Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (Антидемидович), страница 14

По теореме Виста е, + зз + хз —— О, откупа с, = -хз — зз, Подставив х~ в равенство сз — х, = Ь(зз — х,), получим -*з = ~~,' = /сз, Ьз Е К. Следовательно, 1гп =" = О, откуда хзу, — хзуз — — О, у, = вз хз. Взяв вместо точки (хз, уз) любую точку (х, у) на прямой, получим прямую у = ах, а = ш, проходяшую через начало координат. Поэтому имеем *в в в хз = х,с*, с, = хзе', сз = х,с', где х; > 0 (3' = 1, 2, 3) По формулам Виста получаем р = О, дс™ = 24е'з, гсз = а, тле р = -(х, +хз+ хз), о = х,х, + х,хз+хзх,, г = — х,хзхз.

Поскольку х, — действительные числа, то уравнение х +)зх +ох+в=х -~-Ох+в=О имеет три действительных корня. Из формул Кардано следует, что коэффициенты а и г должны уловлетворять условию Отсюда заключаем, что 0 < О. Из второй формулы Виста имеем а = -24, еззв = -сз з . Поскольку з)6( — з, з),тос* =(-!)сзз =е( з) =е зз,ЗО=-зг, Гл 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного Согласно третьей формуле Виста г = — а, а Е К. Из неравенства (!) при о = -24, г = -а получаем, что а' < 2", т.

е. (а( < 32ъ~2. ° . 42. Найти все корни уравнения (х+а)" = х" (и Е (й(). Доказать, что если а — действительное число, то все корни хй лехсат на прямой, параллельной мнимой оси. м Уравнение эквивалентно при х Ф 0 уравнению !" =- 1, где ! = — *+, . Следовательно, ,йй гй = е* (й = О, п — 1). При й = О !е — — 1, что невозможно, поскольку з+ а ~ х, если а ~ О, Переходя от ! к е, получим 1 1 1 — (соз — — (пп — ) а (! — соз — +!н!и — ) зй, и г 2йг . Зй й хй=-а — = — а зй = — а гй l 2й 1 — !й ! — 2 — 2соз— 2 !1 — сой — ) — е' а 3!и — + (5!и — соз — а ( йх — — = — — ( 1+ ! с!я — / (й = 1, и — 1) 2 з)лзй 2 ~ и( Если а б К, то Ке ай — — — —,, т. е.

все корни лежат на прямой, параллельной мнимой оси, м 1 — й 43. Каковы на сфере Римана образы точек: 1) в = 1; 2) х = -1; 3) х = й; 4) х = —. ъ'2 м Воспользуемся формулами (3), п.1.3: ( = .ф!т, О =;Др, Г = —,, В примере речь идет об образах точек х, = (1, 0), хз —— ( — 1, 0), з, = (О, 1), з, = (+, — +) . Обозначив образы точек гч соответственно через Я, (! = 1, 4), получим: г,= —,о,—, г,= -),о,—, г,= о,—,—, г,= Все четыре точки лежат на экваторе, долготы их соотнезственно раним О, х, — ', — — "„. М 44.

Найти на сфере Римана образы: а) лучей агйх = а; б) окружностей ч = (х б С: (х! = г). м а) Если точка х Е С принадлежит лучу агй х = а, то соответствующая ей точка Я = (Г. О, Г) имеет свойство: главным значением агх(Г+ ей) является а. Поэтому точка Я принадлежит полу- меридиану, отвеча!ошему углу а.

Справедливо и обратное Следовательно, образом лу йа агй з = а прн стереографической проекции является пачумеридиан, отвечающий углу а, исключая северный и южный полюсы. б) Пусть х б С н !х~ = г. Тогда для соответствующей золян Я Е 5, Я = (Г, О, Г), по формулам (3), п.1.3, получаем, что Г = —," ... Поэтому все точки В лежат на окружности, вырезаемой из сферы 5 плоскостью, )равнение которой Г = — '--г. Справедливо и обратное угнерждение: из м 1 тех же формул (3) следует, что если ( = —,',, то дяя соответствуюшего х имеем (х( = г.

