341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах а — 2Ь и За+ 2Ь. 1,103. Векторы а, Ь и с связаны условием а + Ь + с = О. Доказать, что [а, Ь] = [Ь, с] = [с, а). Каков геометрический смысл этого результата? 1.104. Доказать, что при любых векторах а, р, с1 и г векторы [а, р],[а, с1] н [а, г)компланарны. 1.105. ]а[ = 2, ]Ъ] = 5, (а, Ъ) = †. Выразить через векторы а и Ь единичный вектор со, перпендикулярный векторам а и Ь и такой,что: а) тройка (а, Ь, со) правая; б) тройва (Ь, со, а) левая. 1.106.
Заданы векторы а~ = (3, -1, 2) и аз = (1, 2, — Ц. Найти координаты векторов: а) [а~, аз]; б) [2а~ + аз, аэ]; в) [2а~ — аз, 2а~ + аг]. 1.107. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1, 1, 1), В(2, 3, 4) и С(4, 3, 2). 1.108. В треугольнике с вершинами А(1, -1, 2), В(5, — 6, 2) и ). (1, 3, — 1) найти высоту Ь = [ВВ[. 1.109. Определить, при каких значениях а и 9 вектор а1 + + 33 + 1Лс будет коллинеарен вектору [а, Ь], если а = (3, — 1, Ц, Ь = (1, 2,0). 1.110. Для заданных векторов а = (2, О, 3), Ь = ( — 3, 5, 4), с = (3, 4, -Ц вычислить проекцию вектора [а, Ь] на вектор (а, Ъ)с.
1.111. Для заданных векторов а = (2, 1, -Ц, Ь = (1, 2, Ц, с = (2, — 1, 3), с1 = (3, -1, 2) вычислить проекцию вектора а+ с на вектор [Ь вЂ” Й, с]. 1.112. Найти вектор [а, а+ Ь]+ [а, [а, Ь]], если а = (2, 1, -3), Ь=(1, — 1, Ц. 1.113. Найти вектор [АМ + АС, [ВС, Ас)]], если А(2, 2, 3), В(1, О, 4), С(2, 3, 5). 1.114. Три ненулевых вектора а, Ь и с связаны соотношениями а = [Ь, с], Ь = [с, а], с = [а, Ь]. Найти длины этих векторов и углы между ними. 1.115.
Сила Р = 21 — 41 + 51с приложена к точке А(4., — 2, 3). Определить момент этой силы относительно точки 0(3, 2, -1). 1.116. Даны три силы: Р1 = (2, — 1, -3), Рз = (3, 2, — Ц и Рз = ( — 4, 1, 3), приложенные к точке А(-1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих снл относительно точки 0(2, 3, -1). 24 Гл.
1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия 1,117. Вычислить плошадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2е1 — ег и 4е1 — бег, где е1 и ег — единичные векторы и (ем ег) = —. 1.118. Найти коорлинаты вектора х, если известна, что он перпендикулярен векторам а1 = (4, -2, -3) и аг = (О, 1, 3), абразует с ортам 3 тупой угол и ]х] = 26. 1.119. Найти координаты вектора х, если ан перпендикулярен векторам аз = (2, -3, Ц и аг = (1, -2, 3), а также удовлетворяет условию х(1+ 2З вЂ” 71с) = 10. 1.120.
При каких условиях уравнение аг = [аы х] имеет решение относительно х? Сколько существует решений? 1.121. Найти составляющую вектора а = (-1, 2, О), перпендикулярную плоскости векторов е1 = (1, О, Ц и ег = (1, 1, Ц. 1.122. Как изменится выражение (13), если координаты векторов задать в левом прямоугольном базисе? Будет ли верна зта формула в случае косоугольного базиса? 1.123*. Вектор [а, [Ь, с]] называется двойным вснтпорным произведением заданных векторов.
Доказать, что справедливо равен- ство [а, [Ь, с]] = Ь(а, с) — с(а, Ь). Хз Хз 1'з Яз Хз Уз ~з азазаз ~ 1.124. Векторы ам аг, аз образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и ]а1] = 4, ]аг] = 2, ]аз] = 3. Вычислить адагаз. 6. Смешанное пронввеление векторов. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов аы аз, аз называется число ([аы аг], аз) . Геометрические свойства смешанного произведения: 1) если У вЂ” обьем параллелепипеда, построенного на векторах аы аз н аз, то ( У, если тройка (аы аз, аз) правая, [аы аг]аз = ~ ~ — У, если тройка (аы аз, аз) леван; 2) для того чтобы трк вектора аы аз, аз были комплвкарны, необ- хознмо н достаточно выполнение условия [аы аз]аз = О. Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что пиклнческая перестановка векторов не меняет его величины, т.е. [аы аз]аз = [аз, аз]аз = [аз, аз]аз.
Это свойство позволяет ввести обозначение [аы аз]аз = азазаз (резуль- тат не зависит от того, квк расставить квадратные скобки в правой ча- сти). Смешанное произведение через координаты векторов в правом пря- моугольном базисе зввисывввтся в виде 1. Векторная алгеб а 25 1.125. Векторы а, Ъ, с образуют левую тройку, ]а[ = 1, [Ь] = 2, [с] = 3 и (а, Ь) = 30'; с 1 а, с Л. Ъ.
