Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (Антидемидович), страница 11

1.3. Стереогрвфпческвя проекция и ее свойства. Для нужд теории аналитических функций комплексную плоскость С дополняют бесконечна удаленной точкой, соответствующей условному комплексному числу оо. Множество С = С О (оо) называют расширенной комплексной иласиасмыа. Для наглядного изобрюкения расширенной комплексной плоскости проведем специальное геометрическое построение. Введем в пространстве м~ систему координат 0696 так, чтобы плоскость С совпала с плоскостью м~ и чтобы оси 06 и 09 совпали с осями Ои и Оу комплексной плоскости з. Построим сферу а Радиуса -, с центром в точке !О, О, -,), которая касается комплексной плоскости в начале координат (Рис. 14).

Точки (6, а, й) б Я удовлетворяют уравнению ( + г) = ((! О. (1) Гл. 2. Комплексные числа п фуикпии комплексного переменною 30 Реь. 14 Точку (О, О, 1) обозначим через ггг и будем соединять ее с различными точками сферы «'((, ц, (') прямолинейнымн лучами с началом в гУ и отмечать на каждом луче точку г = х+ гу встречи его с плоскостью С.

Тогда все точки сферы, за исключением точки гтг, спроекгируются на плоскость С. Этим установлено взаимно-однозначное соответствие г г' между множествами С и б!(Х). Если условимся, что г = сс !У, то получим взаимно однозначное соответствие между множествами С и э. Это соответствие называется стереографической проекцией, Сферу Я при этом называют сферой Римана. Установим связь между координатами точек г и г'. Координаты точки г~ удовлетворяют уравнениюсферы (1), а условие, что точки г, г и г Г лежат на олной прямой, имеет внд ~-О 1-О (-1 х — 0 у — 0 0 — 1 Следовательно (2) 1-(' Принимая во внимание (1) и (2), имеем !г! = х .1- у г г з С Ьц ( ьг)г откуда 1 (= —, 1-(= 1+ !г!з' 1+ !г!э' Получаем обращение формул (2): — (= 1 + !г!г 1+ (г)з 1 + (г(з Соотношения (1), (2), (3) называются основныии формулами стереографической проекции.

Стереографическая проекния имеет два важныл свойства: 1) нри стереографической проекции окрухсности всегда переходят в окружности (лри этом прямая на плоскости С считается окружностью бесконечного радиуса); 2) если две кривые на сфере 5 пересекаются в точке М, а касательные к этим кривым в точке М образуют угол а, то и угол мгхо)у косатачьными к стереографической проекции этих кривых в тачке М' «х пересечения также равен а, т. е. величины углов лри стереографической проекции сохраняются. Для большей наглядности изложенного выше воспользуемся географической терминологией.

Плоскость, проходящая через нентр сферы параллельно плоскости й = О, называется эгсвоториальной. Согласно принятой терминологии, точка А б Я лежит но параллели с широтой р, если б 1. Комплексные числа н компвексная плоскость 31 М Воспользуемся правилами действий над комплексными числами и равенством «« = !«~ . Получим: (1 — в)' (1 — в)(1 — в) 11+ в(1 21 2(1 -1- Зв) 1 + Зв 1 3 «2 = — = -+в-; 2 ~1 — 3»Р 5 5 5 «1=2 — + — =2 е'1 =2 е' =2; 12 2 ° »О во ( —; — ) ="(-;,'--::)'=":-'-' = = -2 е' 1 " = -2' (соз ( — + и) + в в!и ( — + х) ) = 2+ в2ь»3. М 2. Найти модули г и аргументы !л комплексных чисел а+ Ьв (а и Ь вЂ” действительные числа): «, = Зв; «1 — — — 2; «1 = 1 1- в! -1- в,' «1 =2+51; «в = 2 — 5в; «» = -2 + 51; «в = -2 — 51; «в = Ьв (Ь и 0); «ю = а + Ьв.

