Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (Антидемидович), страница 12

М 11. Решить относительно г уравнение агу+ Ьг 4 сг+з( = О (а б С, Ь б С, с б С, з(б С). а Как и в предыдЗтцем примере, данное уравнение равносильно системе а!г!з+ Ьг+ сг + з( = О, б!г!'+Ь + +4=0. Умножим обе части первого уравнения на а, второго — на а и вычтем полученное одно из другого. Находим: (ас — аЬ)г — (ас — аб)г + аЮ вЂ” ЬЛ = О, Обозначим (ас — аЬ)г =- Я, тогда последнее уравнение примет вид л — л = — (аз( — азй, т. е. 2з 1ш Я = — 2з 1ш(ад), Отсюда подучаем 1 — з 1т(аз() Я = ! — !1ш(аб), т.е.

г =, ! б К. ° . ас — аЬ 12. Установить, когда выполняется равенство Ке(г,г,) = (Кег,)(йег,). м Пусть г, = гзе'"', гз = г,е""', узз б Агдам Ззз б Агбгз. Тогда получим: Ке(гааз) = Ке(гзгзея~'+~н) = гзгг(созузз соя уз! — япузз яп узз), (Кс г )(Ке гз) = гзгз соззз1 соырз. Указанное в условии равенство выполняется, если з!пуззз!прз = О, т.е. когда гз б К или гзбК. > ~ г — а 13. Пусть а б С и !а! < 1. Доказать, что неравенства !г! < 1, ~ ~ ( 1 эквивалентны и 11 — аг что равенспю в обоих случаях достигается при одном и том зке г.

М Пусть !г! ( 1. Рассмотрим разность (г — а! — !1 — аг! = (г — а)(Х вЂ” а) — (1 — аг)(1 — ау) = = (г! — аг — ай+ )а! — 1+ ад+ аг — !а! !г! =()а! — 1)(1 — (г! ) (О. Следовательно, )г! ~ (1 ю ~ —;~ ( 1.

Пусть ! —,* ~ ( 1, тогда да!з — 1)(1 — )г!г) ( О ю )г! ( 1, так как по условию )а! < 1 Гл. 2. Комплекекые числа и функции комплексного переменного 34 1 ! 14. Пусть « = х + зу Н' О. Найти — + —. г уг' м Имеем 1 1 «' + «г (х — зу)' + (х + зу) 2(х' — у ) «г †(««)г (хг + уг)г (хг и, 3)г ' 15. Найти главное значение аргумента чисел «, = -2+ 33, «, = о -|- 3Ь (о < О, Ь < 0). и Точка «, лежит во втором квадранте «-плоскости, поэтому агу«, = агс|8 '1-5) + я = зз 3à — ате|8-,, Точка «, находится в третьем квадранте, поэтому агу «, = ясгб-„— Я.

> 3 аб. Изобразить в тригонометрической форме числа «, = 1+ 3533 и «, = 1 — соьа+ | яп а. М ЛЛЯ «1 ИМЕЕМ: !«~1= 13+ (ч«3) = 2, 518«1 = агс18333 = —. г 33 3 Лля «г: а !«3| = (1 — соьа)'+ яп'а = 251п —. 2 Считая, что 0 < а < 2« и замечая, что ~ ага «г'3 < —,, получаем япа ь!п(агб «,) =- 2яп —" г Таким образом, а . 1'гг аз я-а соь — = Яп !х- — -), агб«г = —. 2 32 2!' 2 а/ я — а гг — ах «г = 251п ~соь + 151п 2 3 2 2 «, = 2 (соь — 4 3 яп - 1, 3 3/' 17.

Выразить со55« и 5|и 5х через соьх и 5|их. М Согласно формуле Муавра со55х+зйп 5« = (соьх+зяп х)'. По формуле бинома Ньютона имеем (соьх+ зяпх) = сов х+ 53соь хяпх — 1Осоь хяп х — 101соь хяп х+5соьхяп х+зяп х. з г . 3 4 Отсюда со35х = соь х — 10соь хяп х+ 5соьхяп х, яп5х = 5соь хяпх — 10соь хь|п и+яп х. 3 3 ° г .4 . 4 .

г .3 Вычислим, например, соь — ', и яп — ', . Имеем: 4 23г, 2я г 2л, 23г 33, г 2язз Гг г 2«3( г 23г, 23г 0 = 5соь — — 10соь — 5|п — +5|о — = 5 ~! — яп — ) — 10 ~! — яп — ) яп — +ь!и 5 5 5 5 ~, 5) ~, 5) 5 5 Обозначив яп' 3 = У, получаем квадратное Уравнение 1бу' — 20у+ 5 = О, откуда г 25 10+ 2335 23г 3/10+ 23Г5 у = яп — = 5 !6 ' 5 4 5!П Тогда 2я 10+ 2535 Хгтб — 25'5 ъ35 — ! со5 — = 1- 5 16 4 4 .4 3««3 ! 4 ! 4 г г гг 4 3 яп х = !х —,3! = — (« — Х) = — (« — 4««(«+у )+ 6«у +«) = — со54х — -со52х+ —, ~ 2| ) 2' 24 8 2 8 так как «+ 8 = 2 со« |гх, «8 = 1, «у = («Л) = 1. М 18.

