Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес, страница 11

4. Поворот вокруг оси х, на угол аь в результате которого достигается совпадаиие систем координат. Каждую из этих четырех операций можно описать однородной матрицей элементарно~о поворота-сдвига, а произведение таких матриц даст однородную матрицу сложного преобразования '-'А„называемую ДХ-матрицей преобразования для смежных систем координат с номерами 1 и 1 — 1, Таким образом, по- лучаем С,ф— 5, 5,С„С, — 5„О О О Т, ~® аА14АВ*АВ = нимает вид сов О; в!и О, ΠΠ— сова, в!п О, соз ав сов 04 з-1 А; = Т, аТ, ПТа „ я!па, О С,С,П вЂ” 5 5 .54СВСв — С45в — 5,С, 0 (2.2-31) Т 'А,4А,'А = сов О, — сова; я!и 94 зй п,,з! П; О в!п О; О сова, саво; в!п а, — в!п а; сово, сова, О О О -414 51 п ав — азв сова, 1 (2.2-32) Используя матрицу ' — 'Аз, можно связать однородвые координаты р, точки р относительно 1-й системы координат (точка р покоится в рй системе координат) с однородными координатами этой точки относительно (1 — 1)-й системы отсчета, связанной с (1' — 1)-м звеном.

Эта связь устанавливается равенством Рз-1= Азр (2.2-33) где рз, = (х; 1, у; 1, г; 1, 1)' и рв = (хь уз, го 1)т. Для шестизвениого манипулятора Пума были определены шесть матриц '-'Ао соответствующие показанным на рис, 2.! ! системам координат. Эти матрицы представлены ниже. а сов 0 а, япо, 4) 1 со5 8, яп8 'А4 = 0 со5 а. 5!и 0 4 4 сова. со5 0 51П а 51П 04 — Мпа созо.

япа, 0 сов а, 0 -С, Π— 5, 5, О С, О 0 — ! 0 0 0 0 0 1 С, 55 0 О а,С, 0 а,5, 415 0 ! — 55 С 0 ВА, = 'л Рпс. 2.13. Система координат сапата. 0 0 -С, О 54 О 0 ! азСВ аз54 0 — 5, О Сз О 0 444 0 ! зл,' = 54 — Сз 0 -С, 0 5, О 0 -1 'Аз = 0 0 О 54 О- 0 — С, О 1 0 0 0 0 1 Сз 5, 0 0 Ав 09 а матрица, обратная к ' 'А,, равна [' А;! '=!А; ипасщпоз Π— в!и аз сов О, О соя а, 4)4 О ! 0 0 Св — 54 5, С, 0 0 0 0 С,5зз а,С,С, + азСВСзз — 41554 54554 аз54СВ + а,5,СВ, + 44зсз С„ — а,5, — а,55, 0 1 — СВС554 — 54С, С454 4)ВС454 — 54СВ54 + Свсв 5454 4145455 545В Св ззвсз + 444 0 0 1 где Сз — созо;! 51 = яп 04! Сп ю сов (О;+ 01)! 541= 5!п (01+ 01). 2.2.11. Уравнения кинематики манипулятора Однородная матрица 'Тп определяющая положение 1-й системы координат относительно базовой системы координат, пред- ставляет собой произведение последовательности одиар)эдны)к матриц преобразования 4-'Аз и имеет впд / 1 Гх; ув гв р41 Гомв Вр,1 ~ для 1= 1, 2, ..., и, (2.2-34) ~О О О !1 ~ О ГДЕ )Хь У„гз) — МатРИЦа, ОПРЕДЕЛЯЮЩаЯ ОРИЕНтаПИЮ 1'-й СИСТЕМЫ координат, связанной с 1-м звеном, по отношению к базовой си- стеме координат.

Это верхняя левая подматрица матрицы 2Ть имеющая размерность 3Х 3, рг — вектор, соединяющий начало базовой системы координат с началом рй системы координат. Это верхняя правая подматрнца матрицы 3Ть имеющая размерность Зр', 1 В частности, при 1' = 6 мы получаем матрицу Т =- = 'А,, которая задает положение и ориентацию схвата манипулятора относительно базовой снстезиы координат. Эта матрица так часто используется при описании кинематики манипулятора, что ее называют «матрицей манипулятора». Предположим, что матрица Т имеет следующий вид: хзузхзрз 'Вз р, падр п, 3, а« р, и« зг аг рг и« 32 а» рг 0 0 0 1 (2.2-35) где (рис. 2.13) и — вектор нормали к схвату.

