Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (Антидемидович), страница 9

На это указывают следуюпсие утверждения. Теорема 2 (о непрерывности сужения отображения). Пусть атабразкениеУ: Х- Е непрерывно в точке хо Е Рс, А С Вг и хо Е А, Тогда сузкение 1!л — непрерывное в точке хо отображение. < ПУсть х„- хо и ссп Е Р( х„б А, То~да Усл(х ) = У(х ) У(хо) = 1|л(хо). > Напомним, что множество И С Х называется окрестностью точки хо Е Х (см. п.3.4), если существует такое открытое множество 0 С Х, что хо Е 0 С (г. Если хо Е А С Х, то пересечение А гс )г называется окрестностью точки хо в А.

Теорема 3. Пусть существует такал окрестность И| точки хо в ВР чта отображение У~се непрерывно в точке хо. Тогда отображение 1: Х Т непрерывно в точке хо. < ПУсть х„х, и )си Е Р( х„б РР СУШсствУет такой номеР по Е в), что )Сп > ло х Е И. Поскольку У(х.„+.) = У!и (х.оь.) У~и (хо) = У(хо), то У(х„) — У(хо) при и сю.

По определению отобрахсение У непрерывно в точке хо. м Смысл теорем 2 и 3 состоит в том, что свойство непрерывности отображения в точке зависит только от тех значений, которые ояо принимае~ в некоторой ее окрестности. Сформулируем понятие непрерывного отображения на языке окрестностей. Оиределение 3. Пусть (Х, рх) и ()г, рг) — метрические пространства. Отображение 1: Х г' называется непрерывныл| в точке хо Е РР если для каждой окрестности (г' тачки 1(хо) в .ннажестве Ег существует такал окрестность )г точки хо в множестве РР чта 1(И) С И|.

Отображение 1 лазываетгя непрерывным, если онп непрерывна ссх Е РР Посказьку множества 0,(1(хо)) С Е|, 0|(х,) С Вг являются окрестностями точек 1(хо) и х,, то понятие непрерывности отображения 1 в ~очке хо можно сформулировать на языке си б-окрестностей: отображение 1: Х -| Г называется непрерывным в точке хо Е Вг, если длн каждой окрестности 0,(1(хо)) С Ег существует такая акрестласть 0|(хо) С ВР чта У(0|(хо)) С 0,(1(хо)). Теорема 4.

Ды того чтобы отображение 1: Х Г была непрерывным в точке хо Е ВР неабхадил|о и достаточна, чтобы прообраз 1 '()г') каждой окрестности точки 1(хо) в ЕГ был окреппнастью тачки хо в Р|. < Необходимость. Если отображение 1 непрерывно в точке хо Е РР то из определения 3 следует, что хо Е )г С 1 '()г'), следовательно, прообраз 1 'Пг') является окрестносзъю точки хо в Вг.

Достаточность. Если И' = 1 '()") — окрестность точки хо в Вт, то существует такое откРытое множество С, что хо Е 0 С И', в силУ чего г' В 1(0). М Следуюшие две теоремы носят вспомогательный характер. Теорема 5. Пусть 1 с Х вЂ” | )г и хо Е Вг — тачка прикосновения множества А С ВР Если атабразкение 1 непрерывна в тачке хо, та 1(хо) — точка прикосновения множества У(А). щ Если )г' — окрестность точки 1(хо) в Ег, то по теореме 4 1 '()с') — окрестность точки хо в Вг.

Так как хо — точка прикосновения мно|кества А, то А гс 1 '()с') Флс. Следовательно, суздествует точка х Е А п 1 '()"), в силу чего 1(х) е 1(А) сз )г', т.е. множество 1(А) сз ъ" не- пустое. Поскольку ог' — окрестность точки 1(хо), то последняя является точкой прикосновения множества 1(А), й Теорема б, Пусть У: Х Т, А' С Ег, В' С ЕГ и А' Р В'. Тогда '(А'')В') = 1 '(А'))1 '(В'). т Пусть х Е У '(А' )В') Тогда 1(х) Е А )В ~ 1(х) Е А' л 1(х) К В' ~ х б 1 '(А') л х 6 Ус(В') ~ = х Е 1 '(А')зУ '(В') ~ 1 (А'сВ') С У '(А'))1 '(В'). Гл. 1. Основные структуры математического анализа 24 Если у Е ( '(А'))7 '(В'), то уЕТ (А)пуЕТ (В)~Т(у)ЕА ЛТ(у)ЕВ мьТ(у)ЕА~В ~ и у б 1 '(А')В') ю 7 '(А'Р,Т '(В') С 1 '(А'~чВ ).

