341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике)

СБОРНИ% ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ Под редакцией А. В. Ефимова и А. С. Поспелова Москва Издательство Физико-математической литературы 2001 БВК 22.1 С 23 УДК 5Ц075.8) Коллектив авторов: А. В. ЕФИМОВ, А. Ф. КАРАКУЛИН, И, Б. КОЖУХОВ, А. С. ПОСПЕЛОВ, А. А. ПРОКОФЬЕВ Содержит задачи ао линейной алгебре, аналитичесвой геометрии, а также общей алгебре. Краткие теоретнчесвие сведения, снабженные большим воличеством разобранных примеров, позволяют использовать сборнив для всех видов обучения. Для студентов высших технических учебных заведений. Учебное издание ЕФИМОВ Александр Васильевич, КАРАКУЛИН Анагиолий Федорович, КОЖУХОВ Ивор» Борисович, ПОСПЕЛОВ Алексей Сеесееич, ПРОКОФЬЕВ Александр Алсксандроеич СВОРИИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ Часть 1 Редавтор Л.

А. Панюшкина Корревтар Т. С. Вайсбсрг Компьютерная графина М. В. Иеаноеский Компьютерный набор Г.М.Красникова Компьютернан верстка А. С. Фурсов ИД № 01389 от 30.03.2000 Гигиеническое завлюченпе № 77.99.02.953.Д.003724.07.01 от 05.07.2001 Подписано в печать 15.10.2001. Формат ббх88/1б. Печать офсетная с готовых диапоаитизав. Усл.

печ. л. 18. Уч.-нзд. л. 19,8. Тираж 7000 звз. Заваа № 389 Издательство Физиво-математичесвой литературы 117071 Масава В-71, Ленннсвий проспевт, 15 Отпечатано е типографии ОАО «Внеюгоргвздат». 127576, Москва, ул. Илнмская, 7 1ВВР( 5-94052-034-0 (Ч, 1) 1ВВР( 5-94052-033-2 © Коллевтнв авторов, 2001 © Физматлит, оформление, 2001 Сборник задач по математике для агузов. В 4 частях. Ч.

1: Учеб- ное пособие для втузов /Под общ. ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспе- лова. — 4-е изд, перераб, и доп. — Мл Издательство Физико-мате- матичсской литературы, 2001.— 288 с.— БВгч' 5-94052-034-0 (Ч. 1). ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ П ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ .. 5 6 Векторная алгебра 1. Линейные операпнн над векторами.

2. Базис и координаты вектора. 3. Декартааъг прямоугольные координаты точки. Про- стейшие аадачи аналитической геометрии. 4. Скалярное произ- ведение еектороа, б. Векторное произведение аектороа. б. Сме- шанное произаедение вектароа Линойные геометрические объекты 1. Прямая па плоскости, 2. Плоскость и прямая а дространстае Привые на плоскости 1. Урааненнс кривой а декартовой системе координат. 2. Ал- гебраические кривые второго порядка. 3. Уравнение аризой в подарной системе координат. 4.

Параметрические уравнения кривой. б, Некоторые кривые, астрсчающиеся а математике и ее нрнложенпях Поверхности н привью в пространстве ............ 1. Уравнения дааерхностн и кривой а декартааай прямоугольной системе координат. 2.

Алгебраические позерхности зтарого по- рядка. 3. Классификадия поверхностей по типу ареобразоканий пространства 26 40 Г л а в а 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений 76 76 Определители . 1. Определители 2-го н 3-го порядков. 2. Опредслитечи и-го порядка. 3. Основные методы вычисления определителей и-га порядка Матрицы.............,........, 1. Операпни над матрндами. 2. Обратная матрица Пространство арифметических векторов.

Ранг матрицы, 1. Арифметические нектары. 2. Ранг матрицы Системы линейных уравнений 1. Правило 1(рамера. 2. Решение произвольных систем. 3. Од- нородные системы. 4. Погод последовательных исчислений Жордана- Гаусса 93 102 Г л а в а 1. Векторная алгебра и аиалитичеспая геометрия Оглавление Глава 3. Линейная алгебра 113 Линейные пространства и пространства со скалярным произведением 1. Линейное пространство. 2. Падпрастранства и линейные мно- гообразия. 3. Пространства со скалярным произведением Линейные операторы 1. Алгебра линейных операторов. 2.

Собственные числа и соб- ственные векторы линейного оператора, 3. Линейные операторы в пространствах са скалярным пронзведением. 4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду Билинейные и квадратичные формы......,,,..., 1. Линейные формы.

