Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес, страница 10

Смысл представления Денавита — Хартенберга (ДХ-представление) состоит в формировании однородной матрицы преобразования, имеющей размерность 4 и',4 и описываюшей положение системы координат каждого звена относительно системы координат предыдущего звена. Это дает возможность последовательно преобразовать координаты схвата манипулятора из системы отсчета, связанной с последним звеном, в базовую систему отсчета, являющуюся инерциальной системой координат для рассматриваемой динамичекой системы.

Кроме базовой системы координат для каждо~о звена на оси его сочленения определяется ортонормированная декартова система координат (хо уь тм) и, где ! = 1, 2, ..., и, а и равно числу степеней свободы манипулятора. Поскольйу вращательное сочленение имеет только одну степень свободы, каждая система координат (х„уь х,) манипулятора соответствует (!+!)-у сочленению и связана с рм звеном. Когда силовой привод возбуждает движение в 1-м сочленении, 1-е звено начинает двигаться относительно (! — !)-го звена. Поскольку ~'-я система координат связана с ~'-м звеном, она движется вместе с ним. Таким образом, и-я система координат движется вместе с последним п-м звеном манипулятора, Базовой является нулевая система координат (хо, уо, го), представляющая собой инерциальиую систему координат манипулятора.

Так, для шестизвенного манипулятора Пума должны быть определены семь систем координат, а именно (хо, уо, го), (хь уь г1), ..., (хз, уа, га). Каждая система координат формируется на основе следующих трех правил: 1. Ось х,, направлена вдоль оси 1-го сочленения. 2. Ось х, перпендикулярна оси гм 1 и направлена от нее. 3. Ось у, дополняет оси хо х, до правой декартовой системы координат, " В действительности (я„уь я,) представляют собой единичные векторы, направленные вдоль основнык осей ).й системы координат, но в данном случае так обозначается Ья система координат. 52 Эти правила оставляют свободу в выборе О-й системы коорд Ф инат при условии, что ось хо направлена вдоль оси первого сочленения. Последняя, и-я система координат также может быт ь выбрана в произвольной точке и-го звена при условии, что ось х„перпендикулярна оси х„ь ДХ-п едставление твердых звеньев зависит от четырех геометрических параметров, соответствующих каждому звену. р .

Эти четыре параметра полностью описывают любое вращательное или поступательное движение и определяются в соответствии с рис. 2.10 следуюшим образом: 0; — присоединенный угол — угол, на который надо повернуть ось х,, вокруг оси аы ь чтобы она стала сонаправлена с осью х; (знак определяется в соответствии с правилом правой руки); с(; — расстояние между пересечением оси аы 1 с осью х; и началом (! — 1 -й системы координат, отсчитываемое вдоль оси г, б а, — линейное смещение — расстояние между пересечением оси г с осью х, и началом 1-й системы координат, отсчитываемое вдоль оси хь т. е. кратчайшее расстояние между ос г~ |с е ями г, ~иг,; ь ось и, — угловое смещение — угол, на который надо повернуть х, 1 вокруг оси хь чтобы она стала сонаправленной с осью х, (знак определяется в соответствии с правилом правой руки).

Для врашательных сочленений параметры с(ь ач и а, являются характеристиками сочленения, постоянными для данного типа робота. В то же время 0; является переменной величиной, изменяющейся при движении (врашении) бго звена относительно (! — 1)-го. Для поступательных сочленений 0ь а~ и сьев характеристики сочленения, неизменные для данного робота, а с(,— переменная величина. Ниже в этой книге о величинах 0; (или д!;) будем говорить как о присоединенных переменных, подразумевая тем самым, что они могут менять свои значения, Величины и'„аи сс„если чке сочленение вращательное, ий„аь сев если оно поступательное, будем называть присоединенными параметрами, подчеркивая их постоянство.

Ниже в алгоритме 2.1 дано описание процедуры формирования последовательности согласованных систем координат, связанных со звеньями манипулятора. Алгоритм базируется на изложенных выше трех основных правилах построения ортонормированных систем координат звеньев и учитывает геометрический смысл параметров сочленений и звеньев.

Примеры применения этого алгоритма для шестизвенного манипулятора Пума и для манипулятора, разработанного в Станфордском университете, приведены на рис. 2.11 и 2.12 соответственно. бз Д1, Формирование базовой системы координат. Сформировать правую ортонормированную систему координат (хо, уо, го), связанную с основанием, направив ось ае вдоль оси 1-го уу Еь 1' 75гягруУР ь"'гдилга ОИ уе УУзгууагшд~ Алгоритм 2.1. Формирование систем координат звеньев. Для каждого звена манипулятора с п степенями свободы этот алгоритм формирует ортонормированную систему координат. Выбор систем координат производится с учетом конфигурации манипулятора, сходной с конфигурацией человеческой руки. Системы Уу тгв (а) Рис. 2.1!. Чгорьгнрованне систем координат звеньев для манипулятора Пума, Параметры снстеы коордннат звеньев манипулятора Пума Рис.