Из полученных в конце цепочек импликаций включений следует доказываемое равенство. м Следующее утверждение носит глобальный характер. Теорема 7. Пусть 7: Х У. Следующие свойства эквивалентны: 1) 7 — непрерывное отображение; 2) прообраз 7 '(О) каждого множества, открытого в ЕР открыт в Рг ! 3) прообраз 7 '(Р) каждого мнохсегтва Р, замкнутого в ЕР замкнут в Рг ! 4) для каждого множества А С Рг справеддиво включение 7(А) С У(.4). и Докажем, что выполняется цепочка нмпликаций !) ~ 4) ~ 3) ю 2) ~ 1). Пусть отобрюкение 7 непрерывно и А С Рг — произвольное множество, А — его замыкание, состоящее по определению из всех точек прикосновения множества А.

Если х Е Рг — точка прикосновения множества А, то по теореме 5 7(х) — точка прикосновения множества 7(А). Поэтому 7(А) С 1(А) и !) ю 4). Если выполнено условие 4) и Р С Ег — замкнутое множество в ЕР А = 7 '(Р), то 7(А) С Р = Р. Следовательно, А С Т '(Р) = А н так как А С А, то А замкнуто. Таким образом, 4) о 3).

Пусть выполнено условие 3). Согласно теореме 6 имеем У (!пгР) = 7 '(Р!ЭР) = 7 (Р)зг7 (ОР) = !пгТ (Р). Следовательно, 3) ~ 2). Осталось установить, что 2) ю 1). Пусть выполнено условие 2). Если )г' — окрестность точки 7(х) в ЕР то существует открытая окрестность И" С )г' этой же точки. Прообраз 7 '(И") является открьпым множеством в РР содержащим точку х и содержащимся в 7 (уи), По теореме 4 отображение У непрерывно в точке х б Рг.

Поскольку * — произвольная точка, то 7 — непрерывное отображение и 2) мь 1), и Заметим, что образ открытого (соответственно замкнутого) множества при непрерывном отображении, вообще говоря, не будет открытым (соответственно замкнутым). Например, отображение а х', х Е И, непрерывное в К, однако образ [О, 1) открьпого множества (-1, 1) не является открытым. б.б. Рввиомерио непрерывные отображения. Пусть (Х, рх), (г', ру) — метрические пространства, 7: Х ь У.

Определение. Отображение 7 называемся равномерно непрерывным на множестве РР если (ч(е > 0)(зб > О)(т(х~ б Рыхг е Рг), рх(хн хг) < б): ру(У(хг), У(хг)) < е (1) Очевидно, что равномерно непрерывное отображение непрерывное. Обратное утверждение, вообще говоря, несправедливо. Например, непрерывная Функция х х', х 6 И, не является равномерно непрерывной, так как для данного Л > 0 разность (х+ )ь) — х = )г(2х+ (г) может принимать сколь угодно большие значения. Теорема 1.

Пусть (Х, рх), ()г, ру), (Я, ра) — метрические пространства, У: Х ь У, д: г' Я. Если У и д — равномерно непрерывные отображения иа множествах Рг и Рд, то композиция Ь = д ь Т: Х Я равномерно непрерывна иа множестве Рд,г. и Согласно определению равномерно непрерывного отображения 0(е > 0)(Зг) > 0)(ч(у, б Рд уг 6 Рд)1 рт(ун уг) < г)): ря(д(уг)г д(уг)) < е (2) Поскольку отображение У равномерно непрерывное, то для указанного 0 > 0 существует такое б > О, что (3) !7(хг б РР хг б Рг)(рх(хп хг) < б) ю рх(7(х~), 7(хг)) < Ч. Из (2) и (3) получаем, что ч!е > 0 Зб > 0: ч(Х~ Е Рд г Хг Е Рд,г) (рк(аг Хг) < б) ~ ра(Л(Хг), (г(Хг)) < Е, $6.

