Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес, страница 14

Из равенства элементов (3, 1), (3, 3) в левой и правой частях уравнения (2.3-23) следует 5А = — а„ СА = — п,СТ+ я,5Т. В результате получаем А = агс1К [ +, ~ = АТА7т'2( — а„— п,СТ+ я,5Т). (2.3-27) Из равенства элементов (1, 2), (2, 2) матриц в левой и правой частях уравнения (2.3-23) имеем СО = п„5Т+ я,СТ,,, (2.3-28а) 50 = п„5Т + я„СТ, (2,3-28б) откуда получаем выражение для 0: Г иаЯТ+ яупт 1 О=агс1п[ г ст ) АТАг12(п„5Т+п„СТ, п,5Т+я„СТ) (2,3-29) Рассмотренным способом, состоящим в умножении исходного уравнения слева или справа на неизвестную матрицу обратного преобразования, можно воспользоваться для решения обратной задачи кинематики манипулятора Пума.

Такое решение подробно изложено в работе [231). Хотя метод обратных преобразований дает общий подход к решению обратной задачи кинематики, из него не следует, каким образом выбрать из нескольких существующих решений одно, соответствующее требуемой конфигурации манипулятора, В этом вопросе приходится полагаться на интуицию исследователя. Для нахождения решения обратной задачи кинематики по заданной матрице манипулятора более пригодным является геометрический подход, дающий также и способ выбора единственного решения для конкретной конфигурации манипулятора. Этот подход описан в равд. 2.3.2.

В этом разделе излагается геометрический подход к решению обратной задачи кинематики шестизвениого манипулятора с вра- шательными сочленениями, Решение проводится для манипулятора типа Пума. По аналогии с геометрией человеческой руки и в соответствии с расположением систем координат звеньев различные конфигурации манипулятора Г!ума (рис. 2.11) определяются с помощью трех индикаторов конфигурации (РУКА, ЛОКОТЬ, ЗАПЯСТЬЕ)'1. Для индикатора характеризуют взаимное расположение первых трех сочленений, а третий — расположение последних трех. Для шестиосных манипуляторов типа Пума существуют четыре различных решения обратной задачи кинематики первых трех сочленений и каждому из этих четырех решений соответствует по два допустимых решения для последних трех сочленений. Первые два индикатора конфигурации позволяют выбрать одно из четырех возможных решений для первых трех сочленений.

Аналогично, третий индикатор определяет вы. бор одного из двух возможных решений для последних трех сочленений, Выбор индикаторов, определяющих конфигурацию манипулятора, производится пользователем до начала решения обратной задачи кинематики, Решение производится в два этапа. Сначала вычисляется вектор, направленный от плеча к запястью. Проекции этого вектора на плоскость хиы у,, используются при нахождении присоединенного угла 1-го сочленения (1 = 1, 2, 3) для первых трех сочленений. При решении обратной задачи кинематики для последних трех сочленсний используется решение, полученное для первых трех сочленений, подматрицы поворота матриц 'Т и '-'А; (1= 4, 5, 6) и проекции систем координат звеньев на плоскость х'-' у' — '.

Исходя из геометрических соображений, удается последовательно сформировать решение данной задачи. В качестве проверки полученного решения можно с помошью соответствуюших уравнений кинематики вычислить значения индикаторов конфигурации, являюшихся функциями присоединенных углов. С некоторыми изменениями и уточнениями этот метод можно обобщить для решения обратной задачи кинематики большинства современных промышленных роботов с врашательными сочленениями. Если задана матрица 'и'Т„„„то, умножив зту матрицу слева и справа на В-' и Н-' соответственно, можно вычислить 'Т, и затем воспользоваться указанным способом: ал з» ал Р ив з„ а„ ра пя з, а, р, 0 0 0 1 (2.3-30) е -1 вас Тв = Т = В ТивстрН Глядим гуглгйия нижняя рука Рис, 2.19 Определение разлнчнык конфигураций манипулятора, Определение различных конфигураций манипулятора.