В случае плоскопараллельного движения пальцев схвата этот вектор перпендикулярен пальцам манипулятора. 3 — касательный вектор схвата. Он лежит в плоскости движения пальцев схвата и указывает направление движения пальцев во время открытия и закрытия схвата. а — вектор подхода охвата, Он направлен по нормали к ладони схвата (т.

е. перпендикулярен плоскости крепления инструмента в схвате), р — вектор положения схвата. Этот вектор направлен из начала базовой системы координат к началу системы координат схвата, которое, как правило, расположено в точке, являющейся геометрическим центром полностью сжатых пальцев, Если положение манипулятора в абсолютном пространстве определяется матрицей В, а в схвате манипулятора зафиксирован инструмент, положение которого в системе координат охвата определяется матрицей Н, то положение рабочего узла инструмента относительно абсолютной системы координат дается произведением матриц В, 'Т, и Н, т.

е. (2.2-36) Отметим, что Н = — »А,-,232, В = — ммА3. Решение прямой задачи кинематики для шестизвенного манипулятора является, таким образом, вопросом вычисления Т = 'А, с помощью последовательного перемножения шести матриц '-'А,. Отметим, что решение прямой задачи кинематики при- бо С,С23 51С23 — 523 0 51 С!523 С, 5,5, 0 С23 0 0 а,С, С, + азС1 С»3 — а1251 а25,С, + а,5, С„+ 3(гС1 — а,5, — а3523 1 (222-37) Тг — — 3А3 — — 'А4 Аз Аз= С«СЗС3 5153 С4С353 54С3 С»53 "(3С453 5»СЗС3 + С«53 — 51С353 + С«С3 5453 2(35453 — 5»С 5353 Сз 2(3С3 + 2(4 0 0 0 1 где СО соз(6, -1- 02) и 5и — 3!п(6, + 62), (2.2-38) водит к единственной матрице Т при заданных 2(=(дь дг, ...

дз)г и фиксированных системах координат, где д1 = 6, для вращательного сочленения и д1 = 2(1 для поступательного сочленения. Ограничения определяются только физическими пределами изменения 9; для каждого сочленения манипулятора. Втаб- лице на рис, 2.1! указаны такие пределы для робота Пума серии 560 при выборе систем координат, указанном на рис, 2.11. Следующей после определения матриц преобразования координат задачей является поиск эффективного метода вычисления матрицы Т при помощи универсальной вычислительной машины. Наиболее эффективным является способ, состоящий в аналитическом перемножении всех шести матриц с последующим вычислением элементов матрицы Т на ЭВМ по полученным формулам.

Недостатками этого метода являются, во-первых, трудоемкость вычисления произведения шести матриц '-'А, и, во-вторых, недостаточная гибкость метода, обусловленная тем, что каждая матрица манипулятора соответствует определенному типу робота при вполне конкретном выборе систем координат. С другой стороны, можно ввести в ЭВМ все шесть матриц '-'Аз и с ее помощью выполнить их перемножение. Этот метод обладает большей гибкостью, но требует большего времени вычислений, и это при условии, что четвертая строка матриц '-'А; состоит в основном из нулей. Метод, одновременно обладающий достаточной гибкостью и обеспечивающий приемлемую скорость вычислений, состоит в том, чтобы «вручную» перемножить первые и последние три матрицы ' — 'А„получив Т1 = 'А1'Аг'Аз и Тг = 'Аз'Аз'Ам что представляет собой достаточно простую задачу, Затем точные выражения для элементов матриц Т1, Тг используются в программе, по которой ЭВМ производит численное перемножение этих матриц, формируя матрицу манипулятора Т = Т,Т,.

Для робота Пума 560 матрицы Т, и Т, имеют вид Т =аАз = оА11А22Аз = Матрица манипулятора Т для робота Пума (рис. 2.11) равна и» з» а» Р» Пу Зу ау Ру Пг Зг аг Рг 0 0 0 1 Т = ТгТз = Аз~Аз~АззА4 АььАь = (2.2-39) Положив для проверки Оь = 0', Оь = 0', имеем 0 =90', Оз=О', 0 =90', 04=0', — ! 0 — 149,09 0 1 921,12 0 0 20,32 0 0 1 0 что согласуется с выбором систем координат, показанным на рис.

2.11. Из равенств (2,2-40) — (2,2-43) видно, что вычисление матрицы манипулятора Т требует обращения к программам вычисления 12 трансцендентных функций, выполнения 40 умножений и 20 сложений в том случае, если производится только вычисление верхней правой подматрнцы матрицы Т, имеющей размерность 3 Х 3, а вектор и определяется как векторное произведение векторов з и а(п = з Х а) Далее, если объединить г!ь с длиной рабочего инструмента, то с(ь = О, а длина инструмента увеличится на с(ь единиц.