Представить яп х в виде многочлена первой степени от тригонометрических углов, 4 кратных х. И Записывая « = сзи*+ 5япх, « = соьх — 3япх, « — у = 23япх, получаемг в 1. Комплексные числа и комплексвая плоскость /1 19. Найти Р„(х) = — ~ — + сов х й сов 2х+ ... + сов ох 2гг 1 2 я Пусть ог = ~ созйх, ог = 2 япйх, » =соах+зяпх. Тогда ь=о 35 е! ч ь яз+куг = ~ ° » — 1 и=о »"+' — 1 соз(п+!)х+ !з!п(в+1)т — 1 созп* — соз(п+ 1)х — созх+ 1 Яг = Ке = Ке » — 1 (соз х — ! ) й г з!и х 2 — 2созх Р„(х) = — (х — — + 5~) =— 2гг ~ 2 ) 2а 2яп'- г В теории рядов Фурье функцию Р„называют ядром Яирцхле.

М 20. Пусть», и»г — смежные вершины параллелограмма, », — точка пересечения его диагоналей. У ра Найти две другие вершины параьтелограмма. < Данные и искомые вершины выгодно рассматривать в качестве свободных векторов (рис. 15). На- 25 з чало вектора», — », находится в точке»,, его конец — в точке»,. Поскольку вектор свободный, то, помещая его начало в точку»з, получим»4 — — »з + гз (»з — »г) = 2»з — » . Аггалогично, »з — г !. (»з — »у) = д г 2»з — »~ 21. Пусп )»,) = '!»г! = !»з) = 1.

Доказать, 22 что точки ы»,, », являются вершинами равностороннего треугольника тогда н только то~да, когда Х » + +,=о. м Необходимость. Пусть»,, »,, », — вершины равностороннего треугольника. Они лежат на елиннчной окружности с центром в начале координат и являются корнями уравнения» — (соз уз + г з!и р) = О. Таким образом, з з г з (» — »г)(» — »г)(» — »з) = » — (»г+»г+»з)» +(»г»г+»г»з+»з»~)»»г»г»з я» — (созуг+ !з!птг).

Согласно известной теореме Виста»г +»г+»з = О. Достаточность. Пусть», +»г +»з = О. Обозначим д = »,», +»,», й»з»,. Так как »з»з = »А = »,»г = 1, то д = »,»,»з(»з+»г+»П = О и числа»» »г»з удовлетворяют уравнению » — »г»г»з = О. Его корни лежат на единичной окружности. я 3 22. Решить уравнение х*' '+х" '+ ... +х+1 = 0 (так называемое уравнение дюения круга). м Достаточно решить уравнение»" — 1 = О, поскольку »" — ! = (» — 1)(»" ' +»" + ... +» + 1).

Корни этого уравнения»ь = тг! = е - (й = О, и — 1) можно записать в виде 1,оз„, ы„', ..., оз„" ', где оз„= »,. В частности, — 1+ гнгЗ х, 'г 2гг 2Я 1 / огг =-1, ыз —— , ьц — — г, ыз =е з =сов — +гз!и — = — ~575 — 1+о 10+ 25»5 2 ' ' 5 5 4 (см. пример 17). Задача представления ы„в форме, содержяцей лишь квадратные корни, является аналогом »апачи о построении с помощью линейки и циркуля правильного п-угольника, вписапного в окрузкность единичного радиуса. В. 23. Решить уравнение 32»з = (» + 1)з. М Все корни этого уравнения удовлетворяют условию !2») = !» + Ц. Если воспользуемсзй, равенствами х = — ',*, у = — *, где» = х + гу, то получим равенство (х — 5 з + у = -, т.

е. ь Зб Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного устанавливаем, что корни хй = г„(соз оз„+ з яп )зй) (й = О, 4) принадлежат окружности радиуса- 2 с центром в точке х = —,'. Полагая х = з(соло!+!япуз), х+1 = р(соззр+зяпзр) (рис. 16), получаем (2г) (сох 5уз+ з яп 5уз) = р'(соз 5зр + з яп 5зр). Отсюда р = 2г, р = зр + '— ,, й = О, 4. По теореме косинусов для треугольника с вершинами в точках О, х, У х+ 1 имеем 1 = 5г — 4г созВ, В = р — ф, а по теореме 2 2 синусов япзр = (5 — 4созВ) 2 5|пВ.

Следовательно, 1 2яй гй —— Вй = —, ,5-~ ! 5 яп Вй Узй = Фй + Вй —— агсяп ) +в„, 5 — ! ! й = О, 4. !ь Газ. 26 х — а ч-т йх 24. доказать, что = П(х' — 2ах соз — + аз), а > О. хз — а зп й=! и Зная один корень х = а уравнения х' — а' 242се остальные корни получим в виде ай!2~„, ()з = 1, 2т — 1) (см. пример 22). Поэтому х — а = (х — а)(х — аозз ) ... (х -аозз ) ... (х - аыз ), х — ай!2 = х+а.

