Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992), страница 10

Сказанное поясняется кривыми на рис. 3.2, а. Рассмотрим теперь «мгновенную фотографию» процесса о(г, 1) в начальный момент времени 1=0 (рис. 3.2, б). Данная зависимость описывается гармонической функцией в(е, 0) = )т соз рг. Параметр б играет роль «пространственной частоты» процесса и называется коэффициентом фазы плоской волны. Величина р имеет размерность рад/м илн, короче, м-'. Функция п(е, 0) периодична; ее период Л называют длиной волны, Между величинами (3 и Л существует очевидная связь р= 2л/Л. (3.2) Глава 3.

Плоские электромагнитные волны Чтобы изобразить график функции о(з, 1) при 1)0, формулу (3.1) удобно записать в виде о(з, 1) =Р соз(рз — то1). При этом видно, что с ростом 1 фазовый сдвиг оэ1 увеличивается, так что исходная кривая о(з, О) сдвигается вдоль оси вправо, т. е. в сторону увеличения координаты з (рис. 3.2, б). б) Рнс. 3.2. Однородная плоская волна: а — изменение поля во времеви; б — изменение поля в прост- ранстве ыб — рз = со па!. (3.3) Волновой фронт данной плоской волны перемещается вдоль оси з с так называемой фазовой скоростью бе мб — Санат оз и (3.4) ж ж ( з ) Формулу (3.4) можно представить и по-иному: ю,=Л.у, (3.5) где 1=со/(2п) — частота процесса, выраженная в герцах.

Итак, из трех параметров ое, от, р лишь два можно выбирать произвольно; третий параметр подчиняется соотношению (3.4). Пример 3.1. Электромагнитная волна распространяется в вакууме с фазовой скоростью па=с=3 10' м/с. Частота поля 1= =400 МГц. Определить длину волны Х и коэффициент фазы 11. В данном случае Х=сП=0.75 м; (3=2п/1=6.28/0.75=8.378 м — '. Назовем плоскостью равных фаз или волновым фронтом вооб'ражаемую бесконечно протяженную плоскость, перпендикулярную оси г; координата г этой плоскости при любых 1 удовлетворяет соотношению 3.3. Затухание волн. Коэффициент распространения оз Рассмотрим теперь однородную плоскую волну с математической моделью вида о (г, с) = 1,и соз (о1с+ рг). (3.6) Все сказанное ранее применимо и к этому случаю, за исключением того, что из уравнения волнового фронта иэ/+рг=соп51 вытекает следующая формула для нахождения фазовой скорости: (3.7) Сравнивая выражения (3.4) и (3.7), убеждаемся, что плоская волна, описываемая формулой (3.6), распространяется твоУ влево, т.

е. в сторону уменьшения координаты г. 3.3. Затухание волн в материальным средам. Коэффициент распространения В любой реальной среде амплитуда волнового про- 1 цесса неизбежно уменьшается по мере распространения, например за счет тепловых потерь. Закон ослабления амплитуды легко найти из следующих соображений. Предположим, что в начальной плоскости г=0 амплитуда имеет исходное значение )с~о, принимаемое за 100% (рис. 3,3). Положим для конкретности, что при прохождении одного метра пути амплитуда волны уменьшается на 10%, т. е. 1тт1=0.9)тле=90%. Легко видеть, что т',„э=0.9)т,„~ — — 8! о/о, )сто=0.9)т э=72.9~/о и т. д.

Общая закономерность такова: )тто )тт1 1 тм — 1 ~'и1 Мта ~'еЛ Из элементарной алгебры известно, что именно таким свойством обладает показательная функция. Поэтому закон изменения амплитуды вдоль оси распространения в общем виде можно записать так: 1т (г)=1т ое (3.8) где и — коэффициент ослабления плоской волны в среде. Эта действительная величина имеет, подобно коэффициенту фазы, размерность м '. 54 Глава 3.

Плоские электромогнитна~е волны В технических расчетах часто используют особую логарифмическую единицу — погонное затухание Л„„, которое измеряют в децибелах на метр (дБ/м) и определяют по формуле а„,„=20 1и (Ь' о/Ь",) =20 !и(е")=8.686а. (3.9) Чтобы оценить удобство пользования логарифмическими единицами затухания, рассмотрим следующий пример. Объединив формулы (3.!) и (3.8), можно записать общее выражение для пространственно-временнбго распределения мгновенных значений поля однородной плоской волны в среде с затуханием: и ( х, П = Ь' ее " соз (ы1 — рг).

(3.10) Соответствующие кривые для значений 1=0 и !)О изображены на рис. 3.4. Графикфункции )'маехр( — аа), выполняющей роль огибающей кривых, показан штриховой линией. Так как зависимость вида (3.10) является гармонической относительно аргумента 1, можно воспользоваться методом комплексных амплитуд. Очевидно, что комплексная амп- Рис. 3.4. Распределение мгновенных ана- чений волнового процесса в среде с по- терями литуда данного поля — * — ! аэ 1; ыв дна поскольку е(х, /)=йег1Ь'(а) ет"'т!. (3.11) Пример 3.2. В начальной плоскости а=б амплитуда вектора напряженности электрического поля плоской электромагнитной волны Е (О) =700 В/м. Погонное затухание Лн,=0.2 дБ/м. Вычислить амплитуду Е (400) в плоскости с координатой а=400 м. Очевидно, что полное затухание волны вдоль пути распространения составит 0.2.400 = 80 дБ, откуда !и(Ет(0)/Ет(400)) = =80/20=4.