Это сокращает объем вычисленийдо 12 обращений к программам вычисления трансцендентных функций, 35 операций умножения и 16 операций сложения. где и, = С, [Скз (С,С,С, — 545,) — Яз»5»Сь[ — 5, (Я,С,С, + С45ь), пу 51 [Сзз (С,СьСь — 5»Яь) 5»з5зСь! + С, (Я„С,Сь + С,5ь), (2.2-40) П, = — 5м [С,С,Сь — 5»Яь[ — Сзз5ь5м зг = Сз [ — С з (ѻѻЯь + 54Сь) + ЯззЯ»Яь[ 5г ( — 5»С»Яь + С»Сь), зу = Яг [ — Сзз (СьС»Сь + 5»Сь) + ЯгзЯ»Яь[ + С! ( — 54СьЯь + С4Сь), з» = 5 з (СьСь5ь+ 54Сь) + С з5зЯм (2.2-41) ' а» = С, (СзвС,5ь + ЯмСз) — ЯзЯ~Яь ау 51 (СззС,5, + Яг»С») + С,545»,::: ..-' .~ту, г .. ". (2.2-42) а, = — ЯгзС»Яь+ СмСь, Р = С, [с(ь(С»зС45ь+ ЯззСь) + Яззс(4+ ьгзС»з+ агС»[ 51 (с(ьЯ»Яз+ с(з) ру =- 51 [с(ь (СззС45з + 5»зСь) + Яззс(г + азСгз + а»Сз[ + С1(с(ь545ь+ с(з) р» = с!ь(СззСь ЯззС45ь) + Стзс(ь азЯ»з а»Я».

(2.2-43) Пример. Робототехнический комплекс оборудован телевизионной камерой (рис. 2.14), В поле зрения камеры находятся точка начала базовой системы координат, в которой закреплен шестизвенный манипулятор, а также центр объекта манипулирования, например куба. Если в центре куба поместить локальную систему координат, то его положение относительно камеры будет определяться однородной матрицей преобразования Ть Положение базовой системы координат относительно камеры также может быть задано однородной матрпцей преобразования Тъ причем 0 ! 1 0 0 0 0 — 1 0 0 0 10 Т,= 1 0 0 — !О 0 — 1 0 20 0 0 — 1 '10 0 0 0: 1 0 1 0 1 1 0 0 10 0 0 — 1 9 Т„„= — Т, = 0 0 О 1 0 — 10 1 0 0 — 1 0 0 0 0 0 20 — 1 10 0 1 »заир» Тьггг — Тз = | а) Найдите положениецентра куба относительно базовой системы координат.

б) ПРедположим, что кУб Ркс, 234. Робототе»якческий комплекс, находится в пределах до. оборудованный телевизионной камерой. стижимости манипулятора. Какой должна быть матрица [и, з, а], чтобы направление движения пальцев охвата совпадало с направлением оси у объекта манипулирования и при этом можно было бы поднять куб с поверхности, на которой он находится. Решение. Чтобы найти б"'Т„б, воспользуемся «правилом последователь. ных преобразований»; баз Т база ! зааара. куб качара а «хб ( а 2) а! Используя для обращения матрицы Т, равенство (2.2-27), полу- чаем результирующую матрицу преобразования база Т,„ 0 11 0 10 1 1 0 0 0 1 Таким образом, куб находится в точке (11, 10, 1)" относитвлйю базовой системы координат. Его оси х, у, х сонаправлены сбизтветственно с осями — у, х и х базовой системы координат.

Чтобы определить [и, з, а), воспользуемся выражением О 0 0 1 1 0 0 — 1 0 0 0 0 0 ! — ! 0 0 0 0 10 0 20 — 1 10 0 ! 0 ! 0 0 ! 0 1 0 0 10 0 — 1 9 0 0 1 5Ф50 Рк — СФ5Е р„ се р. 0 ! С СФ вЂ” 5Ф505Ф вЂ” СФ5Ф вЂ” 5ФСЕСФ 5ФСФ+ СФСЕ5Ф вЂ” СФ5Ф+ СФСЕСФ 505ф 50СФ 0 '; ' 0 ОТ,= (2.2-44) 2.2. ! 2. Другие способы определения положения схвата В предыдуших разделах мы рассмотрели поступательное и вращательное движения звеньев манипулятора и ввели понятие однородных матриц преобразования, описывающих положение и ориентацию систем координат звеньев. Наиболыпий интерес представляет матрица манипулятора 'Т,, которая описывает положение и ориентацию схвата относительно базовой системы координат, Верхняя левая подматрица матрицы бТ„имеющая размерность 3;~ 3, задает ориентацию охвата.