Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992), страница 7

В оригинальной работе Максвелла применялась сложная форма записи основных уравнений, что затрудняло их понимание. Уравнения Максвелла приобрели современный вид в трудах Г. Герца (1857 †18), Г, Лоренца (1853 †19) и О. Хевисайда (1850— 1925). 35 2.П Сводка уравнений Максвелла Уравнения Максвелла в дифференциальной форме 1. го! Н= +аЕ+3„. дс дп 2. го! Е= — —. де 3. сИч 1л=р. (2.2) 4. Мл В=О 3. 0=в,Е. б. В=!к,Н. В этих системах основными являются уравнения 1 и 2, первое нз которых отображает закон полного тока, а второе — закон электромагнитной индукции.

Часто говорят, что соотношения 1 и 2 образуют первую группу уравнений Максвелла. Во вторую группу входят уравнение 3, являющееся записью закона Гаусса, и уравнение 4, которое отображает закон неразрывности силовых линий магнитного поля. Наконец, третью группу образуют материальные уравнения б и 6, которые характеризуют электродинамические свойства материальной среды. Чаше всего при решении задач электродинамики используют уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Входящие в них операции го! и д(ч представляют собой некоторые комбинации частных производных первого порядка от проекций векторных полей; конкретные формы записи зависят от выбранной координатной системы (см.

Приложение Л). Отметим, что достаточно найти один электрический вектор, например Е, и один магнитный вектор, например Н. Оставшиеся два вектора можно получить, воспользовавшись материальными уравнениями. Таким образом, уравнения Максвелла представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно шести неизвестных функций (например, Е„, Е,, Е„Н„, Н„, Н,), которые зависят в общем случае от трех пространственных координат х, у, г и от времени Е В большинстве практически интересных случаев можно обоснованно считать, что рассматриваемые материальные среды являются линейными (см.

9 1.9). В подобных средах имеет место фундаментальный принцип суперпозиции электромагнитных полей: если (Еь Н,) и (Ее, Не) — частные решения уравнений Максвелла, то решением будет и сумма вида (а,Е,+а,Еа, а1Н,+а,Н,) с произвольными постоянными коэффициентами а, и а,, Принцип супер2в Глава 2. Уравнения Максвелла позиции непосредственно следует из того, что операция дифференцирования по времени д/д1 и векторные дифференциальные операции го1 и Йу являются линейными.

Отмеченное здесь свойство линейности существенно облегчает анализ многих электродинамических задач. Тем не менее решить систему шести уравнений Максвелла в ситуациях, достаточно приближенных к реальным, зачастую весьма сложно, Прикладная электродинамика вынуждена прибегать к всевозможным приближенным методам, а также использовать приемы численного анализа, реализуемые с помощью компьютеров. 2.2. Уравнения Максвелла для гармонических колебаний. Комплексные амплитуды полей В систему уравнений Максвелла входят частные производные по четырем аргументам: х, у, г и й Процедура решения несомненно упростится, если из уравнений удастся исключить временную переменную 1, Этого легко добиться, если рассматриваемый электромагнитный процесс протекает во времени по гармоническому закону с некоторой постоянной частотой св.

Такие процессы часто встречаются на практике. К тому же, зная поведение поля на всех частотах, можно воссоздать поле с любым законом изменения во времени, воспользовавшись методом преобразования Фурье [2). В наиболее общем случае вектор какого-либо поля, например Е, изменяющегося во времени по гармоническому закону, в некоторой заданной точке пространства записывается так: Е(1)=Е соз (в1+у )(л+Е есоз(в1+уе)1е+Е,соз(в~+у,)1,.

(2.3) Здесь Е „, Е~в, Е,— амплитуды отдельных составляющих поля; <р„, ср„, ср,— соответствующие начальные фазы. Все шесть перечисленных величин являются действительными числами. Эквивалентная запись формулы (2.3) такова: Е(1)=Ке[(Е„„е~'л1л+ Е нетте)в+ Е,е~т 1,) е'"']. (2.4) Вектор (2.5) принимающий в общем случае комплексные значения, принято называть комплексной амплитудой поля Е в заданной точке пространства.

При этом считается, что частота са изменения поля во времени известна. В дальнейшем все комплексные амплитуды будут помечаться точками сверху. 2.2. Уравнения Максвелла для гармонических колебаний 37 Метод комплексных амплитуд широко применяют в теории электрических цепей, Однако следует указать на весьма существенное обстоятельство: в электродинамических задачах комплексные амплитуды выступают как пространственные, в общем случае трехмерные, векторы, Поэтому изобразить их в виде некоторых вспомогательных векторов, вращающихся на комплексной плоскости, принципиально невозможно. Экспоненциальные множители с мнимыми показателями, входящие в комплексные амплитуды отдельных проекций поля, характеризуют исключительно фазовые соотношения.

