341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 12

22). Характеристическое свойство: а кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а, которая катится без скольжения по окружности х + уз = Ь~, оставаясь внутри ее (в начальный момент точка М находится в положении А(6, 0)). В част- 6 ном случае а = — эта кривая совпадает с астроидой. 4 13.

Полукубическал парабола дз = ахт (рис. 23). 14. Петалевая парабола аут = х(х — а)т (рис. 24). 13. Декартов ласт хэ + дз — Заху = 0 (рис. 25). 3аз 16. Локон Акьезв у = — (рис. 26). хт + 4ат 34. Поверхности и кривые в простроиетве 1. Уравнения поверхности и кривой в декартовой прямоугольной системе координат. Говорят, что поверхность Я в системе координат Охуя имеет уравнение г"(х, у, я) = О, если выполнено следующее условие: точка М(х, у, я) принадлежит поверхности Я в том и только том случае, когда ее координаты х, д и я удовлетворяют соотношению (1).

Если, в частности, г'(х, у, с) = у(х, д) — х, то уравнение (1) может быть записано в виде я= у(х, у), (2) и в этом случае поверхность Я совпадает с графиком функдии двух переменных у(х, д). Кривая Г в пространстве в общем случае определяется как линия пересечения некоторых поверхностей 51 и Ят (определяемых неоднозначно), т. е. заданием системы двух уравнений Е~(х,у,я)=0, Гз(х,у,с)=0. (3) Пример 1.

Вывести уравнение поверхности, каждая точка которой расположена вдвое ближе к тачке А(2, О, 0), чем к точке В( — 4, О, 0). < Если Я вЂ” поверхность, заданная условипми задачи, то М(х, у, х) 6 Я в том и только том случае, когда р(М, В) = 2р(М, А) или А* + с ' + У' -.'- *' = 2 '7* — 2) г~ У ' '; *'. 3 4. Поверхности и кривые в пространстве 63 Отсюда получаем (х+ 4)2+ у2+ г2 = 4((х — 2)'+ у'+ г2), Зхг 24Х+ Зуг+ Згг 0 или, выделяя полный квадрат в слагаемых, содержащих х, (х — 4)2 + у2 + гг = 16. (4) Уравнение (4) и есть искомое уравнение поверхности.

Из него видно, что заданная поверхность Я есть сфера радиуса 4 с пентром в точке Мо(4 0 0) ~> Пример 2. Исследовать форл2у кривой Г, заданной уравнениями (х — 1)2 + у2 + г2 = 36, у+2 = 0. (5) Определитт вип ее проекции на плоскость Оху. а Кривая Г задана кзк линия пересечения сферы (х — 1) + у + гг = 36 с плоскостью у + г = 0 и, следовательно, есть окружность. Так как центр сферы С(1, О, О) лежит в плоскости сечения у+ г = О, то пентр окружности совпадает с точкой С, а ее радиус равен радиусу сферы, т.е.

П= 4. Установим форму проекции окружности Г на плоскость Оху. Исключая г из системы (5), получаем (х — 1) + 2у = 36, или — + 2 2 (Х вЂ” 1) 36 2 + — = 1. Отсюда заключаем, что искомая проекция — эллипс, главные 18 оси которого сонаправлены с осями Ох н Оу, центр находится в точке С'(1, 0), а полуоси равны а = 6, 5 = ЗтГ2. 2> Установить, какие геометрические образы определяются заданными уравнениями: 1.344.

г+ 5 = О. 1.345. х — 2у + г — 1 = О. 1.346. х2 + у2 + гт = 4. 1347 (х 2)г+уг+(а+Цг Гб 1.346. 2хт + ут + Згг = О. 1 349 хг + 4гг = О. 1.350. Хг+2уг+222+7 = 0. 1351. Хг — 4гз = О. 1.352. Хг = О. 1.353. хуг = О. 1.354. Х2 — 4х = О. 1,355. ху — уг = О. 1.356. Вывести уравнение поверхности, разность квадратов расстояний ат каждой точки которой до точек Кг(2, 3, -5) и Гг(2, -7, -5) равна 13. 1.357, Вывести уравнение поверхности, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек Р1( — а, О, 0) и гг(а, О, 0) равна постоянному числу 4аз. 64 Вл. 1. Векторная ялгеб а и аналитическая геометрия 1.358. Вывести уравнение поверхности, сумма расстояний от каждой точки которой до точек Р~(0, О, — 4) и Кг(0, О, 4) равна 10.

1.356. Вывести уравнение поверхности, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек Г~(0, — 5, 0) и Рг(0, 5, 0) равен б. 1.360. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет сферу, найти ее центр С и радиус Л: а) хг+ уг+ гг — бг = 0; б) хг + уг + гг — 4х — 2у + 2» — 19 = О. 1.361.

Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев (обозначено: С вЂ” центр сферы,  — радиус, М, Мг, Мг, Мг — точки на сфере): а) С(-1, 2, 0), В = 2; б) М(2, -1, -3), С(З, -2, 1); в) М~(2, -3, 5) и Мг(4, 1, — 3) — юнцы диаметра сферы; г) С(З, -5, — 2), плоскость 2х-у — 3»+11 = 0 касается сферы; д) Мг(З, 1, — З)„Мг(-2, 4, 1), Мз(-5, О, 0), С Е Р: 2х+ у— — г+З=О.

