341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Треугольник задан координатами своих вершин А(3, — 2, 1), В(3, 1, 5), С(4, О, 3). Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан етого треугольника. 1.63, Даны вершины треугольника А(1, О, 2), В(1, 2, 2) и 1 С(5, 4, 6). Точка л, делит отрезок АС в отношении Л = — СЕ— 3' медиана, проведенная иа вершины С, Найти координаты точки М пересечения прямых ВЬ и СЕ. 4. Скалярное произведение векторов.
Скаллрны к произведением ненулевых векторов а1 и ат называется число 18 Гл. 1. Вскториал алгебра и аналитическая геометрии Алгебраические свойства скалярного произведения: 1) агаг — — аган 2) (Лаг)аг = А(агаг)' 3) а(Ьг +Ьг) = аЬг+ аЬг. Если векторы аг = (Хг, Ум Яг) и аг = (Хг, Уг, Бг) представлены своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведение равно агаг = ХгХг+ У~Уг + ЕгБ~ (*) Из втой формулы, в частности, следует формула для определения косинуса угла между векторами агаг ХгХг+ УгУг+ ЯгЕг ,/х~~~~, ~+~, ~ х,' ь ~,.
гг ~' 1.64. Взяв формулу (*) за определение скалярного произведения, доказать справедливость алгебраических свойств 1), 2), 3) скалярного произведения. 2гг 1.65. |аг| = 3, |аз| = 4, (ам аг) = —. Вычислить: а) а, = агаО г б) (Заг — 2аг)(аг + 2аг); в) (аг+ г)~. 1.66. |аг| = 3, |аз| = 5. Определить, при каком значении сг векторы аг + сгаг и аг — оаг будут перпендикулярны. 1.67. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а = р — Зг1, Ь = 5р+ 2с1, если известно, что |р| = 2~/2, Ц = 3 и (р, с1) = —.
1.68. Определить угол между векторами а и Ь, если известно, что (а — Ь)г + (а+ 2Ь)г = 20 и |а| = 1, |Ь| = 2. 1.69. В треугольнике АВС АВ = Зег — 4ег, ВС = ег + 5ег. Вычислить длину его высоты С)г, если известно, что е~ и ег— взаимно перпендикулярные орты. 1.70. Вычислить пр +ь(2а — Ъ), если |а| = |Ь| = 1 и (а, Ь) = = 120'. 1.71. Известно, что АМ = 2е~ — бег и АС = Зег + ег, где ег и ег — взаимно перпендикулярные орты. Определить углы треугольника АВС. 1.72.
Найти угол, образованный единичными векторами е~ н ег, если известно, что векторы а = ег + 2ег и Ь = 5ег — 4ег перпендикулярны. 1.73. Найти угол гг при вершине равнобедренного треугольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны. 1. Векто лая алгебра 1.74. К вершине куба приложены три силы, равныс по величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям граней куба; проходящим через эту вершину. Найти величину равнодействующей этих трех сил.
1.75. Задан прямоугольник АВСР и вне его произвольная точка М. Доказать равенство МА.МС = М о ~И). Вывести отсюда, что )М~)з+ ~Щ~з = ~Щ~'+ ~М1~~г 1.76*. АВСР— равнобочная трапеция, Адо = а — основание, Аду = Ь вЂ” боковая сторона, угол между А о и А 6 равен — . Выразить через а и Ъ векторы РС, СВ, АИ и РВ. 1.77. Зная, что (а) = 3, )Ь| = 1, )с( = 4 и а+ Ь + с = О, вычислить аЬ+ Ьс+ са. 1.78. Даны векторы ад = (4, — 2, -4) и аэ = (6, — 3, 2).
Вычислить: а) ададб 6) (2ад — Зат)(ад + 2ат); в) (ад — аз)з; г) ~2ад — аз!; д) пРа адб е) пРагад' ж) направляющие косинусы вектора ад, з) прщ+,(ад — 2аз); и) сов(ад, аз). 1 79. Даны точки А(2, 2) и В(5, — 2). На оси абсцисс найти такую точку М чтобы АМВ = —. 2 1.80. Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами А(-1, — 2, 4), В( — 4, -2, О) и С(3, — 2, 1). 1.81. Для заданных векторов а, Ь и с вычислить пр,(2а — ЗЬ): а) а = — 1+ 23 + 1с, Ь =- 31 + 3 + 1с, с = 41 + 33; 6) а = 1 - 23 + 31с, Ь = — Зд + 23 — 1с, с = бд + 23 + 31с. 1.82. Доказать, что четырехугольник с вершинами А( — 3, 5, 6), В(1, — 5, 7), С(8, — 3, — 1) н Р(4, 7, — 2) -- квадрат.
