341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 8

1.202, Пусть заданы две прямые: 38 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геомет ия 1.204. Найти расстояние между параллельными прямыми х — 2 у+1 «х — 7 1г — 1 « — 3 и 3 4 2 3 4 2 1.205. Найти расстояние ат точки А(2, 3, — 1) да заданной пря- б) ( х = 31+5, у=21, « = -21 — 25. ) 2х — 2у+ «+ 3 = О, ) ~Зх — 2у+ 2«+17 = 0; 1.200. Доказать, что прямые г ~ ~ ] ~ ~ ~ ~ ~ ! 2х + 2у — « — 10 = О, Ьг: х — у — « — 22 = 0 х+7 у — 5 «-9 иЬ«.— =— 3 — 1 4 параллельны и найти расстояние р(Ьг, Е«).

1.207. Составить уравнения примой, проходящей через точки пересечения плоскости х — Зу+ 2«+ 1 = 0 с прямыми х — 5 у+1 « — 3 х-3 у+4 « — 5 и 5 — 2 — 1 4 — 6 2 < х — 4« — 1= 0, у — 3«+2 = О. х-4 у+1 1.209. Найти уравнения проекции прямой 3 — 2 на плоскость х — Зу — «+ 8 = О. 1.210. Определить угол между прямой < х+у+« †2, 2х+у †« †1 и плоскостью, проходящей через точки А(2, 3, -1), В(1, 1, 0), С(0, — 2, 1). 1.211. Написать уравнение плоскости, прохаднщей через тачку Мо(7, 1, 0) параллельно плоскости 2х + Зу — « — 15 = 0 и пересех у — 1 « — 3 кающей прнмую — = — = —. 1 4 2 1.212.

Написать канонические уравнения прямой, которая проходит через точку Мо(3, -2, -4)параллельно плоскости Зх-2у— х — 2 у+4 « — 1 — 3« — 7 = 0 и пересекает прямую 3 -2 2 1.213. Доказать, что расстонние между скрещивающимися прямыми Лг: г(1) = гг+с1г1 и Ьт. г(1) = г«+с1««может быть вычи- 1.208. При каком значении Л плоскость 5х — Зу + Л«+ 1 = О будет параллельна прямой 2. Линейные геомет ические объекты 39 слепо по формуле Нг2 — г1)Ч1ЧЫ 1(Ч1~ Ч2)! Для заданных прямых Х1 и Х2 требуется: а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, т. е.

явля- ются скрещивающимися; б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую Х2 параллельна Х1; в) вычислить расстояние между примымн; г) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым Х1 И Е2. х+7 9+4 2+3 1.214. Х1: — = — = —, 3 4 -2' х — 21 у+5 е — 2 Х~2 ° б -4 — 1 х †9-3 2+3 1215 Ь1: = = 5 3 — 2 4 х+1 у+7 г — 4 Х'2 3 — 3 8 х у-9 2+2 х-2 р 2+7 1.216. Х1.

— = — = —, Х2. 1 4 — 3 ' 2 — 2 9 х+7 д — 4 г — 4 1.217. Х1: 3 ' — 2 3 х — 1 у+8 2+12 Х'2: 1 2 — 1 1.218. Куб АВСХУА'В'С'Ху' задан своими вершинами А(0, О, О), В(1, О, 0), С(1, 1, 0), Ху(0, 1, 0), А'(О, О, 1), В'(1, О, 1), С'(1, 1, 1), ХУ'(О, 1, 1). Выполнить следующие задания: а) написать уравнения прямых А'С и ВС', б) вычислить расстояние между прямыми А'С и ВС'; в) написать уравнения общего перпендикуляра к прнмым А'С н ВС'; г) написать уравнение плоскости, проходящей через тачки Р, 1~и Н, где Р— центр грани АВВ А, Я делит ВС ватношении— / / и Н расположена на ребре ВВ' так, что длина вектора Рту+ ЙьХ минимальна; д) определить угол между полученной в и.

г) плоскостью и диагональю куба ВР'. 40 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия 33. Кривые иа плоскости 1. Уравнение кривой в декартовой системе координат. Говорят, что кривая Г в системе координат Сху имеет уравнение Г(х, у) = О, если выполнено следующее условие: точка М(х, у) принадлежит кривой Г в том и только в том случае, когда ее координаты х и у удовлетворяют соотношению (1). Если, в частности, г'(х, у) = У'(х) — у, то уравнение (1) может быть записано в виде у = У(х) (2) и в етом случае кривая Г совпадает с графиком функции у(х).

В настоящем параграфе изучается свнзь между геометрическими свойствами кривой и ее уравнением в некоторых наиболее простых случаях. Пример 1. Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек А(-а, 0), В(0, а) и С(а, 0) равна Заз. з пусть à — кривая, удовлетворяющая условинм задачи; м(х, у) б Г в том и только в том случае, когда р (М, А)+р (М, В)+р~(М, С) = Заз, или (х + а) + у + х + (у — а) + (х — а) + у = За .

