341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Линейные геомет ические объекты 33 Пример 3. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точки М~(1, 1, 1) и Мт(0, 2, 1) параллельно вектору а = (2 О, 1). О Задача имеет единственное решение, так как векторы М Мз = (-1, 1, 0) и а = (2, О, 1) неколлинеарны. В качестве нормального вектора к плоскости может быть взять вектор 1 3 1с -1 1 0 =1+3 — 21с. 2 0 1 п=(М,Мв, а] = Уравнение плоскости имеет вид (х — 1) + (р — 1) — 2(х — 1) = О, или х + р — 2х = О. Так как в последнем уравнении отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат. Другой способ.
Точка М(х, р, х) принадлежит искомой плоскости Р—.Ф вЂ” > в том и только в том случае, когда векторы М~м, М~Мт и а компланарны. Следовательно, х — 1 у — 1 з — 1 М~М М~М~ а= — 1 1 О 2 0 1 =О, откуда з + р — 2х = О. [> Пример 4. Прямая Ь задана общими уравнениями *+у †а, 2х †у+2. = — 1 — 25 — 31с, и канонические уравнения прямой таковы: х р — 2 з — 2 — 1 -2 — 3 Полученная пропорция эквивалентна системе трех уравнений †2х+р †, †Зх+з †, — Зр+2х+ 2 = О, Написать канонические уравнения атой прямой, а также уравнение ее проекции на координатную плоскость Охи а Точка М(О, 2, 2) удовлетворяет общим уравнениям прямой (проверьте!) н, следовательно, лежит на атой прямой.
В качестве направляющего век- тора прямой может быть взят вектор с! = [пз, пз], где п~ = (1, 1, — 1) и пз = (2, -1, О) — — нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является заданная прямая. Таким образом, 34 Гл.1. Некто ная алгеб а и аналитическая геомет ня описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости Оху, Отх и Оух соответственно (уравяенал нрлмоб в проехпклт).
В частности, уравнение -Зт+ х — 2 = 0 есть уравнение проекции заданной прямой на плоскость Охж > Пример б. Заданы скрещивающиеся прямые т у — 1 а+2 Ь!.. — —— — =— -2 О 1 х+1 у+1 « — 2 у'2 ° 1 2 -1 Найти расстояние р(с,с, Еэ) между прямыми и написать уравнения общего перпендикуляра Х к этим прямым. ° о Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую 1,с параллельно прямой с.э (рис. 3), Точка Мс(0, 1; — 2) лежит на прямой ус и, следовательно, принадлежит искомой плоскости Р. В качестве нормального вектора к этой плоскости возьмем вектор и = (Чм чэ] = 1с — 2 0 1 1 2 — 1 = — 21 —,1 — 41с.
Уравнение плоскости Р; Рис. 3 — 2т — (у — 1) — 4(х+ 2) = О, или, в общем виде, 2х+у+4з+7 = О. Расстояние р(Ьм Ьэ) равно расстоянию от любой точки прямой Гэ, например, от точки Мэ(-1, — 1, 2), до плоскости Р. Нормальное уравнение плоскости Р имеет вид 2 1 4 7 — — т — — у — — х — — =О, ,ГгТ ЛТ 21 Л11 откуда 2 1 8 7 ) 12 р(Ум Ьэ) = )б(Мэ, Р)( = — + — — — — — 1= —.
~ ~/21 ~/21 ~/21 ~/211 421 Для того чтобы составить уравнения общего перпендикуляра Ь, найдем уравнения плоскостей Р, и Р1, проходящих череа заданные прямые с,с и Ьт соответственно и перпендикулярных плоскости Р. Имеем: Мс(0, 1, — 2) Е Р, и пс = [с1с, и) = 1 — 10Л + 21с ~ Рс, откуда Рс. з 2. Линейные геометрические объекты 35 х — 10у+ 2г+ 14 = О. Аналогично, Мг(-1, -1, 2) Е Рг и пг = (Чг1 и) = = — 9г + 61+ Зк г Рг, откуда Рте Зх — 2у — г + 3 = О. Следовательно, х — 10у+2г+11 = О, Зх — 2у — г+ 3=0 — общие уравнения прямой Ь = Р1 й Рг.
> 1.180. Заданы плоскость Р и точка М. Написать уравнение плоскости Р', проходящей через тачку М параллельна плоскости Р, и вычислить расстояние р(Р, Р'), если: а) Р: — 2х+ у- а+1 = О, М(1, 1, 1); 6) Р: х — у — 1 = О, М(1, 1, 2). 1.181. Написать уравнение плоскости Р', проходящей через заданные точки Мг и Мг перпендикулярно заданной плоскости Р, если: а) Р: -х+у — 1=0, М1(1,2,0), Мг(2,1,1); б) Р: 2х — у + а + 1 = О, М1(0, 1, 1), Мг(2, О, 1).
1.182. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно векторам а1 и аг, если: а) М(1, 1, 1), а1 —— (О, 1, 2), аг = ( — 1, О, 1); . 6) М(0, 1, 2), а1 = (2, О, 1), аг = (1, 1, 0). 1 183. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и Мг параллельно вектору а, если: а) М1(1, 2, О), Мг(2, 1, 1), а = (3, О, 1); 6) Мг(1, 1, 1), Мг(2, 3, -1), а = (О, — 1, 2). 1.184. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные тачки Мм Мг и Мз, если: а) М~ (1, 2, 0), Мг(2, 1, 1), Мг(3, О, 1); б) Мг(1 1, 1), Мг(О -1 2) Мз(2, 3 -1) Пусть заданы две плоскости Р1 и Рг.