Для манипулятора Пума, показанного на рис. 2,11 (и других мани- о В атом Разделе ав~оры для определения конфигурации манипул ора ставят в соответствие звеньям — руке, локтю, запястью — иеноторые функции, названные ими индикаторами нонфигурацни. Придавая индикаторам конфигурации дискретные значения (~1) в зависимости от знака соответствующих кинематическик соотношений, авторам удалось создать достаточно наглядную классификацию видов конфигурации манипулятора с помощью геометрической интерпретации Желая сохранить стиль изложения, мы сохранили предложенную авторами терминологию, хотя она не получила широкого распространения в отечественной литературе по рооототекнике.

— Прим. ред. 78 пуляторов с вращательными сочлснениями), возможны различные типы конфигурации, которые определяются по аналогии с геометрией руки человека в соответствии с расположением систем координат звеньев, устанавливаемым алгоритмом 2.1. Типы конфигурации манипулятора устанавливаются следуюшим образом (рис. 2.19): ПРАВАЯ РУКА: При неподвижном 3-м сочленении увеличение угла Оз приводит к увеличению координаты запястья по оси хе 79 (2.3-37) (2.3-38) (2.3-39) (2.3-44) в| ао 1 ЛЕВАЯ РУКА: При неподвижном 3-м сочленении увеличение угла 02 приводит к уменьшению координаты запястья по оси гз. ВЕРХНЯЯ (локоть выше запястья) РУКА: Положение запястья (ПРАВОЙ/ЛЕВОИ) руки по отношению к системе ко. ординат плеча характеризуется (отрицательным/положительным) значением координаты по оси у, НИЖНЯЯ (локоть ниже запястья) РУКА: Положение запястья (ПРАВОЙ/ЛЕВОЙ) руки по отношению к системе координат плеча характеризуется (положительным/отрицательным) значением координаты по оси уг.

КИСТЬ ВНИЗ: Скалярное произведение единичного вектора з системы координат охвата и единичного вектора уз системы координат (хм у,, гз) по,тожительно. КИСТЬ ВВЕРХ: Скалярное произведение единичного вектора з системы координат схвата и единичного вектора уз системы координат (хз, уз, г,) отрицательно. (Заметим, что это определение типов конфигурации манипулятора по положению систем координат звеньев изменится, если будут использованы другие системы координат.) В соответствии с данным определением различных конфигураций манипулятора для каждой из таких конфигураций опре. делены индикаторы конфигурации (РУКА и ЛОКОТЬ). Совместно зти два индикатора выделяют одно из четырех возможных решений обратной задачи кинематики для первых трех сочленений.

Для каждой из четырех возможных конфигураций манипулятора (рис. 2.19), определяемых первыми двумя индикаторами, третий индикатор (ЗАПЯСТЬЕ) обусловливает выбор одного из двух возможных решений обратной задачи кинематики для последних трех сочленений. Перечисленные три индикатора конфигурации звеньев могут быть определены следующим образом: +1 для ПРАВОЙ руки РУКА = — 1 для ЛЕВОЙ руки ( +1 для ВЕРХНЕИ руки ЛОКОТЬ = ( +1, если КИСТЬ ВНИЗ ~ — 1 есчи КИСТЬ ВВЕРХ В дополнение к перечисленным индикаторам определим ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ следующим образом: + 1 Сменить ориентацию запястья ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ = — 1 Не менять ориентацию запястья |2.3-34) Значения индикаторов и переключателя задаются исследовате- лем до начала решения обратной задачи кинематики, Значения индикаторов можно также определить, зная присоединенные углы манипулятора и пользуясь соответствующими уравнениями конфигурации, которые будут приведены ниже и которыми мож- но воспользоваться для проверки решения обратной задачи кине- матики.

Решение обратной задачи кинематики для первых трех со- членений. В соответствии с кинематической схемой манипуля- тора Пума, представленной на рис. 2.11, вектор р, выходящий из начала системы координат плеча (хз, у,, г,) и заканчивающийся в точке пересечения осей трех последних сочленений, опреде- ляется следующим выражением (см. рис. 2.14): р = р, — 4(за = (р„ру, р,), (2.3-35) что соответствует вектору положения матрицы зТ4. с Р Сг (агС2+ азС2з+ 4(4322) 4(гог ру = 5,(азС2 + азС, + 4(4522) + г(2С, .

