Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес, страница 13

2.3.1. Метод обратных преобразований В этом разделе обший метод обратных преобразований продемонстрирован на примере решения обратной задачи кинематики в эйлеровых координатах. Задача состоит в том, чтобы, 7В конфигурации манипулятора. В этом вопросе исследователю приходится полагаться на собственную интуицию. Ниже рассмотрен предложенный Г!айпером подход к решению обратной задачи кинематики в эйлеровых координатах.

Уикер и др. [294! и Миленковиц и Хуанг [!98[ предложили итеративную процедуру решения обратной задачи кинематики большинства промышленных роботов. Такой подход требует больших вычислительных затрат и не гарантирует сходпмости результатов, особенно для вырожденного случая. Кроме того, как и метод обратных преобразований, метод итераций не дает способа выбора из нескольких сушествуюших решений одного, соответствующего данной конфигурации манипулятора.

Желательно, чтобы решение обратной задачи кинематики было получено в явном виде. К счастью, большинство промышленных роботов удовлетворяет одному из следующих двух условий, достаточных для достижения такой цели: 1. Оси трех смежных сочленений пересекаются в одной точке. 2, Оси трех смежных сочзенений параллельны между собой. Станфордский манипулятор и манипулятор Пума удовлетворяют первому условию, а манипуляторы Л5ЕЛ и МИММО)хЕ)г — второму. Из равенства (2.2-39) следует вид матрицы манипулятора Т: зная трехмерную матрицу поворота и учитывая равенство (2.2-17), представляющее собой выражение этой матрицы через углы Эйлера: | их зх ах ие зе ах = йх, е)хи, е(хю, я их зг ах СфСф — 5фс95зР— Сф5ф — 5фсесф 5ф59 5фсхь+ Сфс95ф — 5ф5ф+ СфсеСф — Ср50, (2;3-2) 505ф 59сзр Се О, зр.

Записывая для отдельных Из уравнений (2.3-3и), (2.3-3е) и (2.3-3з) получаем, что решение всей системы уравнений (2.3-3а) — (2.3-3и) имеет следующий вид: 9 = агссоз (а,), (2.3-4) р = агссоз | хв (2.3-6) à — „1 ф = агссоз [ —, ~ дв 1 (2.3-6) Полученное решение неустойчиво и плохо обусловлено по следующим причинам; 1. Функция агссоз неудобна тем, что точность вычисления ее значения зависит от этого значения. 2. В точках, где яп(9) принимает близкие к нулю значения, т.

е. при 0 — 0' или 0 ж 180', равенства (2.3-6) и (2.3-6) либо не определены, либо дают низкую точность вычислений. Следовательно, требуется найти более устойчивый способ определения углов Эйлера в данной задаче, а также более 71 определить соответствующие значения углов ф, это матричное уравнение в форме уравнений элементов, получим их = СфСф — 5фс95ф, „= 5фСф+ СфСЕ5ф, и, = 505ф, з, = — Сф5зр — 5фсесзр, з„= — 5ф5зр + Сфсесф, ,=5ЕСф, ах = 5ф50, ае = — Сф50, а, =Се. (2.3-3а) (2.3-3б) (2.3-3в) (2.3-3г) (2.3-3д) (2.3-3е) (2.3-3ж) ' (2.3-3з) . (2.3-3и) 0' ~( 0 < 90', 90'~(9 < 180', — !80'»-.9 ч — 90', — 90'(9:а 0', если х>0, если х(0, если х (О, если х>0, у>0; у>0; у<0; у<0.

(2.3-7) О= АТЛй72(у, х) Применяя такую обратную тригонометрическую функцию двух аргументов, рассмотрим общее решение, предложенное Полом и др. [23! [. Элементы матрицы в левой части матричного уравнения (2.3-2) заданы, а элементы матриц, стоящих в правой части этого уравнения, неизвестны и зависят от ф, О, ф. В работе [231) предлагается последовательно умножать слева обе части уравнения (2.3-2) на матрицы обратных преобразований и определять искомые углы из полученных таким образом матричных уравнений.

Смысл таких преобразований состоит в том, что мы переносим сначала одну из неизвестных величин из правой в левую часть уравнения, находим ее, затем переносим в левую часть следующую неизвестную, найдя ее, повторяем эту процедуру до тех пор, пока не будут найдены все неизвестные. Умножая слева матричное уравнение (2.3-2) на )х, ч, переносим неизвестную ф в левую часть, оставляя в правой неизвестные О и ф, и тем самым получаем — 5ф Сф 0 п„яя а„= 0 СО -50 5»Р С$0 или устойчивую обратную тригонометрическую функцию для вычис.

ления этих углов. !хля вычисления угла 9, значения которого лежат в пределах — и ( 9 ( л, воспользуемся функцией арктангенса АТАЫ2(у, х), вычисляющей значение агс!д(у/х) с учетом принадлежности аргумента соответствующему квадранту. Эта функция определена следующим образом: Из равенства элементов (1, 3) (элементов, находящихся на пе- ресечении 1-й строки и 3-го столбца матрицы) в правой и левой частях уравнения (2.3-8) имеем Сфа» + 5фая —— О, (2.3-9) что в свою очередь дает ф=агс!а| а» 1=АТАН2(а„— а»).

(2.3-10) Из равенства элементов (1, 1), (1, 2) в правой и левой частях следует Сф= Сфи + 5фи„, 5ф = — Сфя, — 5фя„, что позволяет найти гр: »р = агс!и| —,1=агс1п [, „+ = ЛТАМ2 ( — Сфя, — 5фяю Сфи„+ 5фп,). (2.3-12) Приравнивая элементы (2, 3), (3,3) матриц в левой и правой частях уравнения, получаем 50 = 5ра — Сфа„, СО=а„ что позволяет найти 0 яв Г Яч໠— Сфа» 1 0 = а ге(п | —,1 = а ге!и [ = АТЛ!»'2(5фа, — Сфа„, а,).