Найти аЬс. 1.126. Заданы векторы а1 = (1, — 1, 3), а2 = (-2, 2, Ц и аз = = (3, -2, 5). Вычислить а1а2а3, Какова ориентация троек: а) (а1 а2, аз); б) (а2, а1, а3)", в) (а1, аз, а2) ° 1.127. Установить„образуют ли векторы а1, а2 и а3 базис в множестве всех векторов, если: а) а1 = (2, 3, -Ц, а2 = (1, — 1, 3), аз = (1, 9, -1Ц; б) а1 = (3, -2, Ц, а2 = (2, 1, 2), а3 = (3, -1, -2). 1.128. Доказать, что ]а1азаз[ < [а1[[а2[[аа]; в каком случае имеет место знак равенства? 1.126. Доказать, что кри любых а, Ь и с векторы а — Ь, Ь вЂ” с и с — а кампланарны.
Каков геометрический смысл втого факта? 1;136. Доказать тождество (а+ Ь+ с)(а — 2Ь+ 2с)(4а+ Ь+ 5с) = О. 1.131. Доказать, что если а[а, Ь]+В[Ь, с]+?[с, а] = О, причем хотя бы одно нз чисел а, ~3 и у отлично от нуля, то векторы а, Ь и с компланарны. Ф 1.132. Вычислить объем тетравдра ОАВС, если ОА = 31 + 41, 02? = — ЗЗ + 1с, ОС = 21 + 51с.
1.133. Вычислить объем тетраздра с вершинами в точках А(2, -3, 5), В(0, 2, 1), С(-2, -2, 3) и Р(3, 2, 4). 1,134. В тетраздре с вершинами в точках А(1, 1, 1), В(2, О, 2), С(2, 2, 2) н Р(3, 4, -3) вычислить высоту я = [РМ[. 1.135. Проверить, компланарны ли данные векторы: а) а = — 21 +1 + и, Ь = 1 — 23 + 31с, с = 141 — 131 + 711; б) а = 21 + 3 — 31с, Ь = 31 — 21 + 21с, с = 1 — 41 + 11.
1.136. При каком Л векторы а, Ь, с будут компланарны? а)а=(Л,З,Ц, Ь=(5,-1,2), с=(-1,5,4); б) а=(1,2Л, Ц, Ь=(1,Л,О), с=(О,Л, Ц. 1.137. Доказать, что четыре точки А(1, 2, -1), В(0, 1, 5), С(-1, 2, 1) и Р(2, 1, 3) лежат в одной плоскости. 1.138. Найти координаты четвертой вершины тетраздра АВСР, если известно, что она лежит на оси Ор, а объем тетраздра равен Ъ'. а) А( — 1, 10, 0), В(0, 5, 2), С(6, 32, 2), ~' = 29; б) А(0, 1, 1), В(4, 3, -3), С(2, -1, 1), $' = 2.
26 Гл. 1. Вокторлал алгебра н аналитическая геометрия 1.139. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда. 1.140. Доказать тождества: а) (а+с)Ь(н+Ь) = — аЬс; б) (н — Ъ)(и — Ь вЂ” с)(а+2Ь вЂ” с) = ЗаЬс; в) (н+ Ь)(Ь+ с)(с+ а) = 2аЬс; г) Чсс, 13 (аЬ(с+ сга+ )ЗЬ) = иЬс). 3 2. Линейные геометрические объекты 1. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости в декартовой прямо- угольной системе координат Оху может быть задана уравнением одного из следующих видов: 1) Ах + Ву+ С = Π— общее уравнение прямое; 2) А(х — хо) + В(у — уо) = Π— уравнение прямой, проходящей через точку Мо(хо, уо) перпендикулярно нормальному вектору и = (А, В); х — хо у — уо 3) — = — — уравнение прямой, проходящей через точку т Мо(хо, уо) параллельно направляющему вектору и = (1, т) (канони- ческое уравнение прямой); (х = хо+И, 4) ~ ' Г Е ( — оо, +со) — параметрические уравнения (у=уо+т(, прямой, которые в векторной форме имеют вид г = го+ ф, где го = (хо, уо) — радиус-вектор точки Мо(хо уо) н = (1, т)— направляющий вектор прямой; х у 5) — + — = 1 — уравнение прямой в отрезках, где а и б — величины а направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях Ох и Оу соответственно; 6) х сова + усов — р = Π— нормальное уравнение прямой, где сов а и сов  — направляющие косинусы нормального вектора и, напра- вленного из начала координат в сторону прямой, а р > Π— расстояние от начала координат до прямой.
Общее уравнение 1) приводится к нормальному виду 6) путем умно- жения на нормирующий множитель зал С Яй+ Вг' Если прямая В задана уравнением вида 6), а М(х, у) — некоторая точка плоскости, то выражение б(М, В) = хсова+усовб — р задаст отклонение точки М от прямое В. Знак б(М, В) указывает на взаимное расположение точки М, прямой В и начала координат, а З 2. Линейные геометрические объекты 27 именно: если точка М и начало координат лежат по разные стороны от прямой 5, то 6(М, Ь) > О, а если точка М и начало координат находятся па одну сторону от прямой Ь, то 6(М, Ь) < О. Расстояние р(М, Ь) от точки М до прямой Е определяется равенством р(М, Е) = )6(М, Е)(.
Пример 1. Написать уравнение прямой Ь', параллельной двум заданным прямым Ь|. х + 2у — 1 = О, Ьр. х + 2у + 2 = 0 н проходящей посередине между ними. О 1-й метод. Так как вектор и = (1, 2), нормальный к заданным прямым Ь! и Аэ, является в то же время нормальным и в примой Ь, то достаточно найти какую-нибудь точку М, лежащую посередине междУ Ь| и Уэ. Из УРавнений длЯ А~ и Ъэ находим любые две тачки Мэ Е Ь| и Мэ Е Ьэ, например такие: М~(1, 0) и Мэ( — 2, 0). Тогда точка ,/ 1 — + М' ~ — —, 0~, делящая отрезок МэМэ пополам, лежит посередине между Ь| и Еэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