Вычисляя антилогарифм, получаем Е (400) =Е (О)/ /1О"=0.07 В/м. Следует обратить внимание на существенное (в 10000 раз) уменьшение амплитуды поля. д4. Волновой характер переменного поля 55 (3.12) такой, что комплексная амплитуда поля плоской волны, распро- страняющейся в сторону возрастания координаты з, имеет внд (г'(н(з) =1' е ™. (3.13) Соответственно комплексная щейся или, как часто говорят ординаты з, такова: (,г Т амплитуда волны, распространяю- бегущей в сторону уменьшения ко- (3.14) В частном случае, когда потери отсутствуют и амплитуда поля постоянна вдоль з, коэффициент распространения у=)р оказывается чисто мнимым.

Возможен и другой частный случай, когда коэффициент распространения чисто действительный: у=а. При этом волновой процесс, по сути, не существует; колебания и(з, 4) во всех точках пространства происходят с одной и той же фазой, отличаясь лишь амплитудами. 3.4. Волновой характер переменного электромагнитного поля.

Уравнение Гельмгольца Проведенное выше исследование свойств волновых процессов носило несколько абстрактный характер и не было связано с конкретными физическими явлениями. Обращаясь к интересующим нас электромагнитным полям, докажем, что одним из частных решений уравнений Максвелла в неограниченном пространстве служат однородные плоские волны. Рассмотрим бесконечное трехмерное пространство с заданными электродинамическими параметрами е„1х„одинаковыми во всех точках.

Предположим, что свободные электрические заряды отсутствуют, так что их объемная плотность р=О. Электромагнитный процесс, гармонически изменяющийся во времени с частотой го, характеризуется комплексными амплитудами полей Е и Н, которые удовлетворяют системе уравнений Максвелла 1. го1 Н=рвв,Е. 2. го1 Е= — 4гер,Н. (3.15) 4. 41ч Н=О. 3. 41ч Е=О. Коэффициент фазы р и коэффициент ослабления а объединяют в единую комплексную величину — так называемый коэффициент распространения у=а+Я, 66 Глава 3, Плоские электромагнитные волнэг Преобразуем систему (3.15) таким образом, чтобы свести ее к эквивалентному уравнению относительно комплексной амплитуды Е вектора напряженности электрического поля.

Для этого применим дифференциальную операцию го! к обеим частям уравнения 2, а затем воспользуемся выражением го1 Н из левой части уравнения 1: го1го1 Е= — /ш!са го! Н=ш'е,!л,Е. (3.16) Примем во внимание (см. Приложение Б), что го1го1 Е=пгаб б!ч Š— у'Е, или в силу уравнения 3 го!го! Е= — р'Е. Тогда уравнение (3.1б) преобразуется к виду птЕ+аае и Е=О. (3.17) В теории волновых процессов равенство (3.17) получило название уравнения Гельмгольца в честь немецкого ученого Германа Гельмгольца (1821 †18).

Введем параметр т, в общем случае комплексный, удовлетворяющий соотношению 'г' = "'е,!с,. (3.18) Будет показано, что т представляет собой коэффициент распространения плоской волны, изучавшийся в $ 3.3. Уравнение Гельмгольца приобретает при этом вид и Š— у Е=о. Очевидно, что таким же окажется уравнение относительно комплексной амплитуды вектора напряженности магнитного поля раН вЂ” уаН=О. (3.20) Уравнения (3.19) и (3.20) являются однородными (с нулевой правой частью) векторными дифференциальными уравнениями второго порядка. Каждое из них эквивалентно трем дифференциальным уравнениям в частных производных относительно декартовых проекций комплексных амплитуд векторов поля. Например, представив (3.19) в развернутой форме, получаем систему уоавнений даЕ дтЕл д~Š— "+ — '+ —" — у Е„=о, дхт дат дга 3 4.

Волновой характер переменного поля дтЕу дтЕу дтЕу (3.21) дтЕ дтЕа даЕ, Решение данной системы относительно ций Е„, Еу, Е, каждая из которых в свою очередь зависит от трех простран- ственных координат х, у, г, описывает в общем случае поле с весьма сложной пространственной конфигурацией. Пре- дельно упрощая задачу, будем считать, что: 1) проекция Е ФО, в то время как Е„= Ее=О; 2) отличная от нуля проекция Е, за- висит лишь от координаты и (для кон- кретности), так что д/дх=д/ду= О. В данном частном случае система (3.21) сводится к одному дифференци- альному уравнению второго порядка уже не в частных, а в обыкновенных произ- водных, поскольку на основании предпо- ложения 2 производную да/два следует заменить на с)т/бг' трех неизвестных функ- рнс 3 5 Нахождение коэффициентов распространения плоской волны 2 — У Е„=О.

йге (3.22) имеет отрицательную действительную и положительную мнимую части, т. е. отображается вектором во 11 квадранте (рис. 3.5). Квадратный корень из этого комплексного числа имеет два значения. Одно из них, главное, обозначается здесь как уь имеет аргумент агду1 — — '/гагата и лежит в 1 квадранте.