между проекциями. Например, если комплексные амплитуды двух гармонически изменяющихся во времени векторов имеют вид Е,=Ес1 и Е,=)Ес(„то это отнюдь не означает, что эти два векторз образуют в пространстве угол 90' (в действительности оба вектора параллельны орту 1„), а лишь говорит о том, что нрн изменении во времени вектор Ех опережает вектор Е, на четверть периода. Мгновенное значение вектора, гармонически изменяющегося во времени, выражается через комплексную амплитуду следующим образом: Е (1) = Ке(Ее~"'). (2.6) Пример 2.1. Вектор поля Н изменяется по грамоническому закону с частотой 1=2 ГГц=2 1О' Гц, имея в некоторой фиксированной точке пространства комплексную амплитуду Н =120 ем" 1*+ +50 ем'1и+75 е — ч" 1,.

Найти мгновенное значение данного вектора как функцию времени. Применив формулу (2.6), получаем Н(1)=120 соз (4п 10эг+30 ) 1„+50 сов(4я 10эс+45)1„+ + 75 соз (4п.10ч1 — 60') 1,. Комплексные амплитуды легко ввести в уравнения Максвелла, полагая, что величины Е(к, у, з), Н(х, у, «) и т. д. зависят от пространственных координат. Возьмем, например, первое уравнение Максвелла из системы (2.2) и подставим в него соответствующие векторные поля, выраженные через комплексные амплитуды: го( Ке(Не' ) = — Ке (Ьеу"') +аКе(Еег"')+ Ке(Я„е~ '). (2.7) д~ Изменяя порядок следования дифференциальных операций и операции взятия действительной части, что всегда допустимо, а затем Глава 2.

Уравнения Максвелла 38 сокращая на общий экспоненциальный множитель, получаем го1 Н = уоР+ а Е + 3 „. (2.8) Таким образом, переход к комплексным амплитудам полей совершается по тем же правилам, что и в теории цепей,— оператор дифференцирования по времени, действующий на мгновенное значение поля, заменяется множителем /св при соответствующей комплексной амплитуде. Аналогично преобразуются остальные уравнения Максвелла. Приведем их окончательную сводку: 1. го1 Н=рвЬ+аЕ+3 2.

го1 Е= — рвВ. 3. 41т Ь=в. 4. 01ч В=О. 5. 0=в,Е. 6. В=р,Н. (2.9) Именно такая форма записи уравнений Максвелла обычно встречается в прикладных исследованиях и расчетах. 2.3. Комплексная диэлектрическая проницаемость. Угол диэлектрических потерь Рассмотрим электромагнитный процесс в материальной среде с конечным значением удельной проводимости и.

Объединив уравнения 1 и 5 из системы (2.9), получим го1 Н= «ве,Е+Л„, (2.10) где величина (2.11) ее= ев — /а/ю представляет собой комплексную диэлектрическую проницаемость данного вещества. Введя этот параметр, можно одновременно учесть как поляризационные, так и проводящие свойства вещества.

Значение действительной части комплексной диэлектрической проницаемости описывает интенсивность процесса поляризации, в то время как мнимая часть учитывает плотность токов проводимости. ?Х Энергетические соотношения. Вектор Пойнтинга 39 Пример 2.2. Морская вода характеризуется параметрами а=75, о=4 См/м, Частота поля /=100 кГц. Сравнить степень выраженности процессов поляризации и электропроводности в этой среде иа указанной частоте. По формуле (2.11) находим комплексную диэлектрическую проницаемостги и,= 75 (10 — эЯ36л)) — /47(2п 10')= 6.63.10 — 'о — /6.36 10-' Ф(м. Отсюда следует, что при заданной частоте плотность тока проводимости в морской воде на четыре порядка превосходит суммарную плотность токов смещения и поляризации.

Изображая число и, в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 2.1), можно описывать соотношение между действительной и мнимой частями комплексной проницаемости при помощи угла б, который называют Хе4 углом диэлектрических потерь. Чем больше еа этот угол, тем значительнее доля электро- не магнитной энергии, рассеиваемой в виде теплоты при протекании токов проводимо- ш га сти. В справочных таблицах обычно приводят значения тангенса этого угла: (н Ь=оЯшее).

(2.12) Рис. 2.1. Угол диэлектри ческих потерь Тангенс угла потерь хороших диэлектриков на частотах СВЧ-диапазона лежит в пределах от 10-' до 1Π— 4; если 1д5)10-г, то такой диэлектрик принято считать плохим. ?.4. Энергетические «оотношеннв в электромагнитном поле. Вектор Пойнтннга Электромагнитное поле способно накапливать и переносить энергию. Законы движения энергии и электромагнитном поле вытекают из уравнений Максвелла. Предположим, что внутри замкнутого объема )т, ограниченного поверхностшо 5 (рис.

2.2), сунтести) ет электромагнитное поле с некоторым запасом энергии Ж'. Будем считать, что внутри этого объема часть энергии поля необратимо превращается в теплоту, и пусть Реет — мгновенное значение мощности тепловых потерь. Энергия электоомагнитного поля может также изменяться во времени Глава 2. Уравнения Максвелла 40 за счет действия сторонних токов, сосредоточенных внутри объема. Обозначим символом Р„мгновенную мощность этих источников; величину Р„будем считать отрицательной, если сторонние источники (генераторы) увеличивают энергию поля, и положительной, если сторонние источники отбирают энергию из электромагнитного поля, действуя подобно внешним нагрузкам.