Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (Антидемидович), страница 15

теорему 4, п. 3.5, гл. 1). Из неравенств (2) следует, что если» Ф со — предельная точка множества А в топологическом пространстве (С, г), то она имеет такое же свойство в пространстве (С, г) и наоборот. Поэтому прн определении конечным предельных точек можно пользоваться как евклидовой, так и сферической метрикой. В этом смысле метрики р и р эквивалентные.

Очевидно, что конечное множество А С С не имеет предельных точек. 2.2. Замкнутые множества, отрезок н ломааяя. Связные множества. Согласно определению 1, и.3.5, гл. 1, множество Г С С (Г С С) называется замкиутым, если его пополнение СГ является открьпым множеством. Замкнутое множество Г содержит все свои точки прикосновения. Множество всех точек прикосновения множества А С С (А С С) называется его замыканием и обозначается А (см. определение 2, п. 3.5, гл.

1). По определению 5, п.3.5, гл. 1, точка» б С (» Е С) называется граничной точнов множества А С С (А С С), если она является точкой прикосновения как А, так и СА. Множество дА всех граничных точек множества А называется его границей Оно замкнуто и может быть пустым. Пусть», б С>»г Е С. Множество (» б С: - = 1», 4 (1 — О»», 1 б [О, 1]) называется отрвжом на плоскости С, саединпюи(им точки»п»з, и обозначается [»и»,[. Точки», и», называются его концами.

Отображение 1 ~ »(1), где»(1) = 1», + (! — 1)»» !у( б [О, ц, называется парпиев тричесним представлениелл отрезка [»п»г[. Непрерывная функция [о, Ь[ К называется ломаной (кусочно-линейной), если ее график на плоскости К, отождествленной с плоскостью С, состоит из конечного числа отрезков. Определение 1.Открытое множества О С С (О С С) называется связным, если любые две вга точки можно саединтпь ломаной, все точки которой принадлежат этому множеству.

Определевие 2. Замкнутое множество Г С С называетсл связным, если ега нельзя разбипм на две части, расстояние между которыми положительно. Понятия связности открытых и замкнутых множеств существенно отличаются. Определение 3. Связное открытое множество называетса обдаст ью. Определение 4. Замыкание обласлпи называетсв замкнутой областью. 2.3. Последовательность комплексных чисел я ее предел. Пклвдовательностью (»„) точек метрического пространства (С, р) называется отобрюкение [л[ -" С (см. общее определение последовательности точек в и.

1,8, гл. 1). Рассмотрим некоторые вопросы теории последовательностей точек метрического пространства, изложенные в З 3, гл. 1, применительно к последовательностям комплексных чисел. Определение 1. Точка» б С «азьлвавтся пределом последовательности (»„) (при этом записываем» = 1пп»„иви»„»), если Яе ) 0)(Эп, Е 1Ч) (Уп ~ и,): р(»„, ») = [»„— »[ < е. 46 Гл.

2. Комплексные числа и фуикпви комплексного переменного В этом случае послеловательность называется сходящейся. Из определения следует, что начиная с некоторого номера и, Е (ч( все члены последовательности (л„) содержатся в г-окрестности точки л Е С. Вне окрестности 0,(л) могут находиться лишь точки л„»з, ..., л„, „множество 2 которых ограниченное.

Согласно теореме п. 3.2, гл. 1, объединение 0,(л) гз Е двух ограниченных множеств является ограниченным множеством. Следовательно, сходяшаяся последоватеяьность ограниченная (ОМ Е К: Чп Е М |л,! < М). Для обозначения ограниченных последовательностей (л„) комплексных чисел будем пользоваться символом Ландау л„= 0(1). Определение 2. Последовательность (л„) имеет пределом со (лри этом записываеи 1ип л„= оо или л„сс), если (чуг > 0) (Зп, б чй (зги > и,): р(л„, оо) ( г. (2) Из определения 2 следует, что, начиная с некоторого номера и, Е !(, все члены иоследовательогости (л„) удовлетворяют неравенству ~л„! > ()Я вЂ” ! ~ (см. п. 2.1), т.

е. находятся вне круга радиуса Кй = .Я-1(. Условие !ип лй тес равносильно тому, что Бгп !л„! и+со. Для несобственного комплексного числа со понятия действительной и мнимой частей, а также аргумента не вводятся. Согласно теореме 1, и.3.!. гл.!, сходящаяся в метрическом пространстве (С, р) последовательность (л„) имеет единственный предел. Теорема П (л„л) сь (Ке»„йел) л (1в »„1в л). < Необходимость. Пусть»„л, тогда р(л„, ») = ~»„— »! О, и из неравенств ! Ке л„— Ке л! ч !л„— л(, ! (т л„— 1в л ! < !л„— л!, вьшолняюшихся тгп Е гч, следуют требуемые свойства Кел„Ке», !тл„1тл.