2.12, чгорьтирование систем координат звеньев для станфордского мани- пулятора. Со ыыяеппе г Пределы пзмепення г о,. Параметры снег«м коордннат звеньев станфордского маннпулятора о! е,. Сочленение г координат нумеруются в порядке возрастания от основания к охвату манипулятора. Взаимное расположение соседних звепьем описывается однородной матрицей преобразования размерностью 4 ус,'4. Смысл такого построения систем заключается в тем, что оно позволяет, как будет показано в следуюших главах, выработать последовательную процедуру решения обратной задачи кинематики. Заметим, что предлагаемый способ выбора систем координат не является единственным. сочленения к «плечу» манипулятора.

Оси х, и у, можно выбрать произвольно при условии их перпендикулярности оси хо. Д2. Начало и цикл. Для всех ! (! = 1, 2, ..., и — !) выполнить шаги ДЗ вЂ” Дб. 55 54 90 0 90 0 0 0 — 90 0 90 — 90 90 0 0 431,8 мм — 20,32 мм 0 0 0 0 149,09 мм 0 433.07 мм 0 56,25 мм — 160 — + 160 — 225 — 45 — 4о — 225 — 110 — 170 — 100 — 100 — 266 — 266 ! 2 3 4 5 6 0 = — 9О В = — ОО О = — 9О 0,=0 оз = 0 0 =Π— 90 90 0 — 90 90 0 иг г1з 0 0 гга ДЗ. Формирование осей сочленений.

Направить ось х; вдоль оси движения (вращательного или поступательного) 1'+ 1-го сочленения. Для роботов с манипуляторами, имеющими конфигурацию левой-правой руки, оси г, и гя направлены от плеча и общего направления манипулятора. Д4. Формирование начала 1-й системы координат. Расположить НаЧаЛО Ьй СИСТЕМЫ КООРДИНат На ПЕРЕСЕЧЕНИИ ОСЕЙ Х1 И гьн или на пересечении общей нормали к осям х, и гьп с осью х,. Дб, Формирование оси хь Выбрать единичный вектор х1 следующим образом: х, = ~(хин Х х;)7'!!г1 1Х гЛ или вдоль общего перпендикуляра к осям г,, и х1, если они параллельны. Дб. Формирование оси у1.

Положить у; = +(х, Х х1)/!|х1 Х х1!! получив тем самым правостороннюю систему координат. (Продолжить оси г; и х„если это необходимо для шагов Д9 — Д! 2.) Д7, Формирование системы координат схвата. Как правило, и-е сочленение является вращательным, Сформировать ось х, направив ее вдоль оси г„, и от робота. Выбрать ось х„так, чтобы она была перпендикулярна осям г, 1 и х„. Ось у. дополняет систему до правой тройки (более подробно см. равд. 2.2.11), ДО.

Определение параметров звеньев и сочленений. Для каж. дого 1' (1=1, ..., и) выполнить шаги Д9 — Д!2. Д9. Определение йь й представляет собой расстояние от начала (1 — 1)-й системы координат до пересечения оси г, 1 с осью хь отсчитываемое вдоль оси гг 1. Если йе сочленение — поступательное, то й; — присоединенная переменная. Д10. Опреде,1ение а1, а1 — расстояние между пересечением оси г,, с осью х1 и началом йй системы координат, отсчитываемое вдоль оси хь Д11, Определение Оь 0; — угол, на который нужно повернуть ось х;, вокруг оси г, 1, чтобы она стала сонаправлена с осью хь Если 1-е сочленение — вращательное, то 01— присоединенная переменная.

Д12. Определение а,. а, — угол, на который надо повернуть ось х; 1 вокруг оси хь чтобы она стала сонаправлена с осью гь Как только ДХ-системы координат сформированы для всех звеньев, не составляет труда построить однородные матрицы преобразования, связывающие 1-ю и (1 — 1)-ю системы координат. Из рис. 2.10 видно, что координаты точки гь заданные в 1-й системе координат, можно преобразовать в координаты г,, этой же точки относительно (1 — 1)-й системы координат, выполняя последовательность следующих операций: аб 1 0 О 0 0 О х 0 1 0 1 0 0 '-'А, = Т, лТ,,Т„ьТч, а = 0 0 0 0 сова; — я(п а; ! ООа; 010 О 001 0 000 ! 0 О 0 0 ! 0 0 1 — я!и 9, соя 91 0 соз О, я!и 9, 0 0 соя а, я!и а1 соя 0; гйп О, 1 51П а1 я! П 01 а1 — я!и а1 соя 01 а, — соя а; я!и О, сова, соя 9, соя 9; я!п О, 0 (2,2-29) сова, 0 Используя равенство (2.2-27), найдем, что матрица, обратная к 1-'Аь имеет вид [' 'А,1 '=1А,,= я(пО; 0 соя а, соя О, я!п а, — я!па,соя01 сова, О 0 соя О, — сова, я!пО, я!и а, я1п О, 0 — а1 — й1 51П а1 — й1 сова,.

1 (2.2-30) где а„аь й1 — константы, а 0; — присоединенная переменная, если рассматриваемое сочленение — вращательное. Для поступательного сочленения присоединенной переменной является йь а а„а1 и О,— константы. В этом случае 1-1А~ при- 57 1. Поворот вокруг оси г, 1 на угол Оь чтобы ось х; 1 стала сонаправлена с осью хь 2. Сдвиг вдоль оси гил на расстояние д1, чтобы совместить оси Х; 1 И ХЬ 3. Сдвиг вдоль оси х, на расстояние а„чтобы совместить начала чала координат.