Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992), страница 13

В теоретических исследованиях часто используют лаконичную векторную запись соотношения вида (3.56). Для этого вводчт так называемый волновой вектор (с, определяя его следующим образом: к =р(";1„+т)(е+ч1,). (3. 57) Так как, по определению, са+т)а+тьа=1, то модуль волнового вектора равен коэффициенту фазы плоской волны: ((с(=6=2п/Х. Непосредственно видно, что вектор (с ориентирован вдоль оси б9 Задачи распространения а'.

Формула (3.56) приобретает, таким образом, следующий вид:  — ехр ( — Уйг). (3.58) В физике модуль волнового вектора однородной плоской волны называют также волновым числом. злд дни 3.1. Докажите принципиальную невозможность существования чисто продольных электромагнитных волн, которые имели бы лишь ненулевые проекции Е, и О„не зависящие от поперечных координат х и у. У к а з а н и е: непосредственно воспользуйтесь двумя первыми уравнениями Максвелла, записанными в декартовой системе координат.

3.2. Плоская гармоническая волна с частотой 1=80 МГц, распространяясь в некоторой материальной среде без потерь, имеет длину волны А=0.7 м. Вычислите фазовую скорость этой волны. З.З. Плоская волна, распространяющаяся в сторону увеличения координаты а, имеет комплексную амплитуду У+(в) = =200 ехр ( — уа), где у=0.3+10.5 м — '.

Частота волнового процесса а=8.10' с-'. Вычислите мгновенное значение функции о(а, 1) в плоскости а=5 и при 1=10-" с. 3.4. Погонное затухание однородной плоской волны составляет 0.45 дБ/м. Определите, на каком расстоянии амплитуда волны уменьшится в 10' раз по сравнению с исходным уровнем. 3.5. Электрический пробой атмосферного воздуха при нормальных условиях наблюдается в том случае, когда напряженность электрического поля достигает значения 3 10' В/м. Определите предельно допустимое среднее значение модуля вектора Пойнтинга плоской электромагнитной волны, распространяющейся в воздухе.

3.6. Однородная плоская электромагнитная волна, гармонически изменяющаяся во' времени, распространяется в среде без потерь с параметрами и=1, е=4.5. Амплитуда вектора напряженности электрического поля Е =30 В/м. Вычислите амплитуду вектора напряженности магнитного поля и модуль среднего зна' чення вектора Пойнтннга. 3.7. Плоская гармоническая электромагнитная волна распространяется в вакууме, имея модуль среднего значения вектора Пойнтннга Пчр — — 0.8 Вт/м'. Вычислите. амплитудные значения вектора электричесиого смещения 77 и магнитной индукции В данной волны.

3.8. Найдите характеристическое сопротивление Л, материальной среды с параметрами а=4, )р=7, 1дб=З 10 '. Глава 4. Граничные условия для векторов поля 70 3.9. Плоская волна, распространяющаяся в среде с потерями, имеет коэффициент ослабления в=0.015 м — '. Волна распространяется в сторону я)0. При а=О модуль среднего значения вектора Пойнтинга Пер(0) =60 Вт/м'. Вычислите значение П„в плоскости с координатой з= 100 м. 3.10. Найдите коэффициент фазы Р и коэффициент ослабления а плоской электромагнитной волны в материальной срсде с параметрами е=2, 1л=З, о=2 10 ' См/м при частоте со= =1О' с '. 3.1!. Найдите коэффициент ослабления а плоских электромагнитных волн в диэлектрике с параметрами е=2.1, 1л=1, (п5= =4 10 —" на частоте /=3 ГГц.

3.!2. Плоская электромагнитная волна с правой эллиптической поляризацией распространяется в вакууме в сторону уменьшения координаты г. Волна имеет комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля (В/м) Е= (1301„+/401р) Х Хехр (/Ог). Найдите комплексную амплитуду вектора Н данной волны. 3.13. Пусть волновой вектор к некоторой плоской волны образует одинаковый угол О с положительными направлениями осей х, у, з декартовой системы координат. Каков этот угол? 3.14.

Волновой вектор к плоской волны в декартовой системе координат образует угол 45' с единичным вектором 1,. Угол с~ между векторами й и 1„равен углу между векторами к н 1„. Найдите значение угла <р. 3.15. Плоская электромагнитная волна с частотой /=800 МГц распространяется в вакууме. Волновой вектор к образует угол ЗО' с вектором 1„ и угол 80' с вектором 1„. Вычислите вектор к данного волнового процесса. Глава четвертая ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Однородные плоские волны, изучавшиеся в гл. 3, являются весьма идеализированными объектами, поскольку имеют неограниченно протяженные волновые фронты. В любой реальной ситуации электромагнитное поле тем или иным способом ограничено в пространстве. Естественными ограничителями областей существования поля служат границы раздела между материальными средами с различными параметрами. Если характеристики сред на границе раздела изменяются скачкообразно, то в общем 4.!.