Огл "„ 1ии — =— --С. й !ип (л„+(„) = йт л„+ !ип Г„, Иги (»„Г„) = )ип л„1ип С„, Теорема 3 (критерий Коши). Посчедоватечьность (л ) сходится тогда и тол~ко тогда, когда она фундаментальная, т. е. (чге > 0) (Би, Е (чО ('в(п > п„р Е Щ) г р(л„ьр, л ) = !л„чн — »„! < г (3) (см. определение фундаментальной последовательности в п. 3.1, гл. 1). Поскольку метрическое пространство (И, р), где р(*, у) = !я — у! тг(я Е К, у Е К), полное, то в сиду теоремы 1 полным является и метрическое пространство (С р), где р(л„лт) = !лт — л,! У(лг Е С, лг Е С) Теорема 4. Пусть последовательность (л„) сходится и л = йт л„.

Тогда любая ее нодпоследовательность (л„„) также сходится и Ит л„„= л. ь- Достаточность. Пусть Кел„йел, !в»„!в». Тогда !»„— л!т = (К廄— Кел) + 2 1(вл„— )тл) 0 при и со, т.е. л„-чл. и Таким образом, сходимость последовательности (»„) комплексных чисел равносильна сходимости двух последовательностей действительных чисел (Ке »„) и (1гл »„).

Это позволяет перенести всю теорию пределов последовательностей действительных чисел на последовательности комплексных чисея. В частности, из ограниченности последовательностей (Ке л„) и (1тл„) немедленно следует ограниченность последовательности (л„). Сформулируем теоремы для последовательностей комплексных чисел, которые следуют из теорем для последовательностей действительных чисел. Теорема 2. Пусть (л„) и ((„) — сходящиеся последовательности колггмекгных чисел. Тогда их сумма (л +(„), произведение (л„, („) и частное (в-) (при усговии, что зги Е 14 („и О и 1!в ф„а О) также являются сходящимися последовательности и и при этом б 2. Тополопи комплексной плоскости Теарема 5 (Больцано — Вейерштрасса).

Всякое бесконечное ограниченное множества Я С С имеет хотя бы одну предельную точку а С. м Пусть (х„) — произвольная последовательность точек множества Я, Она ограничена, поскольку мно:кество Я ограниченное. Тогда и последовательности (Ке х„), (1ш з„) ограничены. Согласно теореме Больцано — Вейерштрасса для последовательнее;ей действительных члсея, из последовательности (Ке г„) можно выделить сходящуюся подпоследовательность (Ке г „). Пусть !цп Кех„, = х, х Е К. Рассмотрим подпоследоаательность (1шг„ь). Она ограничена, поэтому низ нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (1ш г„ь ).

Пусть !пп !шхьц = у, у Е К. В силу теоремы 4 Кех, х при гп — + оо. Рассмотрим подпоследовательность (г„, ) последовательности (г„). По теореме 1 !цп ггц = з = яд(у, ° Е С. Согласно определению 4, и. 3.5, гл. 1, г является предельной точкой мнохсества Я. м Определеяие 3. Тачка х Е С (г Е С) называется частичным пределом паследааатеяьнасти (х„) ияи ег предельной таиной, если из нее манена аыдкгить падпагледааатеяьнаппь (гсц), предел катарин равен х. Из теоремы 4 получаем следствие: если последовательность (з„) сходится и точка г б С— ее частичный предел, то 1нп г„= .. Следует различать предельные точки множеств и последовательностей. Например, последовательность (зн), где „= (-1)" имеет две предельные точки: г~ = -1 и, = 1, а конечное множество (-1, 1) предельных точек не имеет.

2.4. Свойства компакта К С С. Все необходимые определения и результаты, относящиеся к свойствам компактных множеств в метрических пространствах, излохсены в б 4, гл. 1, Рассмотрим свойства компакта в метрическом пространстве (С„р). Определение 1. Пусть К С С Множество К назыааетгя компактным а себе ияи компактам, если из любой паследаватгльнасти (з„) точек г„Е К милена выбрать падпасгедааатгюность (г„), стаднигуюся к ненагпарай тачке гг Е К (см. определение 1, б 4, гл. 1).

Теорема 1 (об ограниченности компакта). Каждый компакт К С С явяяетгя ограниченным мнажестаам. < Пусть, вопреки утверждению, компакт К не ограничен. Тогда существует такая по ледовательносзь (г„), что ) „( > и и Хсп Е сИ г„б К. Из (г„) нельзя выбрать ограниченную подпоследовательность и, тем более, сходящуюся.