2, Билинейные формы. 3. Квадратичные формы. 4. Кривые и поверхности второго порядва Элементы тензорной алгебры 1. Понятие тензора. 2. Операции над тензорами. 3. Снмме- трираваппе н альтерянраканке. 4. Сопряженное пространства. Тензор как полилинейная функция 113 126 143 154 Глава 164 164 176 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 237 4. Элементы общей алгебры Бинарные отношения и алгебраические операции.....

1, Бинарные отношения и их свойства. 2. Виды бинарных отношений. 3. Операции над бинарными отношениями. 4. Алгебраичесаие операции и их свойства Группы . 1. Полугруппы. 2. Группы, 3, Группы полстановок. 4. Фактор- группа. б. Абелевы группы Кольца и поля 1. Кольца. 2. Поля. 3. 14ногочлены над полями. Деление многочленов, 4. Фактор-калела. б. Расширения полей. б, Алгебры над полем ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЪ|Х РЕДАКТОРОВ Настоящее издание «Сборника задач по математике для втузов» подверглось значительной перестановке глав и их распределению по томам. В результате первый том содержит алгебраические разделы курса высшей математики, в том числе векторную алгебру и аналитическую геометрию, определители и матрицы, системы линейных уравнений, линейную алгебру и новый раздел — общую алгебру.

Второй том полностью посвящен изложению основ математического анализа, дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, а также дифференциальным уравнениям. В третьем томе собраны специальные разделы математического анализа, которые в различных наборах и объемах изучаются в технических вузах и университетах. Сюда относятся такие разделы, как векторный анализ, элементы теории функций комплексной переменной, ряды н их применение, операционное исчисление, методы оптимизации, уравнения в частных производных, а также интегральные уравнения.

Наконец, четвертый том содержит теоретические введения, типовые примеры и циклы задач по теории вероятностей и математической статистиве. Указанные выше изменения составляют лишь структурную переработку Сборника, никоим образом не затрагивая ни расположения материала внутри соответствующей главы, ии последовательности нумерапин примеров и задач. В смысловом отношении авторы внесли талыш следующие изменения. Во всех разделах Сборника исключены теоретические введения и циклы задач, связанные с численными методами. Дело в том, что в настоящее время существует пелый ряд программных оболочек, каждая из которых реализует достаточно полный набор стандартных методов приближенного ращения задач, а основные навыки рабаты с компьютером можно приобрести уже в школе.

Авторы посчитали также необходимым добавить один новый раздел «Основы общей алгебры» и предложить цикл задач по тензорной алгебре в разделе «Линейная алгебра» в первый, «алгебраический» том Сборника. Это связано с тем, что круг идей и методов общей алгебры все глубже проникает в наукоемкие отрасли промышленности и, следовательно, становится необходимой частью образования и подготовки специалистов по инженерным специальностям.

Кроме отмеченного выше, авторами выполнена стандартная техническая работа па исправлению ошибок, описок и других неточностей, учтены также все замечания, возникавшие в процессе работы с предыдущими изданиями Сборника. А. В. Ефимов, А, С, Поспелов из предисловия х пеРВому издАнив Идея создания «Сборника задач по математике для втузов«, содержащего задачи по всем разделам курса математики инженернотехнических специальностей вузов, принадлежит Б. П.

Демидовичу. Однако преждевременная смерть профессора Б. П. Демидовича помешала ему осуществить вту работу. Настоящий «Сборник задач«, подготовленный авторским коллективом, имеющим большой педагогический опыт работы во втузах, — воплощение в жизнь идеи Б. П. Демидовича. Общая структура «Сборника задач«предложена редактором А. В. Ефимовым и отражает содержание программы па математике для инженерно-технических специальностей вузов, рассчитанной на 510 часов и утвержденной Учебно-методическим управлением по высшему образованию Минвуза СССР 14 мая 1979 г. При составлении «Сборника задач«нашел отражение и опыт преподавания курса математики в Московском институте электронной техники, рассчитанного на 600 — 700 часов.

В сборник включены задачи и примеры по всем разделам втузовского курса математики. С целью закрепления материала школьной программы в нем, кроме того, приведен ряд задач, позволяющих более углубленно повторить основные разделы анализа и векторной алгебры, изучаемые в школе. Одной из основных особенностей настоящего сборника является включение в большинство глав цикла расчетных задач, решение которых требует использования ЭВМ. Предлагаемая первая часть сборника «Линейная алгебра и основы математического анализа» включает те разделы математики, которые как правило, изучаются на первом курсе.

Сюда относятся векторная алгебра с элементами аналитической геометрии, линейная алгебра, а также дифференциальное исчисление функпий одной и нескольких переменных и интегральное исчисление функпий одной переменной. Каждый раздел сборника задач снабжен кратким введением, содержащим как необходимые теоретические сведения (определения, формулы, теоремы), так и большое число подробно разобранных примеров. Начало решения примеров и задач отмечено знаком <3, а конец — знаком ~>.