° а Под р понимаем главное значение; — и < а»8 «< х, агс189» — главнаЯ ветвь от — -', до —,. Определя~ь и легче, если нзобрюкать точку «на комплексной плоскости. Имеем Г»шв«11=3,9»1= 1! Г»ш(«»»=2.,В»»=Х' Гз=!«1»=Ъ2,Р»ш В,' ГВ=!«4»=Ъ2вув гв = !«4 = в» 29, Э»1 = агс»8 1; гв = ~«в| = и 29, у»в = — агс»8 1; г» = И = «29, вр» = »г — агс18-,; гв = !«в! = ч29, У»в = агс»8-', — »г; гв = («в!= |Ь(, Рв = —, в' — — 1 зйпь; гвв = («ве(=;»а'+Ь», рвв = агс18 -„, ь вг + агс18 —,, в агс»8 — — »г и а>0, а<о, ь>о, а < о, ь < о.

м 3. доказать, что в)! имеет следующие четыре значения й.- (1/2+ В»2+1~/2 — Ъ»2), ~- (Х/2- Р2+Втв»'2+э»2) . к+ы, де»ь —, э'« = соз.в — 4 — + вмп.» и —, Ь = О, 1, 2, 3. М Пусть « = в, тогда »4 = 1, аг8« = Э» = Получаем четыре различных значения корня: вг»г «е = соз — -1- в з(п— 8 9»г 9« к,, вг «1 = СЗ — +ВМП вЂ” = — СВМ вЂ” — Вйн —, 8 8 8 8' 5и , 5я Зи «1 = СОЗ вЂ” + ВЗ!П вЂ” = — СОБ— 8 8 8 13»г, 1За Зи «1 = Саз — + В В1П вЂ” = СО«в 8 8 8 Звг +вз!п— За — в йп —. 8 радиус-вектор О'А с началом в центре сферы 5 образует угол )» с экваториальной плоскостью, причем в верхней по отношению к этой плоскости части сферы р изменяется от 0 до —,, а в нюкней части сферы — от --", до О. Точки сферы, имеющие одну и ту»ке широту р, образуют иараллель дан ной широты.

Долм»»иойточки А(р, 9, () б Я называют а»8(9+19). Совокупность точек данной долготы Л образует иолумеридиаи этой долготы, Точка»в» называется сел«рным иолюсом, а начзло координат 0 — юэеиым полюсом. Рассмотрим примеры. 1. Представить в виде а + вь (а Е )й, Ь Е 31) следующие комплексные числа: »у!+в') /!+ ЫЗ'в «1= .' «1= .' «1=(1+1~3); «в= ~ — ) !+в 1 — Зв ~1-*) ' ~ 1- ) 32 Гл. 2. Комплексные числа и фуикпии комплексного переменного ПОСКОЛЬКУ |СО5Х! = 3/ 1, |51ПХ| = 3/' г, то 4. Определить комплексные числа г, удовлетворяюшие следуюшим двум условиям: г — !2 5 г — 4! — ~=1. г — 81 3' г — 8~ м Так как ~ —;,', ! = ("-з:-;-'-"ф. = —, !'=5) = 1-;-'- т-"т = 1, то задача сводится к решению системы уравнений 2хг + 2уг+ 27х — 50у+ 38 = О, 8х = 48. Ее решения — 51 — — (6,17), г, = (6, 8), т.

е. г, = 6+ 17П 51 —— 6+ 812 5. Доказать тождество |а+ ь!'+ |а — ь)1 = 4|а|1, если |а| = |ь|. м Воспользуемся очевидным свойством гг1 х г, = г, х г, и тем, что гг = |г!'. имеем: |а + Ь| + |а — Ь! = (а + Ь)(а + Ь) + (а — Ь)(а — Ь) = (а + Ь)(о + Ь) 4 (а — Ь)(а — Ь) = = аа + ОЬ + Ьа + ЬЬ+ аа — аЬ вЂ” Ьа+ ЬЬ = 2(аа + ЬЪ) = 2(|а! + |Ь! ) = 4|о! . ~ 6. Доказать тождество |! — ОЬ|1 — |а — Ь!1 = (1+ |ОЬ!)' — (|а|+ |Ь!)' (а 6 С, Ь 6 С).