(2.3-36) Рк 4|4См азогз агог Решение для первого сочленения. Проецируя, как показано на рис. 2.20, вектор р на плоскость хз, у,, получаем следующие урав- нения для определения угла 00 6г =ф — а, 0~ — — и+ф+а, 2 2 2 .! 2 2 г = 1(р. + ру — 4(к, )7 =ъ р. + ру Ру Рк з!и ф= —, созф= —, Ь' ыпа= — ', сова= —, я' я' (2.3-40) в которых верхние индексы 7 и )г означают соответственно ЛЕ. ВУЮ и ПРАВУЮ конфигурации манипулятора. Из уравнений (2,3-37) — (2.3-40) получаем значения функций синуса и косинуса угла 04 для ЛЕВОЙ/ПРАВОИ" конфигурации манипулятора; Ру» — Рк»22 з|п 6~ = з|п (ф — а) = ып фсоза — сов ф зш а = (2 3-41) Ркг + луг|2 соз64 — — соз(ф — а) =созфсоза+ ып ф ып а= (2.3-42) (2.3-43) — Ру» — Рк»гг з|п 0, = з|п(п+ ф+ а) = Лг — Рк»+ Рукг созбгя — соз(п+»р+ а) = ОЛ Ук ар= рх ес=р к оа = Рк ОА Лг АВ а» вс=, сг»=е, х» 3 1.

1 - н ов чррг+ р'„= к яа зн АВ=»= 4р'Еррвл у а ,Вя= я 1 ОВ =. у рр» »е рг у ' к л Ру Рк + Ру г»21 Рклу — РУКА з!и 01— (2.3-45) 2 Рх+Ру Рк 'У Рку+ Ру ~22 + Ру~у -РУК12 .О,— (2.3-46) Рх + Ру 83 Объединяя равенства (2.3-41) — (2.3-44) и используя индикатор РУКА для учета ЛЕВОЙ/ПРАВОЙ конфигурации манипуля»7улаугрег»га л; у, / I ! о ,гтеРал руха 1 / / Р Внйктренний григииер» (/зеввиурв аг р и ! Рис. 2.20, Решение для 1-го сочленения. тора, получаем значения функций синуса и косинуса угла О, в следующем виде: В этих равенствах используется положительное значение квадратного корня, а индикатор РУКА определен равенством (2.3-3! ). Для вычисления 01, лежащего в пределах — л ( 01 ( и, воспользуемся функцией арктангенса, определенной равенством (Рв РР Р.,! Рис.

2.21, Решение для 2-го сочленения. (2.3-7). Из равенств (2.3-45) и (2.3-46) с учетом равенства (2,3-7) получаем следующую формулу для определения О,; = агс!и— 2 2 ~2 Ру Рк+Ру 2 Рк 2 П 1 Л вЂ” РУКА Рк х7рк+ Ру — не+ Руггя (2.3-47) Решение для второго сочленения. Чтобы найти Оь спроецируем вектор р на плоскость х1уь как показано на рис.

2.2!. В соответствии с этим рисунком возможны четыре различных конфигурации манипулятора. Каждой конфигурации соответствует свое значение угла 02 при 0' =' се (360' н 0' ( !3 ( 90' (табл. 2.3). Как следует из табл. 2.3, используя индикаторы конфигурации РУКА и ЛОКОТЬ, для О' можно записать единое для всех возможных конфигураций манипулятора выражение, имеющее следующий вид. О, = и+ (РУКА ЛОКОТЬ) ° 6 = а+ К !2, (2.3-46) где составной индикатор конфигурации К= РУКА ЛОКОТЬ определяет соответствующий знак угла 6, а точкой обозначена РУКА Конфнгураци» манипулятора РУКА ЛОКОТЬ а — р а+6 и+ р а — !1 ЛЕВАЯ ВЕРХНЯЯ рука ЛЕВАЯ НИЖНЯЯ рука ПРАВАЯ ВЕРХНЯЯ рука ПРАВАЯ НИЖНЯЯ рука -1 -1 +1 +1 +1 — 1 +1 -1 -1 +1 +1 — 1 РУКА ЛОКОТЬ (гР )р ЛОКОТЬ РУКА Конфигурация маняпуаязора (2.3-58) 21 у 2 ! 2 ! 2 12 (2.3-52) (2.3-53) (2.3-59) з(п 8= зу! — соз'8.