1.83. Найти косинус угла р между диагоналями АС и ВР параллелограмма, если заданы трн его вершины А(2, 1, 3), В(5, 2, -1) и С( — 3, 3, -3). 1.84. Вычислить работу силы г' = 1+ 23 + 1с при перемещении материальной точки из положения А( — 1, 2, О) в положение В(2, 1, 3). 1.85. Даны векторы а = (1, Ц и Ъ = (1, — Ц. Найти косинус угла между векторами х и у, удовлетворяющими системе уравнений 2х+ у = а, х+ 2у = Ь. 1.86. Векторы а, Ь и с имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти координаты вектора с, если а = д + 3, Ь = =3+ 1с. 20 Гл. 1.
Векто ная алгеб а и аналитическая геометрия а Если с = Х1+ У1 + Ек, то из условия задачи следует, что вектор с удовлетворяет системе уравнений са=Х+У=аЬ=1, сЬ = У' + Е = аЬ = 1, )с)г — Хг+ Уг + Ег = )а(г ~Ь)г = 2. 1 4 1 Решая эту систему, находим Хг = --, Уг = —, Яг — — — — или Хг — — 1, 3' 3' 3 Уг = О, Я~ = 1. г 1.87. Лучи 1ОА), (ОВ) и [ОС) образуют попарно равные углы гг величины —. Найти угол между биссектрисами углов л'.АОВ и 3' л'.ВОС.
1.88. Найти координаты вектора х, коллннсарного вектору а = = (2, 1, — Ц н удовлетворяющего условию ах = 3. 1.89. Вектор х перпендикулярен векторам аг = (2, 3, -Ц и аг = (1, — 2, 3) и УдовлетвоРЯет Условию х(21 — 3+)с) = — 6. Найти координаты х. Если задан некоторый вектор е, то орогозоиальиой сосогавляющсй произвольного вектора а вдоль вектора е называется такой вектор а, который коллинеарен е, а разность а — а перпендикулярна вектору е.
Аналогично, ортогональной составляющей вектора а в плоскосоги Р называется вектор аг, компланарный плоскости Р, причем разность а — ая перпендикулярна этой плоскости. 1.90. Для вектора а = ( — 1, 2, Ц найти ортогональную соста- вляющую вдоль базисного орта д и ортогональную составляющую в плоскости векторов г и 1с, 1.91. Заданы векторы е = (1, 1, Ц и а = ( — 1, 2, Ц.
Найти: а) ортогональную составляющую вектора а вдоль вектора е; б) ортогональную составляющую вектора а в плоскости Р, пер- пендикулярной вектору е. 1.92. Заданы вершинытреугольникаА( — 1,-2,4), В( — 4, — 1, 2) и С( — 5, 6, — 4); ВР— его высота, проведенная через вершину В, Найти координаты точки П. 1.93*. Заданы векторы ед = (1, -2, О), ег = (1, 1, Ц и а = = ( — 2, О, Ц. Найти ортогональную составляющую а„г вектора в плоскости векторов ег и ег. Если бааис Ж = (ег, ег, еэ) — прямоугольный, то координаты про- извольного вектора а = Хгег + Хгег + Хгез в этом базисе могут быть вычислены по формуле Х;=ае;, г=1,2,3. 21, Векто наа алгеб а В частности, формула (11) позволяет легко найти связь между координатамн одного н того же вектора з различных прямоугольных базисах.
Пример 3. Пусть базис В' = (1', 1') получен нз базиса З = (1, )) поворотом ло- в следнего вокруг точки 0 на угол у > 0 (мы у считаем, что у > О, если поворот произведен против часовой стрелки, н у < 0 в про- 1' тивном случае) (рнс. 2). Установить связь р между координатами вектора а в базисах З 0 1 н З'. ° з Пусть а = Х1+ У3.