1.362. Составить уравнение сферы, центр которой лежит на прямой 2х + 4у — г — 7 = О, 4х+ 5у+ г — 14 = 0 и которая пасается плоскостей х+2у — 2» — 2 = 0 и х+2у — 2»+4 = О. 1.363. Составить уравнение сферы, вписанной в тетраэдр, образованный плоскостями Зх — 2у+ бг — 8 = О, х = О, у = О, » = О. 1.364. Составить параметрические уравнения диаметра сферы хг+уг+ гг — 2х — бу+» — 11 = О, перпендикулярного в плоскости бх — у + 2г — 17 = О. 1.365. На сфере (х — 1)г+(у+2)г+(г — З)г = 25 найти точку Мо, ближайшую к плоскости Зх — 4»+19 = О, и вычислить расстояние от этой точки до плоскости.

1.366. Определить, кав расположена плоскость относительно сферы (пересевает, касается нли проходит вне ее), если плосвасть и сфера заданы уравнениями: а) г = 3, хг+ уг + гг — бх+ 2у — 10»+ 22 = 0; б) у=1, хг+уг+,г+4х 2у 6»+14 О в) х = 5, хг+ уг+ гг — 2х+ 4у — 2г — 4 = О. 5 4. Поверхности и кривые в пространстве 65 1.367. Установить, какие кривые определяются следующими уравнениями: а х — 5=0, б с ( хг + уз + г2 = 49, ) Г) 2 2 2 у х2+у2+22 20, ( х2+у2+г2 49 2 О.

1х2+уг+г2 4г 25 0 1.368. Найти центр и радиус окружности: á а) х +у +г =10у, х + 2у+ 2г — 19 = 0; б) (х — 3)2+ (у+ 2)2+ (г Ц2 100 ~ 2х — 2у — г+ 9 = О. Указание. Центр окружности есть проекция центра сферы на плос- кость. 1.369. Найти проекцию на плоскость г = О сечения сферы х2 + + уг+ г2 = 4(х — 2у — 2г) плоскостью, проходящей через центр сферы и перпендикулярной к прямой х = О, у + г = О. 1.3ТО. Точки А(3, — 2, 5) и В(-1, 6, — 3) являются концами диаметра окружности, проходящей через тащу С(1, — 4, 1). Со- ставить уравнения зтай окружности.

1.371. Составить уравнения окружности, проходящей через три точки М1 (3, -1, -2), М2(1, 1, -2) и Мз(-1, 3, 0). 2. Алгебраические поверхности второго порядка. Алгебраической по- верхностью второго порядка называется поверхность Б, уравнение ко- торой в декартовой прямоугольной системе координат имеет внд Ахг+ Вуг+Сгг+ 2Рху+2Ехг+2Гуг+Ох+ Ну+ уг+ К = О, (6) где не все козффнцненты при членах второго порядка одновременно равны нулю (в противном случае Я вЂ” алгебраическая поверхность первого порядка, т. е.

плоскость). Может оказаться, что уравнение (б) определяет так называемую вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей). Если же поверхность невыролсденнин, то преобразованием декартовой прямоугольной системы координат ее уравнение (б) может быть приведено к одному нз указанных ниже видов, нааываемых каноническими н определяющих тип поверхности. хг дг гг 1. Эллипсоид: — + — + — = 1 (рнс. 27). аг 52 сг 2.

Гиперболоид хг уг а) однополостный: — + — — — = 1 (рис. 28а); аз Ьг ст 66 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия Рис. 27 Рис. 29 Рис. ЗО 3 4. Поверхности и кривые в пространстве 67 Рис. 31 х р2 б) двуполостный: — + — — — = — 1 (рис. 28б).

а2 в2 с2 х2 92 22 3. Копре второго порядка: — + — — — = 0 (рис. 29). а2 62 с2 4. Параболоид: х2 р2 а) эллиптический: — + — = а (рис. 30а); а2 о2 68 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия 2 2 б) гиперболический — — — = 2 (рис. 30б). а2 62 5. Цилиндр вя2орого порядка хэ а) эллитппический — + — = 1 (рис. 31а); а2 62 хэ уэ б) гиперболический — — — = 1 (рис. 31б); а2 62 в) параболический уэ = 2рх, р > О (рис. 31в).

Общие методы приведения уравнения (6) к каноническому виду опираются на теорию квадратичных форм и рассматриваются в и. 4 э 3 гл. 3. Цель настоящего пункта состоит в изучении основных геометрических свойств невырожденных поверхностей второго порядка с использованием их канонических уравнений. Одним из основных методов исследования формы поверхности по ее уравнению является мешод сечений Пример 3. Методом сечений исследовать форму и построить поверхность, заданную уравнением хэ уэ 2 = 2 — — — —.

16 25 (7) л2 В сечении поверхности горизонтальной плоскостью 2 = Ь имеем кривую Гь, проекция которой на плоскость Оху определяется уравнением 2 2 Ь=2 — — — —, 16 25' или уэ — + — = 2 — Ь. 16 25 (8) Уравнение (8) при Ь ) 2 не имеет решений относительно (х, у). Это означает, что соответствующее сечение пусто, т.с. рассматриваемая поверхность леликом расположена ниже плоскости 2 = 2.

При Ь < 2 уравнение (8) определяет эллипс с полуосями а = 4~/2 — Ь и 6 = 5~/2 — Ь, вырождающийся в точку х = у = О при Ь = 2. Заметим, что все эллипсы, получаклциеся в сечениях поверхности плоскостями г = Ь < 2, 2еа 41 подобны между собой ~ — = сопвФ = -/, причем с уменьшением Ь их 1,6 5/' полуоси неограниченно и монотонно возрастают. Полученной информации достаточно, чтобы построить эскиз поверх- насти. Дальнейшее уточнение ее формы можно получить, если рассмотреть сечения координатными плоскостями Оху и Оуг.