Поскольку о/2 = с05 —, + 3 52п,—, ТО й 2 -й й й 2 — й й ызт + ь~з = 2 Кеыз, й» й22 = йзз ыз = 1 (х — ай!2 )(х — аыз' ) = х — 2ахсоз — +а (й = 1, т — 1). Ы й 2 -й 2 2 25. Пусть зй — произвольные точки, тй > 0 — произвольные числа (й = 1, и), причем Е пзй = 1. Доказать, что всякая прямая, проходящая через точку х, = ~~з тйз„, разделяет й=! й=! точки х„, если только не все они размещены на одной прямой. м Допустим противною все точки 2„Размещены по одну сторону от прямой Т, проходЯщей через точку зо.

Выберем систему координат, в которой прямая т совместится с мнимой осью, а точка хо будет началом координат ы-плоскости. Тогда точки хй будут точками ый ы-плоскости, ый = (х„— х,)ез, где  — упзл между прямой Т и мнимой осью 5-плоскости. Поскозшку, по зв предположению, Кетой > 0 (< 0) И = 1, и, то ~ тй той > 0 (< 0). Однако й=! Е тйпзй = ~ (тйхй — !поло)е' = О, в й=! й=! так как (!паха — тахо) = ~ тйхй — хо~~' зпз, = ~зпйхй — хо = О. Е й=! й=! й=! й=! Получили противоречие, источник которого в предположении, что все точки хй размещены по одну сторону от прямой у.

Рассмотренная задача может быль интерпретирована следующим образом: точки хй с помещенными в них массами зпй не могут лежать по олпу сторону от прямой у, проходящей через центр инерции этой системы материальных точек. Ы $1. Комплексные числа и комплексная плоскость 37 2б. Доказать утверждение К. Гаусса: нули многочлена Р„(г) = па„г" + (п — 1)а„,г" '+ ... + 2азг + а„аь Е С, а„Ф О, Р„'ОО = а„(г — г,)(г — гз) ..

(г — г„,)+а„(г —,)(г — гг) (г — г -г)(г г )+ . + + а„(г — г~)(г — гз) ... (г — г„) + а„(г — гг)(г — гз) ... (г — г„). Если Р„'(г*) = О, г* зь гь (а = 1, п), то Р„(г') 1 « Р„(г') а„(г' — г1)(г" — гз) ... (г' — г„) «(а„(г*-г1)... (г*-г„~)-Ьа„(г -г~)... (г -г„з)(г — г„)+...Ьа„(г -гз)(г*-гз)... (г — г )) = 1 1 1 + +...+ =О. г~ г — г г г Тогда и 1 1 1 + + ... + = О, г* — г„ г* — г„ г' — г~ откуда следует, что г* — г„ г' — г„ г* — г, + ... + = О, ~г* — Р 1г* — г ~Р М ' — г1Р Из последнего равенства находим; г ~ 1г — г.

! ~ = ) гь!г — гь) гы ь=! г' = ') гпьгь, ь=! О г .ы где ть — — „' * > О, 2«, щь = 1. ь=~ г=! Таким образом, кюкдая прямая, проходящая через точку г, разделяет точки г„г„... г„(см. пример 25). М 27. доказать, что оба значения ъ'гг:! лежат на прямой, проходящей через начало координат и параллельной биссектрисе внутреннего угла треугольника с вершинами в точках — 1, 1, г, проведенной из вершины г. < На рис. !В агй(г +!) = а,, ага(г — 1) = о,. Тогда агй(г' — !) = а, + аз, 3 ° (з+ гызь .з — 1= !гз- Цт,* з (й =О, Ц.

Значения з/гт — ! имеют аргументы шз"з и -"-' — "з+а.. О 1 Поскольку аг — — а, + )5, то значения залу - ! имеют аргтменты а, + кз и о, + аз+к. Угол 7 наклона биссеки .га трисы к оси Ох равен а, + а. Следовательно, оба значения з/гт -Т лежат на прямой, проходящей чеРез начало коорлинат, параллельной биссектрисе внутреннего угла треугольника с вершиной в точке г. В не могут быль размещены вне наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего все нули г„г„..., г„многочлена Р„(рис. 17) (Р„'— производная многочлена Р„). л Поскольку Р (г) = а„ П (г — гь), то ь=! Гл.

2. Комплексные числа н функции комплексного перемеинога 38 28. Исходя из геометрических рассмотрений, доказать неравенства: 1) — — 1 ( ~ агй е1; 2) ~е — 1~ < (1 4 — 1( + 1х)~ ага 4 . 14 М 1) Рассмотрим рис. 19. На нем видно, что длина корды, стягивающей дуву окружности единичного радиуса, центральный угол которой равен ) агв г), не превосходит длины этой дуги. Знак равенства возможен лишь в случае, когда агде = О, т. е, -. Е К, з ) О. 2) На рис.