Предел и непрерывность отобраагеиия аз одного метрического пространства в другое 25 т. е. отображение б = д о 1 равномерно непрерывное. м Теорема 2 (Кантор). Зелкве непрерывное на компакте отображение У: Х ч У равномерна непрерывное. М Пусть Р1 — компакт, 1 — непрерывное отображение.

Предположим, что 1 не является равномерно непрерывным. Тогда существует такое ео ) О и две последовательности (х„), (у„) точек множества Р1, что рх(х„, У„) < -„', однако ру(1(х„), у(у„)) ) ео. Найдется подпоследовательность (х„ь), сходящаяся к некоторой точке х, е Р1 (поскольку Р1 — компакт). так как Рх(х „У ь) < — „, и рх(хо, У ь) < Рх(хо, х»„)+ рх(х „У ь), то У„хо при а оо.

Из непрерывности отображения 1 в точке хо Е Р1 следует, что для указанного ео существует б > О; Рх(хо, х) < б ~ Рг(((хо), Т(х)) < *з . Возьмем номер й Е (4, при котором рх(хо, х„) < б и рх(хо, У,) < б. Тогла рг(((х„ь), ((у„,)) < ру(((хи), Т(хо)) + ру(((хо), у(У„,)) < ео, что противоречит определению последовательностей (х„) и (у„). М 6.6. Гомеоморфизмы. Эквивалентные расстояния. Пусть (Х, рх) и (У, ру) — метрические пространства.

1 Овределение 1. Биективное атабрахгение Х ь — У называется гомеамарфизмам, если ( и 1 ' непрерывны Такие отображения называются взаимна непрерывными. В этом случае обратное отображение У ' является гомеоморфизмом У на Х. 1 Теорема Р Пусть (Х, рх), (У, рг), (В, рл) — метрическое пространства, Х У, У Я вЂ” гамеамарфизмы.

Тогда композиция )ь = д о 1 лвллетсл гамеамарфизмам Х на Я. т По теореме ), п.6.2, биективное отображение Х Я непрерывное. Пусть хо Е Х. Согласно теореме 4, п. 6.4, прообраз Б '(У") каждой окрестности Ун точки б(хо) = (д о УКхо) в ь-' множестве Я является окрестностью точки хо в Х, В силу этого и биекция Я Х непрерывна в точке (ь(хо). Поскольку хо — произвольная точка, то )ь ' — непрерывное отображение. в 1 з Гомеоморфизм может не быть равномерно непрерывным, например, !к !й, где 1(х) = х . Определение 2.

Метрические пратнранетва (Х, рх) и (У, р ) называютел гомеамарфными, 1 если существует гомеомарфизм Х ь — ч У. Теорема 2. Два метрических пространства, гомеамарфные третьему, гвмеаморфны друг другу. т Если пространства (Х, рх), и (У, ру) гомеоморфны пространству (Я, рз), то существуют гомеоморфные отображения Х ь Я и У Я. Отображение В У гомеоморфное По 1 о в теореме ! композиция д ' о 1 является гомеоморфизмом Х на У. м Пусть (Х, р,) и (Х, р,) — метрические пространства. Если тождественное отображение х чч х является гомеоыорфизмом, то р, и рз называются эквивалентными или типологически эквивалентными расстояниями в Х.

Из теоремы 7, п. 6.4, видно, что в этом случае в (Х, р,) и (Х, р,) совпадают семейства открытых множеств. Топологией метрического пространства (Х, рх) называют семейство открытых множеств в нем. Эквивалентные расстояния порождают одну и ту же топологию. Окрестности, замкнутые множества, точки прикосновения, замыкания, внутренность множества, множества внешних точек, плотные множества, границы, непрерывные функции являапся топологическими понятиями. Топологические свойства метрического пространства инвариантны при гомеоморфизмак.

Понятия шаров, сфер, диаметра, ограниченного множества, равномерно непрерывной функции не являются топологическими. Глава 2 Комплексные числа и функции комплексного переменного 4 1. Комплексные числа и комплексная плоскость В элементарном курсе алгебры возникновение понятия комплексного числа по большей части связывают с уравнением х + ! = О. Прежде всего выясняется, что не существует действительных чисел, которые удовлетворяли бы этому уравнению. Тогда вводится в рассмотрение новое "мнимое" число ! = »Г — 1, и указанное уравнение уже имеет корни х»2 Зател» рассматриваются "комплексные числа" х +»у как суммы действительных чисел х и "мнимых" чисел (у.