Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992), страница 11

Второе значение Общее решение этого линейного уравнения с постоянными коэффициентами представляет собой сумму двух экспоненциальных слагаемых: Е,(г) = — Е,е" +Е е'*', (3.23) где уьа — корни уравнения (3.18). Изучим расположение этих корней на комплексной плоскости. Для этого заметим, что величина у = ы аар'а= ы аар'а+/вира Глава 8. Плоские электромагнитные волны 58 3.5. Понятие характеристического сопротивления.

Плотность потока мощности в плоской электромагнитной волне Найдя комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля в виде (3.25), можно определить комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля, воспользовавшись уравнением 2 из системы (3.15): Н= — го1 Е. (3.26) ана Рассмотрим электромагнитную волну, которая распространяется в сторону а)0 и характеризуется комплексной амплитудой Е=Й, ехр ( — уа) 1,.

Представив дифференциальную векторную операцию го1 в развернутой форме, имеем 1к д дх «у те д д Н= —— у меев (3.27) ду д» О О Ела Раскрывая символический определитель по элементам первой строки, убеждаемся, что Н= — Ее 1 — уу — т. к еэ аьа квадратного корня уа= — уь Это число отображается вектором в 1П квадранте. В дальнейшем будем считать, что число у=$ — аае,р.,=ро 1 е р,, =а+/3 (3.24) представляет собой главное значение квадратного корня из у', т.е. у=уь Тогда формулу (3.23) можно переписать так: Е (з)=Е ете+Е е '=Е,е~"~~~~*+Е е '"~'~''. (3.25) Сравнивая эту формулу с выражениями (3.13) и (3.14), приходим к выводу о том, что полученное здесь частное решение уравнения Гельмгольца описывает однородные плоские волны.

Первому слагаемому правой' части отвечает плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в сторону уменьшения а. Второе слагаемое описывает такую же волну, бегущую в сторону возрастания координаты а. Эти волны никак не связаны между собой, так как им соответствуют два линейно независимых решения дифференциального уравнения (3.22). 8.5. Лонятие хириктеристичеекого сопротивления или, подставив величину у из выражения (3.24), 59 (3.28) Отсюда можно сделать ряд существенных выводов".

че Если вектор Е ориентирован вдоль оси х, то вектор Н направлен вдоль оси у, т.е. в однородной плоской волне векторы Е и Н перпендикулярны. ° Оба вектора, Е н Н, перпендикулярны оси распространения, поэтому однородная плоская электромагнитная волна является поперечной волной. ° Значения комплексных амплитуд векторов Е и Н в любой точке пространства связаны некоторым коэффициентом пропорциональности. На основании последнего из перечисленных свойств в электро- динамике вводят понятие характеристического (волнового) сопротивления той физической среды, в которой распространяются однородные плоские волны. По определению, характеристическое сопротивление Л, равно отношению комплексных амплитуд соответствующих проекций векторов напряженности электрического и магнитного поля. В данном случае Л,=Е,/Ое.

(3.29) Так как вектор Е имеет размерность В/м, а вектор Н вЂ” размерность А/м, то характеристическое сопротивление выражается в омах. На основании равенства (3.28) получаем формулу, выражающую характеристическое сопротивление через параметры среды: Е,=~? (3.30) Пользуясь понятием характеристического сопротивления, можно существенно упростить практические расчеты. Например, с помощью формулы (3.29) по известным величинам Е„и Л, удается сразу вычислить комплексную амплитуду?1е, ие решая заново уравнений Максвелла. Подчеркнем, что сопротивление Л, есть коэффициент 'пропорциональности, не связанный в общем случае с тепловыми потерями энергии в среде. Плотность потока мощности плоской электромагнитной волны равна среднему за период значению вектора Пойнтинга ,Н='/зле 1ЕЙ~=вийе (Е Й„) [1„1е]='!яке(Е„Й„) 1е. (3.31) Этот вектор, как видно из последней формулы, ориентирован вдоль оси распространения волны.

Глава 3. Плоские электромагнитные волны 60 Плотность потока мощности в однородной плоской волне можно выразить не через обе полевые величины Е„и //е, а только через одну из них. Для этого следует воспользоваться соотношением (3.29), что приводит к выражению ят П,р,— — '/,.Ке(Е Е /Е,)= Йе ( .т е (3.32) или П,р,— — '/тйе(У.,ЙвНе)= " КеЕ,. (3.33) З.б. Некоторые частные случаи Далее в качестве примеров будут исследованы характеристики однородных плоских электромагнитных волн, распространяющихся в некоторых важных для практики физических средах. В прикладных расчетах эти выражения часто оказываются более удобными, нежели общая формула (3.31).