(2.3-1 4) Поскольку смысл метода обратных преобразований состоит в переносе одной из неизвестных величин в левую часть матрич- ного уравнения с последующим разрешением уравнения отно- сительно этой неизвестной, можно попытаться решить это же самое матричное уравнение, умножая обе его части справа на матрицу обратного преобразования К ,ч.' а — 5ф С»р 0 = 5ф Сф 0 0 СΠ— 59 (2.3-1 б) 73 с Сфи„ + 5фп — 5фи„+ Сфия и» Сфя, + 5фя„Сфа„+ 5фая — 5фя» + Сфяя — 5фа, + Сфая я» аг — 5р О С05ф СОСф — 50 .

(2.3-8) 505ф 50сф СО В результате умножения матриц получим | и„сф — я„5ф п»5ф + я„Сф а„сф — 5фсО и„Сф — я„5ф и„5ф + я„Сф а„= 5ф СфСО и,Сф+ я»5»Р п,5ф+ я»с»Р а, 0 59 5ф59 — Сф50 . СО (2.3-19) етелгег еееЛатп- ещареееерга (2. 3-20а) (2.3-20б) 'чь 'ро"., „."" або аоо ~',, е.- ~Ф' "' "ссо ь оМ" 'Ъ ее сдаст .а, с еф .еф еьо „3~ е.. '«Оаа. ,орМр,й . аба'Р' $ аФсМааМ "',, ''бсо сас (2.3-21) (2.3-22) 74 Как и выше, приравнивая элементы (3, 1) матриц в левой и правой частях уравнения, имеем пеСтр — в,Вор = О, (2.3-16) что дает ор = а гс1 и Я = А ТА И2 (п„в,). (2.3-17) Из равенства элементов (3, 2), (3, 3) обеих матриц следует 59 = пе5ор + в,Стр, (2.3-18а) Сй=а, (2.

3-18б) что позволяет определить 9: = ЛТЛ112(пе5ор -1- в,Сор, ае) Из равенства' элементов (1, 1), (2, 1) матриц в левой и правой частях уравнения (2.3-15) имеем Счо = а„Сор — в„5ор, 5ор = неСтр — ве5о(о, откуда легко найти Т п„СЧо— гр = а гс(й ~ 'ь „ст — е.лз~ = АТЛМ2 (ппСтр — ве5ор и Сор в 5ор) Решение вопроса о том, слева или справа умножать обе части матричного уравнения на матрицу обратного преобразования, зависит от исследователя и во многом определяется его интуицией.

Воспользуемся изложенным методом обратных преобразований для определения углов Эйлера манипулятора Пума, В применении к манипуляторам типа Пума углы Эйлера обозначаются символами О, А и Т и определяются следуюшим образом (рис. 2.17): О (ориентация) — угол, образуемый осью уо с проекцией оси инструмента на плоскость ХУ и отсчитываемый вокруг осн Хо. Л (высота '1) — угол, образуемый плоскостью ХУ с осью инструмента а, отсчитываемый вокруг оси инструмента в.

Т (инструмент) — угол, образуемый плоскостью ХУ с осью инструмента в, отсчитываемый вокруг оси инструмента а. и По первой букве аиглийского слова а1бипбе — высота. — Драл. перев. Вначале оси системы координат инструмента (или системы координат схвата) параллельны осям базовой системы координат робота, как показано на рис. 2.18, т. е., когда О=А = Т=О, схват направлен в сторону, противоположную направлению оси М йа вой аарл.... сод~ «оо , абоМог,: йсо «сМ~""'" с ..."" ~б .Ь- У:"...

е Ф ряеееО 'сея с е е. е Рис. 2.17 Определение углов Эйлера О, А и Т (из руководства 898Н к маня пулятору Пума). у,, пальцы расположены в горизонтальной плоскости, а ось в сонаправлена с осью хо. й(атрида преобразования, задаюшая ориентацию системы координат охвата (п, в, а) по отношению к базовой системе координат (хо, у,, х,), имеет вид что позволяет определить Т: (2.3-26) (2.3-26 а) (2.3-266) ~ Уо о в ло 2.3.2. Геометрический подход 77 С учетом определения углов ОАТ и вида матрицы (2.3-22), задающей начальную ориентацию системы координат охвата, связь ко Рнс. 2.18.

Ночольное расположение системы координат инструмента, между матрицей ориентации охвата и углами ОАТ определяется следующим выражением: с и„ я„ а, О 1 О СΠ— 50 О па я аа — — К, ΠΠ— 1 й, лР.,т= 50 СО О Х .[~!-П: ~::П' '11 Умножая справа это матричное уравнение на матрицу, обрат" ную Ва, т па я„а„— 5Т СТ О = 50 СΠΠΠΠ— 1 Х [::,::1 н производя умножение матриц, получаем с п„СТ вЂ” я„5Т и„5Т + я„СТ а„— 505А СО 50СА п„СТ вЂ” я„5Т п„5Т + я„СТ а„= С05А 50 — СОСА и,СТ вЂ” я,5Т и,5Т+ я,СТ а, — СА Π— 5А (2.3-23) Приравнивая элементы (3, 2) в обеих частях матричного уравнения (2.3-23), получим и,5Т+ я,СТ = О, (2,3-24) 76 Т = агс1п [ — '1 = АТАИ2 (я„— и,).