Следовательно, образом окр)экностн Т при стереографнческой проекции является окружность сферы о, ,г лежащая н плоскости Г = —,', . м 45. Найти на плоскости С образ параллели с ширмой (е ( — /з <?з < /з) прн стереографической проекции. Чему соответствуют южный и северный полюсы? М ПУсть точки (С, О, Г) Е Я имеют шиРотУ (и. Тогда Г = ,—' + дчзл. ПоэтомУ из фоРмУл (3), п.

1.3, находим Каждой точке параллели широты Р соответствует точка плоскости С, нахоляшаяся на окружности У = Тх б С: (4 = !й (кз + —,) ), 06Ратное Угвейждение также спРаведливо. Южный полюс, т, е. точка широты (а = --,, соответствует точке (х( = О, Точки, отвечающей северному полюсу, в плоскости С нет. > 46. Что соответствует на сфере Римана семейству параллельных прямых на плоскости С при стереографической проекции? М Рассмотрим семейство параллельных прямых плоскости С, пересекаюших ось Оу. Пусть прямая этого семейства проходит через начало координат и наклонена к оси Оа под углом а.

б 2. Топология комплексной плоскости 43 Тогда из задачи 44 следует, по ей соответствует меридиан (за исключением северного полюса) с долготой а. Пусть у = ях + Ь, д = !да — любая другая прямая этого семейства. Тогда, если точка Я = ((, О, () Е В соответствует точке а = х+ гу, по формулам (3), п. 1.3, получаем дх+ Ь 1з!' (= —, О= —, в 1+~ ~г !+)а!г 1 ! ~а~г О да О = ДЕ+ Т;,', = Д(+Ь(1-() ПоэтомУКООРдина ( О ( точки г УдоюгетвоРЯгот уравнениям г г' 1) 1 М вЂ” Π— Ь(=-Ь и ( +„+ г( 2,~ 4' Следовательно, точка Я принадлежит окружности, определяемой двумя последними уравне- ниями. Так как точка (О, О, 1) удовлетворяет этим уравнениям, то все такие окружности проходят через северный полюс. Таким образом, всякому семейству параллельных прямых на плоскости С отвечает на Я се- мейство окружностей, каждая из которых проходит через северный полюс. М 47.

Доказать, что при стереографической проекции окружности, расположенные на сфере, проектируются в округхности или в прямые на плоскости. Какие окружности на сфере соответ- ствуют прямым на плоскости? < Рассмотрим на сфере Римана окружность АС + ВО+ С(+ Р = О, (г„г+ г( !гг где А, В, С, Р— некоторые действительные числа. Найдем образ этой окружности при стерео- графической проекции сферы Я на плоскость С. Пусть точка (О, О, 1) принадлежи~ данной окружности. Тогда Р + С = О и уравнение плос- кости, в которой лежит заланная окружность, примет вид АТ+ Вг) = С(1 — (). Принимая во внимание формулы (2) и (3), п.

!.3, получаем в плоскости С прямую Ах + Ву = С, которая и есть образ данной окружности. Из формул (3), п.1.3, получаем, что ( = (1 — ()х, О = (1 — ()у. Поэтому из уравнения плоскости А(+ ВО+С(+ Р = О следует, что С = 1 + л,~~'„' . Тогда, ггодставляя выражения (, О, ( через х и у в уравнение сферы, получаем уравнение кривой в плоскости С: (Р+ С)(х Ч- у ) + Ах+ Ву = — Р. Если С+ Р эь О (т.е. заданная на сфере Римана окружность не проходит через северный полюс), то эта кривая является окружностью на плоскости С, а если С+ Р = О (т.

е. окружность на сфере проходит через северный полюс), то она переходит в прямую на плоскости С. м $2. Топология комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел. Свойства функций, непрерывных на компакте 2.1. Тополопап комплексном плоскостп. В пункте !.2 показано, что упорядоченная четверка В = (С, +,, ~ ~) является нормированным векторным пространством над полем !к. Поэтому упорядоченная пара (С, р), где у(аг Е С, зг Е С) я(вп хг) = !аг — а,! = (хг — х,)г+ (уг — у,)', есть метрическое пространство.

В множестве С введем в рассмотрение так называемую сферическую метрику р. Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного перемемиого ПУсть Яг((г г)г, ьг), Вг(сг, бы ьг) — сфеРические изобРажениЯ точек х, б С, хг б С. ХРР- дальным Расстояние,и к(Я„В,) между точками Яг и Яг называется евклидова норма вектора (сг сг г)г г)г (г (г), т.

