ох (в начальный момент точка М находится вначале координат). а+6 11. Эпоппклопда х = (а+ 6) сояв — асов — 1, у = (а + Ь) з1п1— а а+Ь вЂ” асйп — 1, 1 Е [О, +со) (рис. 21). Характеристическое свойство: а кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а, которая 60 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия Рис.

15 Рис. 16 Рис. 17 Рис. 18 Рис, 19 2 3, Кривые на плоскости Рис. 20 Рис. 23 Рис. 22 Рис. 24 Рис. 25 Рис. 26 62 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия катится без скольжения по окружности х + ут = Ьт, оставаясь вне ее (в начальный момент точка М находится в положении А(6, 0)). В частном случае а = 6 соответствуюшая кривая называется кардаоидой Ь вЂ” а 12. Гипоциклоида х = (Ь вЂ” а) соз8+ асов — 1, у = (6 — а) ейпт— а Ь вЂ” а — азш — 1, 1 6 (О, +со) (рис.