Тогда Рнс. 2 Х' = ар = ХП'+УЗЫ, У =а3' = Х1у+УЦ, (12) О другой стороны, имеем: /т В = сову, 11 = сов ~- — у) = э1пу, (ч = соэ ( — + у) = — э1пу, ц' = сову. Поэтому формулы преобразования координат (12) принимают внд Х' = Х сову+ Уэ1пу, У' = — Хэ)ну+Усову. ~> 1.94. Вывести формулы преобразования координат точек плоскости при переходе от системы координат (О, З = (1, 2)) к системе (0~, З~ = (1~, 3~)), если 00' = то1+ уп), а базис В' получен из базиса З поворотом на угол у > 0 вокруг тачки О.
1.95. Написать формулы преобразования координат векторов при переходе от базиса З = (1,,), 1с) к базису З' = (1', 2', 1с'), если 1' = сову.1+ згпу 1, н = — япу 1+ сову.,1, 1с' = — 1с. 1.96. В прямоугольном базисе З = (1, 1, 1с) вектор а имеет разложение а = — 21 + 1 — )с. Убедиться, что тройка векторов 1. 1, 1. 1 1 =1, .) =,1 — 1с, 1с =,1+ — 1с Л Л ' Л Л также образует прямоугольный базис х)' = (1', 2', 1с'), и найти в этом базисе координаты вектора а. 1.97. Проверить, что тройка векторов ег = (1, -2, О), е = (О, 1, 1) и ез = (1, 2, 2) образует (косоугольный) базис. Выразить скалярное произведение векторов а1, аг через их координаты в этом базисе, если а1= Х, ег+Хг ег+Хз ез и аг =Х, е1+Хг ег+Хэ ез.
(1) В) (1) 12) (2) (2) 22 Гл. 1. Взято ная злгеб а и аналитическая геометрия 5. Векторное произведение векторов. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов ем ег, еэ называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от ег к ег и от ег и ег кажутся происходящими против часовой стрелки. В противном случае тройка ем ег, ег называется девой. Веиторяььн нроизведенвем вектора аг нз вектор аг называется вектор, обозначаемый символом [ам аг] [или аг х аг), определяемый следующими тремя условнямн: 1) длина вектора [аг, аг[ равна плошади параллелограмма, построенного на векторах аг н аг, т. е.
[[ам аг][ = [аг[[аг[эщ [ам аг); 2) вектор [ам аг] перпендикулярен плоскости векторов аг и аг, 3 упорядоченная тройка ам аг,[ам аг] правая. з определения векторного произведения следует, что а1 [] аг С,' [ам аг] = О. Алгебраические свойства векторного произведения: 1) [аг, аг] = -[аг, аг]; 2) [Лам аг] = Л[аг, аг]; 3) [аг + аг, Ь] = [ам Ь[+ [аг, Ъ]. Если аг — — (Хм Ум Вг) и аг — — (Хг, 1'г, Яг) — векторы, заданные своими координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение векторного произведения [ам аг] в том же базисе имеет вил [аг, аг] = [У1Яг — А1'г)1+ [ЯгХг — ХгЕг)1+ [Хг1'г — 1'гХг)1с, г ) Зс [ам аг] = Хг 1'г лг Хг уг Вг (13) 2н 1.98. ]а|] = 1, ]аг] = 2 и [ам аг) = —,. Вы гислитьс а) [[ам аг][; б) [[2а1 + аг, а1 + 2аг]]; в) [[а1 + Заг, За1 — аг][.
1.99. Какому условию должны удовлетворять векторы аг и аг, чтобы векторы а| + аг и аг — аг были коллинезрны? 1.100. Упростить выражения: а) [1, 3 + 1с] — О, 1+ 1с] + [1с, 1+ 3 + 1с], б) [а+Ь+ с, с]+ [а+Ь+ с, Ь]+ [Ь вЂ” с, а], в) [2а+Ь, с — а]+ [Ъ+с, а+Ь], г) 2Щ, Ц+ 3,1[1, 1с]+ 41с[1, 3]. 1.101. Доказать, что [а — Ь, а+ Ь] = 2[а, Ь] и выяснить геоме- трический смысл этого тождества. или, в символической записи (с использованием понятия определителя 3-го порядка; см. з 1 гл. 2) З 1. Векторная алгебра 1.102. ]а] = ]Ь[ = 5, (а, Ь) = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