Изучаемые нами электромагнитные процессы происходят в безграничном изотропном физическом пространстве, свойства которого одинаковы для волн, распространяющихся в любых на. правлениях. Введя в этом пространстве правовинтовую декарто. ву систему координат (в этой системе кратчайшее вращение вектора 1„до совпадения с вектором 1, представляется в направлении против движения стрелки часов, если смотреть с конца вектора 1„), мы наделили пространство определенной геометрической структурой и можем различать волны, движущиеся в противоположных направлениях вдоль оси а. Так, повторяя приведенные ранее выкладки, убеждаемся, что для электромагнитной волны, распространяющейся в сторону а(0 и имеющей комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля Е= =Е ехр (уа) )„комплексная амплитуда у-й проекции вектора напряженности магнитного поля Не= — 1' а,/р, Е„ехр(уа), (3. 34) откуда (ср.

с формулой (3.29)) Е,/Н„= — - Е,. (3.35) Отрицательный знак в этом выражении связан с тем, что данная волна переносит энергию в сторону уменьшения координаты а. Соответственно отрицательными оказываются и правые части формул (3.32) и (3.33). З.б. Некоторые частные случаи 61 Вакуум. Данная идеальная среда имеет параметры е,=ео, р.=по, в=О. Коэффициент распространения плоских волн в вакууме У = У"')' ео>ео (3.36) оказывается мнимым, что свидетельствует об отсутствии затухания волн (а=О).

Коэффициент фазы плоской волны в вакууме 'е=ыУ ео1ео (3,37) откуда на основании формулы (3.4) фазовая скорость то —.1/)Г еоио =3 10' м/с=с. (3.38) Таким образом подтвержден один из основных результатов теории Максвелла — фазовая скорость однородной плоской волны в вакууме равна скорости света независимо от частоты.

В физике среды с такими свойствами называют средами без частотной дисперсии фазовой скорости. Характеристическое сопротивление вакуума принято обозначать символом 2о; при этом Ео=)' Ро!ео —— 120л 3?7 Ом. (3.39) На основании выражения (3.32) среднее значение г-й проекции вектора Пойнтннга плоской волны в вакууме Пер е — — Е„ /(240л). (3.40) Пример З.З.

Среднее значение плотности потока мошности плоской электромагнитной волны в вакууме составляет 5 Вт!м-'. Определить амплитудное значение х-й проекции вектора напряженности электрического поля и у-й проекции вектора напря>кенности магнитного поля. По формуле (3.40), Е =)~ 240лП,, =61.4 В/м. Воспользовавшись понятием характеристического сопротивления вакуума, получаем О =Е /Ее=О 16 А(м. Величина Уо действительная, а это означает, что гармонические поля Е и Н колеблются в фазе. Этот факт принято иллю- Глана 8. 11лоские электронагнитна~е волны стрировать, изображая пространственные распределения векторов электромагнитного поля в фиксированный момент времени (рис.

3.6) . Отметим, что атмосферный воздух при нормальных условиях настолько схож по своим электродинамическим свойствам с вакуумом, что в подавляющем больк шинстве случаев для расчетов электромагнитных полей в воздуи Е хе можно использовать формулы (3.38) — (3.40) . г Магиитодиэлектрическая среда без потерь. В подобной среде э' относительная диэлектрическая проницаемость е, либо относиРнс. ЗЛ. Эскиз векторов нноской тельная магнитная проницаемость электромагнитной волны, раснрост- р, либо обе перечисленные велираннкннейсн в вакууме чины удовлетворяют неравенствам в)1, р)1. Удельная проводимость о, обусловливающая тепловые потери, равна нулю. Фазовая скорость однородных плоских волн в такой среде ! ! е (3.41) Юф = г е г' аего Уэи в )г а!а раз меньше скорости распространения электромагнитных волн в вакууме. Пример 3.4.

Найти длину волны Л в среде без потерь, имеющей параметры е=5, р=7 на частоте /=200 МГц. Фазовая скорость оф=3 10а/)5 7=5.07 1От м/с. Отсюда длина волны Л=нф//=-0 2535 м. Характеристическое сопротивление магнитодиэлектрической среды (3.42) аео 6 увеличивается с ростом магнитной и уменьшается с ростом диэлектрической проницаемости. Диэлектрик с малыми потерями. В радиотехнических устройствах часто используют немагнитные (!а=1) диэлектрики, угол потерь у которых весьма мал (!об=10-' —:10-'). Выведем при- 3 о. Некоторые частные случаи ближенные формулы для расчета основных характеристик плоских электромагнитных волн в таких материалам, основываясь на том, что абсолютная комплексная диэлектрическая проницаемость е., = — е, (1 — 11д б) .