Возможны лва случая их взаимиога расположения: 1) Р1 )! Рг, в частности, плоскости совпадают; 2) Р, и Рг пересекаются по некоторой прямой. В задачах 1.185 1.188 исследовать взаимное расположение заданных плоскостей. При атом в случае 1) найти расстояние р(Рм Рг) между плоскостями, а в случае 2) — косинус угла между ними. 1.185. Рг. — и+2у — и+1 = О, Рг. у+ За — 1 = О.
1.188. Р1 . 2х — у + х — 1 = О, Рг: — 4х + 2у — 2з — 1 = О. 1.187. Р~. х — у+1 = О, Рг: у — и+1 = О, 1.188. Р1 . 2х — у — х + 1 = О, Рг. -4х + 2у + 2а — 2 = О. 1.189. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью Р: 2х — Зу + 6г — 12 = 0 и координатными плоскостями. 36 Гл. 1.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия 1 .190. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(1, 7, -5) и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки. 1.191. Три грани тетраедра, расположенного во втором октанте (х < О, у > О, г > 0), совпадают с координатными плоскостями. Написать уравнение четвертой грани, зная длину ребер, ее огра- ничивающих: (АЗ) = 6, (ЛС)( = ~/299, )Ад( = 5, и найти длину высоты ОН тетраэдра.
1.192. Написать уравнения плоскостей, делящих пополам дву- гранные углы, образованные плоскостями Р1 и Рг, если: а) Р1. х — Зу+ 2я — 5 = О, Рт. Зх — 2у — я + 3 = 0; б) Р1. 2х — р + 5я — 3 = О, Рт. 2х — 10у + 4я — 2 = О. 1.193. Написать уравнение плоскости, равноудаленной от двух заданных плоскостей Р1 и Рг, если: а) Р1. 4х — у — 2я — 3=0, Рт: 4х — р — 2я — 5=0; б) Р1. '5х — Зй'+ «+ 3 = О, Рг. '10х — 69+ 2г + 7 = О.
1.194, Установить, лежат ли точки М| (2, — 1, 1) и Мт(1, 2, — 3) в одном угле, в смежных или в вертикальных углах, образованных плоскостями Р1 и Рр, если: а) Р1. Зх — у+2я — 3 = О, Рт: х — 2у — «+4 = 0; б) Рт. 2х — р+ бя — 1 = О, Рт. Зх — 2у+ бг — 1 = О. 1.195.
Известны координаты вершин тетраздра: А(2, О, 0), В(5, 3, 0), С(0, 1, 1), П( — 2, — 4, 1). Написать уравнения его гра- ней. 1.196. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 1, -1) и перпендикулярной к плоскостям 2х — р+ 5г + 3 = 0 их+Зу — г — 7=0. 1.197. Прямая Ь задана общими уравнениями. Написать для атой прямой канонические уравнения и уравнения в проекциях (см. пример 4), если: 2х — у+2х — 3 = О, (х+29 — Зя — 5 = О, а)Рл ' б)ул ~ х+ 29 — я — 1 = О; 1 2х — у+ я+ 2 = О.
1.198. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку Мо(2, О, -3) параллельно: а) вектору с1 = (2, -3, 5); х — 1 у+2 я+1 б) прямой — = — =— 5 2 — 1 в) оси Ох; г) оси Оя; Зх — у+ 2я — 7= О, х+Зд — 2я — 3 = 0 1 е) прямой х = — 2+с, р = 2г, я = 1 — -С.
з 2. Лшейиые геометрические объекты 37 х — х~ у — у) г — г1 х — хг у — уг г — гг т1 н1 12 гл2 н2 Доказать, что прямые Ь1 и Ьг лежат в одной плоскости в том и только в том случае, если выполнено условие х2 — х! у2 — у1 г2 — г1 1 гл 12 ™2 н2 1.203. Используя результат задачи 1.202, убедиться, что прямые Ь1 и Ьг принадлежат одной плоскости, и написать уравнение этой плоскости. Исходные данные: х — 1 у+2 г — 5 х — 7 г — 1 а) Ь1. — = — = —, Ьг.— 2 — 3 4 ' 3 -2 ' х — 2 у+1 г — 3 т — 1 у — 2 г+3 б) Ь: — = — = —, Ьэ: — = — =— 3 2 — 2 ' 3 2 — 2 у — 2 2 1.199. Написать уравнения прямой, проходящей через две заданные тачки М1 и Мю если: а) М1(1, — 2, 1), Мг(3, 1, — 1); б) М1(3р -1) 0), Мя(1, О, — 3).
х — 1 у г+1 1.200. Заданыпрямая Ь: — =-= — и точка М(0,1,2) ф 2 1 О ф Ь (проверить|). Требуется: а) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую 1 и точку М; б) написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой Ь; в) написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую Ь; г) вычислить расстояние р(М, Ь); д) найти проекцию точки М на прямой Ь. 1.201. Заданы плоскость Р: х+ у — г + 1 = 0 и прямая Рл х — 1 у г+1 — = — = —, причем Ь ф Р (проверить!). Требуется: О 2 1 а) вычислить а1ц(Р, 1.) и координаты точки пересечения прямой и плоскости; ° б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую Ь перпендикулярно к плоскости Р; в) написать уравнения проекции прямой Ь на плоскость Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