М Аналогично проделанному выше получим: |1 — ОЬ| — |а — Ь| = (1 — ОЬ)(1 — ОЬ) — (а — Ь)(а — Ь) = = (! — аЬ)(1 — аЬ) — (а — ЬКΠ— Ь) = 1 — аЬ вЂ” аЬ+ ааЬЬ вЂ” аа+ аЬ+ Ьа — ЬЬ = = 1+ |а| |Ь! — (|а! + |Ь! ) = 1+ |аЬ! — (|а| + |Ь!) + 2|ОЬ! = (1+ |ОЬ!) — (|О|+ |Ь!) . М |а+ Ь! 7.Доказать тожлество = а (а >О; ЬЕ С АЬФ -а). ь~ а Таккака>О,то — — 1+ — = 1+ — = 1+— а — Ь 8. Пусть |а! = 1 или |Ь! = ! (а м' Ь). Доказать, по — и 1 1 — аЬ м Поскольку |а — Ь! = (а — Ь)(а — Ь) = |а| — аЬ вЂ” Ьа+ |Ь|, то |1 — ЬЬ)~ = (! — 86)(! — ОЬ) = 1 — ОЬ вЂ” ОЬ+ |аЬ|1. Если |а! = 1, то |а — Ь| = 1 — ОЬ вЂ” Ьа+ |Ь), |1 — аЬ! = 1 — ОЬ вЂ” ОЬ+ |Ь!, т.е.

|а — Ь! = |1 — ОЬ| и ~ —,а ~ = 1, Аналогично. если |Ь! = 1, то ! ж=а~~ ~ = 1. ~ г 1+ сов 4 3Г/244/2 С05 — = 8 2 2 Зг 3/ 2 — 4/2 8 2 ! гед — — ~~ з/2+ /2+14/2 — Г2), 2 4, 11 1 — соа 4 3/2 — т/2 5!П вЂ” = ~/ 8 1/ 2 2 Зк 4,/2+ 4/2 51П вЂ” = 8 2 1 у г1,1 = + - ( Ъ' 2 - т/2 + ! 3/ 2 4 4/2) . ~ 2 4, $1. Комплексные числа и комплексная плоскость 33 9. Модули комплексных чисел г„г„гз, гг образуют геометрическую прогрессию, а их аргументы — арифметическую прогрессию. Найти гз и гз, если г, = тГ2, г4 — — 4Е а Пусть (( — знаменатель геометрической прогрессии, з( — разность арифметической прогрессии. Тогда !г,! = !гз!4 = ч24, )гз! = !гз!4' = зги~, !гг! = 4 = тз24~, откуда д = зг2. Пусть узз = агдг, (з = 1, 4).

Поскольку )зз = О, то Ззз — — д, узз = 2з(, уз, = Зз(. Так как гг —— 4! = (сот 34+ г яп Зг(), то соя Зз( = О л яп 34 = 1. Следовательно 34 = -", + 2ля, з( = =„+ '— ", (я б Е). Поскольку з( = !ез — — ага г,, то -я < — + — ' < зг. Получаем три значения гй з(з = —;, з(з = -' зг, з(з = — — и, соответственно, по три решения для г, и г,: ,5 гз З = 2е* Т гЗл=2е Т, гпЗ=2е з 3 г гз ! 2ъ'2ез з, гз = 2ъ'2ез з, гзз ! 2з/2е 10. Решить уравнение аз+ Ьг = с (а б С, Ь б С, с б С). м Если г — решение данного уравнения, то д будет решением уравнения Ьг+ аг = с.

Решая систему уравнений с аз+ Ьг = с, Ьг+аг = с, получим, при условии что !а!з за !Ь!'. г = Есяи !а!' = !Ь!', то система несовместна, за исключением случая, когда —, = -„= '-,. При выполнении этих условий система сводится к уравнению сЬг + сЬТ = сс, т. е. к Я+ Я = !с!', гле л = сьг. Последнее уравнение имеет решение л = -'!с!'+ Ы, -оо < 1 < +ос. Возвращаясь к г, получим: г = з г + г .т (1 б К).