341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 9

2. Ллгебранчепгне кривые второго порядка. Алгебраической кривой второго нарядна называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид 3. К ивые яа плоскости 43 принадлежащей эллипсу. В частном случае а = Ь фокусы г1 и Гз совпа- х~ уз дают с центром, а каноническое уравнение имеет вид — + — = 1, илн аз аз х + р~ = а~, г.е. описывает окружность радиуса а с центром в начале координат.

Рис. 4 1 Ь' , Число е = — = )/1 — — (О < е ( 1) называется зксаевтрисио»е- а )1 аз л»о»» эллипса и является мерой его»сплюснутостн» (при е = О эллипс является окружностью). а а Прямые Рн х = — — и Рз. х = —, перпенд)»кулярные главной оси е е' а н проходящие на расстоянии — от центра, называются диреко»рисами е эллипса. 1.246.

Построить эллипс Ох~ + 25уэ = 225. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис. 1.247. Написать каноническое уравнение эллипса, если: '3 а)а=3,6=2; б)а=5,с=4; в)с=З,е=-; г)6=5, 12 е = —,; д) с = 2 и расстояние между директрисами равно 5; 13' 1 е) е = — и расстояние между директрисами равно 32. 2 1.248. Написать уравнение эллипса с полуосями а и 6 и центром в точке С(хо, ро), если известно, что его главные оси параллельны координатным осям.

1.249. Установить, что каждое иа следующих уравнений определяет эллипс, найти его центр С, полуоси, эксцентриситет и урав- 44 Гл. 1. Векторная алгеб а и аналитическая геомет ия пения директрис: а) бх'+9уэ — 30х+18у+9 = 0; б) 16хэ+ 25уэ+ 32х — 100у — 284 = 0; в) 4х~+ Зуз — 8х+ 12у — 32 = О. 1.250.

Доказать следующие утверждения: г уэ а) Если М(х, у) — проиавольная точка эллипса — + — = 1, , 2 (,э а > 5, то фокальные радиусы этой точки равны г1(М) = а+ ех, гг(М) = а — ех (см. рис. 4). Отсюда, в частности, следует, что для всякой точки М эллипса выполняется равенство га(М) + гг(М) = сопв1 = 2а. б) Пусть заданы точки г1( — с, 0) и Гэ(с, 0), с > О.

Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию !Р~ЛФ/ + !ЯФ) = г 2 3 2 = сопэс = 2а, есть эллипс — + — = 1, где 5 = аз — с . аэ 52 1.2Ы. Доказать следующие утверждения: 2 2 а) Если М(х, у) — произвольная точка эллипса — + — = а2 бэ = 1, а > 5, г1(М) и гэ(М) — фокальные радиусы этой точки, а р(М, .0г) и р(М, .0з) — ее расстояния до директрис, то выполняется равенство г1(М) 12(М) Р(М) О1) Р(М~ )-12) б) Пусть заданы точка Г(с, О) и прямая О: х — д = О, д > с > О. ~М Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию р(М, Р) .з 2 = сопэ1 = е ( 1, есть эллипс — + — = 1, где а = Ые и бэ = а' — с~. ~2 52 1.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осями, проходит через точки М1(2, ъ'3) и Мэ(0, 2).

Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки М~ и расстояния этой точки до директрис. 1.253. На эллипсе 9хт + 25уэ = 225 найти точку, расстояние от которой до фокуса гэ в четыре раза больше расстоянии до фокуса г"1. 3. К ивые на плоскости 45 1.254. Написать уравнение кривой, по которой движется точка М, если сумма расстояний от нее до точек Г~(-1, — 1) и Гг(1, 1) остается постоянной и равной 2т/3. 1.255. Написать уравнение кривой, цо которой движется точка М, если расстояние от нее до точки Р(3, 0) остается в два раза меньше расстояния до прямой х+ у — 1 = О.

1.256. Определить, как расположена прямая относительно эллипса; пересекает, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы уравнениями: 2 г а) 2х — у — 3=0, — + — =1; 16 9 хг уг б) 2х + у — 10 = О, — + — = 1; г 2 в) Зх+ 2у — 20 = О, — + — = 1. ' 40 10 г г 1.257, Написать уравнение касательной к эллипсу — + — = 1 аг Ьг в его точке Мо(хо уо). о Пусть сначала уо ф О, т.е. точка Мо не совпадает ни с одной нэ Ф г уг вершин Аг( — а, 0) н Аг(а, О). В этом случае уравнение — + — = 1 аг Ьг неявно определяет функцию у = у(х), — а < х < а, график которой проходит через точку Мо(хо, уо) н совпадает с соответствующей (верхней при уо > 0 нли нижней при уо < О) половиной эланпса.

Дифференцируя у'(х) по х тождество — + — = 1, найдем, что производная у'(хо) равна аг Ьг Ьгхо у'(хо) = — г а уо Отсюда уравнение касательной к эллипсу в точке Мо(хо, уо) имеет внд Ь хо у уо — — (х — хо), агуо г г нлн, с учетом равенства — + — = 1, хо уй аг Ьг хох уоу — + — =1 а Ьг Если же уо = 0 (н, следовательно, хо = ха), то уравнения касательных к эллипсу имеют внд х = ха, т.е. и в этом случае формула (7) остается верной. С 46 Гл.1. Векто ная алгеб а и аналитическая геомет ня хг уг 1.258. Составить уравнения касательных к эллипсу — + — = 10 5/2 = 1, параллельных прямой Зх + 2у + 7 = О. 1.259. Составить уравнения касательных к эллипсу ха+ 4уг = = 20, перпендикулярных прямой 2х — 2у — 13 = О.