Постановка задачи 71 случае составляющие векторов поля в точках границы претерпе- вают разрывы. В данной главе будет найдена связь между век- торами электромагнитного поля на границе раздела, удовлетво- ряющая уравнениям Максвелла. 4.1. Постановка задачи Задача о граничных условиях для векторов электромагнитного поля выглядит следующим образом. Пусть имеется некоторая граница раздела 5 (рис. 4.1) между средой ! с электродинамическнми параметрами н.ь 1ьаь п~ и средой 2, у которой соответствУющие паРаметРы Равны еаз, 1хаз, оа. Выделим на повеРхности 5 Рис.

42. разложение одно- го из векторов поля на нор- мальную и касательную со- ставляющие Рнс. 4.1. Точка на границе раздела двух материальных сред произвольную точку Р, предполагая, что в некоторой физически малой окрестности этой точки, относящейся к области 1, электромагнитное поле задано. Требуется отыскать поле в такой же окрестности выделенной точки, которая принадлежит области 2. Для решения поставленной задачи векторы электромагнитного поля в окрестности точки Р принято разлагать на касательные (тангенциальные) и нормальные составляющие. Например, вектор Е на границе раздела (рис. 4.2) можно представить в виде Е=Е,1,+Е„1„.

(4.1) Здесь 1„1„— единичные векторы (орты) касательного и нормального направлений. Эти векторы лежат в плоскости, образованной вектором Е и нормалью к границе раздела, проведенной в точке Р. Далее свойства касательных и нормальных составляющих векторов поля на границе раздела будут рассмотрены по отдельности. 72 Глава 4.

Граниянь1е условия для векторов поля 4.2. Граничные условия для нормальных составля1ощих векторов магнитного поля Обозначим через В1 и В, векторные поля магнитной индукции в средах 1 и 2 соответственно. Выделим в окрестности точки Р цилиндрический объем (рнс. 4.3) с основаниями плошадью Л5 и с высотой образующей Лй. Пусть этот в1 1 и объем настолько мал, что поля В, и Вт можно считать неизменными в пределах оснований цилиндра.

р аз Обратим внимание на то, что единичный вектор нормали к границе раздела параллелен вектору элементарной плов, щадки на верхнем основании цилиндра 7 и антипараллелен такому же вектору на нижнем основании. Тогда поток вектора магнитной индукции через полную по1тнс 4 3 К выводу 1ра ВЕРХНОСтЬ ЦИЛИНДРа ЗаПИШЕтСЯ СЛЕДУЮ- ничных условий для нор- щим образом: мальных составляющих векторов электромагнит- 1~ Вг(В =В11пйс Вл1па~+ (4.2) ного поля х + поток через боковую поверхность.

Это приближенное равенство в пределе становится точным, если Ло стремится к нулю. Если же одновременно устремить к нулю высоту воображаемого цилиндра Лп, то поток вектора магнитной индукции через боковую поверхность окажется бесконечно малым. Следовательно, 11ш 1~ В б5= В11„ЛЯ вЂ” Вт!„Л5. алое (4.3) Так как имеет место закон неразрывности магнитных силовых линий, то левая часть равенства (4.3) всегда обращается в нуль. Отсюда следует, что В,1„— В,1„=0, или, что то же самое, В~= Вх„. (4.4) (4.5) Полученный результат формулируется следующим образом; нормальные составляющие вектора магнитной индукции на границе раздела двух сред непрерьсвны. Используя материальное уравнение В=р,Н, соотношение (4.5) можно записать относи- 43. Нормалвиые сосгавллющие электрических векторов тельно нормальных составляющих векторов напряженности маг- нитного поля: (4.6) 1'э1! 1~ в = 1хэтН2в.

Итак, если магнитные проницаемости граничащих сред не одинаковы, то нормальные составляющие векторов Н на границе раздела претерпевают некоторый скачок. 4.3. Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического поля Методика вывода данных граничных условий и соответствующий рисунок полностью аналогичны тем, которые использовались в э 4.2.

Однако если для магнитного поля всегда выполнялось равенство 81т В=-О, то в случае электрического поля справедливо уравнение с)1т О=р. Поэтому возможны два случая. 1) Поверхностный электрический заряд на границе раздела отсутствует. Суммарный заряд внутри малой цилиндрической области (рис. 4.3) при этом равен нулю. В соответствии с теоремой Гаусса ~ ОбВ--О, (4.

7) откуда следует, что О,„—.-- О,„ (4.8) и соответственно (4,9) Таким образом, при отсутствии поверхностных электрических зарядов нормальные составляющие векторов электрического смещения па границе раздела двух сред непрерывны впе зависимости от параметров этих сред. В то же время нормальные составляющие векторов напряженности электрического поля на границе раздела претерпевают скачок, величина которого зависит от отношения диэлектрических проницаемостей. 2) На границе раздела сред равномерно распределен электрический поверхностный заряд с удельной плотностью и„. Несомненно, что в этом случае уменьшение высоты вообра>каемого цилиндра Ьсч (рис.