После простых преобразований получаем х +у — -ау = О, или, вьщеляя 2 3 полный квадрат, а г аз "'(--) =т Это и ость искомое уравнение кривой, являющейся окружностью радиуса а ат — с центром в точке Мо (О, -). г> 3 (, *3)' В задачах 1.219 — 1.232 требуется установить, какие кривые определяются заданными уравнениями, и построить эти кривые. 1.219. х+ )~г( = О.

1.220. (х(+ у — х = О. 1.221. ' — ху = О. 1.222. ху+ у~ = О. 1.223. хз — ггз = О. 1.224. ху = О. 1.223. уз — 9 = О. 1.226. хз — х — 6 = О. 1.227. х~у — 7ху + 10у = О. 1.228. х~ + у~ = 4. 1.229. х~+ (у+ З)~ = 1. 1.230. х~+ 2у~ = О. 1.231. 2х~ + у~ + 2 = О. 1.232. хз + !у~ — 1/ = О. 1.233. Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точек Мг(3, 2) и Мз(2, 3). 3. Кривые на плоскости 1.234.

Написать уравнение кривой, разность квадратов расстояний от каждой точки которой до точек М1(-а, 0) и Мг(а., 0) равна с. 1.235. Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до оси Ох вдвое больше расстояния до оси Оу. 1.236, Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек М1( — 3, 0) и Мг(3, 0) равна 50. 1.237. Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки М1(-1, 1) вдвое меньше расстояния до точки Мг( — 4, 4). 1.238.

Написать уравнение кривой, сумма расстояний ат каждой точки которой до точек г1( — 2, 0) и Гг(2, 0) равна 2ьД. 1.239. Написать уравнение кривой, модуль разности расстояний ат каждой точки которой до точек Р~( — 2, -2) и Рг(2, 2) равен 4. 1.240. Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки г (2, 2) и от оси Ох. 1.241. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет окружность, найти ее центр С и радиус Л: а) хг+ уг — 4х+ бу — 3 = 0; б) хг+ уг — 8х = 0; в) хг+уг+4у = 0 1,242. Написать уравнение окружности в каждом из следующих случаев (обозначено: С вЂ” центр окружности,  — радиус, М, Мы Мг, Мз — точки на окружности): а) С(2, — 3), В = 7; б) М(2, б), С(-1, 2); в) М1(3, 2), Мг( — 1, 6) — концы диаметра окружности; г) С(1, — 1), прямая 5х — 12у + 9 = 0 — касательная к окружности; д) М(1, 2), окружность касается координатных асей; е) М1 (3, 1), Мг( — 1, 3), С Е Ь: Зх — у — 2 = 0; ж)* М1(-1, 3), Мг(0, 2), Мз(1, -1) 1.243.

Написать уравнение диаметра окружности хг+уг+4х— — бу — 17 = О, перпендикулярного прямой 5х + 2у — 13 = О. 1.244. Вычислить кратчайшее расстояние от точки Мо до окружности Г, если: а) Мо(6, — 8), Г; хг + уг = 9; б) Мо(-7 2), Г: .тг+ уг — 10х — 14у — 151 = О. 1.245. Определить, как расположена прямал относительно окружности — пересекает, касается или проходит вне ее, если пря- 42 Гл.

1. Велта ная алгебра к аналитическая геометрия Ахг + 2Вхр+ Срэ + Вх+ Ер + Г = О, (3) где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю (в противном случае à — прямая, т.е. алгебраическая кривая первого порядка). В общем случае может оказаться, что уравнение (3) определяет так нааываемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых). Если же кривая Г невырожденная, то дчя нее найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение атой кривой имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение): г рг + — — 1, а>Ь>0, аэ (4) х р~ — — — =1 а Ь>0 а г Ьг > (5) рт е 2рр, р > О, (6) При этом кривая Г называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой, а сама система координат, в которой ее уравнение имеет вид (4), (5) или (6), называется канонической сисгаемой координата для заданной кривой.

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду подробно рассматривается в и. 4 э3 гл. 3. Целью настоящего пункта является изучение основных геометрических свойств невы- рожденных кривых второго порядка на основе их канонических уравнений. 2 2 Эллипс с каноническим уравнением —,, + — = 1, а > Ь > О, имеет ае форму, изображенную на рис. 4. Параметры а н Ь называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки А>( — а, О), Аг(а, 0), В>(0, -Ь) н Вг(0, Ь)— его вершинами, оси симметрии Ох н Ор - — главными ослми, а центр симметрии Π— центром эллипса. Точки г1 ( — с, О) и гг(с, О), где с = т/аэ — Ьт > О, называются фокусами эллипса, векторы г1 Л4 к г' Л1 — фекальными радиус-векторами, а числа г1 = )г' Л1) и гг = )гтМ) — фональнымн радирсами точки ЛХ, мая и окружность заданы уравнениями: а) 2х — у — 3 = О, х~ + уэ — Зх+ 2д — 3 = О; б) х — 2у — 1 = О, хг+ уз — 8х+ 2у+12 = 0; — д+ 10 = О, хг + дг — 1 = О.