г уг 1.260. Доказать, что касательные к эллипсу — + — = 1, проаг Ьг веденные через концы одного и того же диаметра, параллельны. 1.261. Написать уравнения касательных, проведенных из точ- /10 5~ г 2 кн А ~ —, — )' к эллипсу — + — = 1. 1,8'З) 20 5 .т 2 1.262. На эллипсе — + — = 1 найти точку Мо, ближайшую к 18 8 прямой 2х — Зу+ 25 = О, и вычислить расстояние от точки Мо до этой прямой. 1.263, Доказать, что касательная к эллипсу в его произвольной точке М составляет равные углы с фокальными радиус-векторами Ггаг' и ггЛг' этой точки. хг 1.264*. Из левого фокуса эллипса — + — ' = 1 под тупым углом 45 20 ж к оси Ох направлен луч света, причем 18гг = — 2.

Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от эллипса. хг, уг Гипербола с каноническим уравнением — ' — — = 1, а, б ) О, бг ) имеет форму, изображенную на рис, 5. Рис. б Параметры а и б называются полуосями гиперболы, точки А~ ( — а, О) и Аг(а, 0) — ее вершинами, осн симметрии Ох и Оу — дейсглаитеяьной и анимой осями, а центр симметрии Π— центром гиперболы. 3. К нные на плоскости 47 Ь Прямые у = х-х являются аснмптотамн гиперболы. а Точки Г»(-с, О) н гэ(с, 0), где с = ~/аз + Ьа > О, называются фокусами гиперболы, вепторы Р»М и гэМ вЂ” фока ььными радиус-векторами, а числа 㻠— — ~Р»Л1~ н тэ — — ~РэМ~ — фекальными радиусами точки М, принадлежащей гиперболе.

с Ьэ Число е = — = ~/ 1+ — (1 < е < +со) называется эксиентрисио»етом гиперболы н является мерой ее »сплюснутостн». В частном случае а = Ь гипербола называется равносторонней; ес энсцентрнснтст равен е = ~Г2, а угол между аснмптотамн равен — . 2' а а Прямые Х»»'. х = -- н х»э. х = —, перпендикулярные действие е а тельной осн н проходящие на расстоянии — от ее центра, называются е директрисами гиперболы. 1.265.

Построить гиперболу 1бхз '- 9уз = 144. Найти: а) полуоси; б) координаты фовусов; в) знсцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис. 1.266. Построить гиперболу 16хз — Оуэ = — 144 (сонрлэ»сенную н гиперболе задачи 1.265). Какова каноническая система координат для атой гиперболы? Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) энсцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис. 1.267. Написать каноническое уравнение гиперболы, если: 3 а) а = 2, Ь = 3; б) Ь = 4, с = 5; в) с = 3, е = †; г) а = 8, 5 4 3 е = —; д) с = 10 и уравнения асимптот у = х — х; е) с = — и 4' 3 ' 2 8 расстояние между директрисами равно —. 3 1.268. Написать уравнение гиперболы с полуосями а и Ь и центром в точке С(хо, уо), если известно, что ее действительная и мнимая оси параллельны осям Ох и Оу соответственно.

1.269. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, энсцентриситет, уравнения асимптот и директрис: а) 16хэ — 9уэ — 64х — 54у — 161 = 0; б) 9хз — 16уз + 90х + 32у — 367 = 0; в) 16хэ — 9уэ — 64х — 18у + 199 = О. 48 Гл. 1. Векто ная алгебра н аналитическая геомет ня 1.270.

Доказать следующие утверждения: хз у2 а) Если М(х, у) — произвольная точка гиперболы — — — = 1, оз 12 то фокальные радиусы этой точки равны г1(М) = а+ ех, г2(М) = — а+ ех, если точка М лежит на правой ветви гиперболы, и г1(М) = — а — ех, г2(М) = а — ех, если эта точка лежит на ее левой ветви. Отсюда, в частности, следует, что для всякой точки М гиперболы выполняется равенство (г1(М) — г2(М)! = сопвг = 2а.

б) Пусть ааданы точки г1(-с, 0) и г2(с, 0), с > О. Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию ((Г~М! — (г2Х~(( = .2 2 = сопвс = 2а, а > О, есть гипербола — — — = 1, где о2 = с2 — а2. о2 52 1.271. Доказать следующие утверждения: 2 2 а) Если М(х, у) — произвольная точка гиперболы — — — = 1 я2 62 г1(М) и г2(М) — фокальные радиусы этой точки, а р(М, Р1) и р(М, Р2) — расстояния от нее до директрис, то выполняется равенство г1(М) г2(М) (М Р) (М Р) б) Пусть заданы точка г'(с, 0) и прямая Р: х — И = О, с > И > О.