е. Й(дг, Яг) = ((г — (г) + (г)г — г)г) + ((г — Сг) . Полагаем »гг(хг Е С, хг Е С) р(хг, гг) т й(Я», Яг). Согласно основным формулам стереографической проекции имеем 1 +М" 1+! гР' ' 1-~И2' 1+И" ' 1-У~хгР' ' 1Ч-~ гР' Слеловагельно, если хг б С» хг 6 С, то г г г +~ Гг 1+~ Г,) "(, ч~"~г +~ Гг) '), +~ ~г - ~.Г )х»1~ И~ 2(хгхг -Ь угуг + ~хг~~~ г1~) 1+ /хг/г 1+ ~хф (1+ !хг!г) (1Ь !хг!г) (1Ч- /хг/г) (1-Ь )хг!г)' ! г — хг! Р(хг» хг) »гг( + /хг~г»,Л Ч- (хг(г ы Если х Е С, то р(х, со) = ='==. Таким образом, )хг — хг/ „(, „,,—,) „,,)"г у)'Й,у +~~.~ уг) + ~х~Р' если х»ЕС» хгЕС, если гг Е С, хг = оо.

Упорядоченная пара (С, р) является метрическим пространством. Заметим. что в множестве С можно пользоваться сферической метрикой. Пусть А С С— ограниченное множество (напомним, что согласно определению 5, п.3.2, гл.1, применительно к мегрическому пространству (С, р), множество А называется ограниченным, если его диаметр г((А) = щр р(хг, хг) = зор ггг — х,~ конечный). Пусть О < гг < +оо и»гх е А ф < л. *ЫА, » ел »пе н гел Тогда Ч(гг б А, г, б А) имеем р( г, г) гхг — хг! г ~ ~Р(хг хг) ~ ~Р(т хг).

(2) 1 + )(' ' ,/1 + !х,/г,/ 1 + ~х,/г В рассмотренном случае метрики р и р зквивалентны. уолологией в метрическом пространстве (Х, р) называется семейство открытых множеств в нем (см. п.б.б, гл. 1). Топология в пространствах (С, Р) и (С, р) осуществляется путем введения в рассмотренные семейства окрестностей. Пусть е > О и ха Е С. Согласно определению 1, п.

3.2„гл. 1, множество 0,(ха) = (х Е С: 1х — ха( < е) 0,(со)=(хбС:р(х,со)<е)= хбС: <е = хбС:(х~> ~ — — 1, (3) ф-~-~Да ~ — ~ ~/ ~ ег т. е. множество всех точек комплексной плоскости С, лежащих вне окружности радиуса называется е-окрестностью точки хь в метрическом пространстве (С, р). В метрическом про- странстве (С, р) е-окрестностью точки х = оо является множество в 2. Топология комплексной плоскости 45 Согласно определению 2, и. 3.4, гл. 1, точка» Е А С С (» Е А С С) называется внутренней, если с)чцествует ее е-окрестность О,(») С А.

По определению 1, п.3.3 гл. 1, множество О С С (О С С) называется открытым в метрическом пространстве (С, р) ((С, р)), если оно состоит лишь из внутренних точек. Согласно теореме 1, п. 3.3, гл. 1, каждая е-окрестность в метрическом пространстве (С, р) ((С, р)) является открытым множеством. Определеиие 1. Совокупность всех открытых множеств в комплексной плоскости С (С) называется топологией г этой плоскости, а упорядоченная пара (С, т) ЦС,т)) — таповогическим пространством.

Топологическое пространство (С, т) ((С,т)) обладает свойствами: 1) обьединение любого семейства (Ов)„ел аткрытьтмнажеств О„С С (О„С С) и пересечение конечнага семейства их являются открытыми множествами (см. теорему 2, п. З.З, гл. 1); 2) пустое множества о и множество С (С) являются атнрьнпылт множествами. Согласно определению 3, п. 3.5, гл. 1, точка»в Е С (», Е С) называется тачкой прикосновения ллножесчва А С С (А С С), если любая ее б-окрестность Ог(хв) имеет с А непустое пересечение. Точка»в б С (»в Е С) называется предел~ной лля множества А С С (А С С), если она является точкой прикосновения множества А)[»в). Из определения прелельной точки множества А следует, что любая ее б-окрестность содержит бесконечное множество точек из А (см.