Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес, страница 6

2, При известных геометрических параметрах звеньев найти все возможные векторы присоединенных переменных манипулятора, обеспечиваю:цие заданные положение и ориентацию схвата относительно абсолютной системы координат, Первую из этих задач принято называть прямой, а вторую— обратной задачей кинематики манипулятора. Поскольку собственными независимыми переменными манипулятора являются присоединенные переменные, а задача, как правило, формулируется в координатах абсолютной системы отсчета, обратная задача кинематики возникает более часто, чем прямая.

На рис. 2.1 приведена блок-схема, иллюстрирующая взаимосвязь этих задач. Параметры оде«сед Просо«дине«нези Пап«поеное а уены )обод- ПРЯмаЯ оРиентатаза изеннозе задача етбаотст «сардин .) "не"'ти " р,гг),, уэст) 1 Пар аметата оденоед 1 ! Присоединенные делез Узбобитен- образпноя 1 зсые «ооРди- -и — задача т- — -— наптоз) «и«ем а та«и ~,ст), " , р„ Гб) Рис. 23.

Прямая и обрзтнвя задачи кинематики. Так как звенья манипулятора совершаютвращательное и/или поступательное движение относительно абсолютной системы координат, результирующее пространственное положение схвата определяется угловым и поступательным движениями звеньев. В работе 1571 изложен общий систематический подход к описанию пространственного расположения звеньев манипулятора в абсолютной системе отсчета, основанный на применении матричной алгебры.

Для описания взаимного пространственного положения двух смежных звеньев этот подход использует однородную матрицу преобразования размерностью 4 )с', 4. Прямая задача кинематики сводится тем самым к определению однород. ной матрицы преобразования, характеризующей пространственное положение системы координат схвата манипулятора в абсолютной системе отсчета. Однородные матрицы преобразования используются также при выводе уравнений динамики движения манипулятора.

К решению обратной задачи кинематики существует, вообще говоря, несколько подходов. Наиболее часто используются методы матричной алгебры, метод итераций и геометрический подход. На примере решения обратной задачи кинематики простого манипулятора с вращательными сочленениями мы рассмотрим геометрический подход, основой для которого служат понятия йэ систем координат звеньев и конфигураций манипулятора.

Кроме того, будет предложен более общий подход с использованием однородных матриц размерностью 4 Х 4, который проиллюстрирован на примере решения обратной задачи кинематики простых манипуляторов. 2.2. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА КИНЕМАТИКИ Ниже матричная и векторная алгебра н применяются для систематического и обобщенного подхода к описанию и представлению расположения звеньев манипулятора (исполнительных механизмов робота) относительно заданной абсолютной системы координат. Так как звенья манипулятора могут совершать вращательное и/или поступательное движение относительно абсолютной системы отсчета, для каждого звена определяется связанная система координат, оси которой параллельны осям сочленений звеньев. Прямая задача кинематики сводится к определению матрицы преобразования, устанавливающей связь между абсолютной и связанной системами координат.

Дляописания вращательного движения связанной системы отсчета относительно абсолютной используется матрица поворота м размер. постыл 3;зс',3, для представления векторов положения в трехмерном пространстве применяются однородные координаты, а для учета поступательного движения связанной системы координат вместо матрицы поворота используется матрица однородного преобразования размерностью 4 ч~(4, Таким матричным представлением для описания пространственной геометрии манипулятора впервые воспользовались Денавит и Хартенберг [57]. Их представление дает универсальный алгоритм для вывода уравнений кинематики манипулятора. 2.2.1. Матрицы поворота Матрицу поворота размерностью 3 )с',3 можно определить как матрицу преобразования трехмерного вектора положения в евклидовом пространстве, переводящую его координаты из повернутой (связанной) системы отсчета ОО)з(Р в абсолютную систему координат ОХУ2.

На рис. 2.2 показаны две правые прямоугольные системы координат: системы координат ОХУХ с осями ОХ, ОУ, ОХ и система О(з')зйУ с осями ОО, О)з, О(рз. Начала этих систем совпадают и расположены в точке О, Система ОХИ фиксирована в трехмерном пространстве и принята за абсолютную, о Для обознзчення векторов и матриц используются соответственно по. лужирные строчные и прописные буквы. ь В ряде работ зту матрицу называют мвтрицей вращения, Обз поня и идентичны. — Прим.

Пед. з понятия Рнс. 2.2. Абсоаютная н связанная ен- где Рху» и Р„, хаРактеРизУют стены координат. положение одной и тойжеточки р относительно различных систем отсчета. Верхний индекс Т, добавляемый к обозначению вектора или матрицы, обозначает операцию транспонирования, Наша задача состоит в том, чтобы определить матрицу К размерностью 3 м, 3, которая преобразует координаты р,„в координаты вектора р в системе ОХИ после того, как система ОЬт'у')Р будет повернута, т.

е. Рлу» Кри»в (2.2-2) Заметим, что физически точка р вращается вместе с системой координат ОИ~)Р. Из определения компонент вектора имеем (2,2-3) Ри»в Ри ти + Ри 1» + Рв ' 1гв где р., р. и р- представляют собой составляющие вектора р вдоль осей ОЬт, ОР и О)Р соответственно, или проекции вектора р на эти оси. Таким образом, используя определение скалярного произведения и равенство (2.2-3), получаем Рх = тх ' Р = тх ' ти ' Ри + 1х ' )» ' Р» + 1х )тв ' Рв~ ру=)у. Р=т, 1„р„+)у 1» р„+1у )г„° рв, (2.2-4) Рх )г»'Р (т» ти ' 0»+(г»'1» Р»+(гх'(тв Рв до а система координат ОЬГу'(Р вращается относительно абсолютной системы ОХИ.

Физически система ОЬгЛР может рассматриваться как связанная система координат. Это означает, что она соответствующим образом жестко связана с твердым телом (например, с летательным аппаратом или звеном манипулятора) и движется вместе с ним. Пусть (1, )у, (т») и (1„, 1». (т- ) — единичные векторы, направленные вдоль осей систем ОХИ и ОЬтУ)Р соответственно.

Некоторую точку р в пространстве можно охарактеризовать координатами относительно любой нз указанных систем. Для простоты рассуждений предположим, что точка р фиксирована и неподвижна в системе отсчета ОЬт)»(Г. Тогда в системах координат О(7У(Р и ОХИ точка р будет иметь соответственно координаты т Ри»в (Ри Ри Рв) Х и р„ , = (р , р , р,) , (2,2-!) агля в матричной форме (2.2-5) С учетом этого выражения матрица К в равенстве (2.2-2) при- мет вид 1, ° 1» 1, ° 1, 1, ° )С„ )у ' ти 1у'1» 1у' (гв )г». 1и (2,2-6) Ри ти ° 1, ти )у 1» М, рх или р, = 1, ° ! )„° 1у ), ° й, ° ру .

(2.2-8) Рв )тв 1х )тв ' 1у )гв ' !т» Р» Поскольку операция скалярного произведения коммутативна, из соотношений (2.2-6) — (2.2-8) следует Я=К '=К, (2. 2»9) (Я=К К=К К=13, (2,2-10) где 1» — единичная матрица размерностью 3 Ут', 3. Преобразование, определяемое формулой (2.2-2) или (2.2-7), называется оргоаональным преобразованием, а поскольку все векторы, входящие в скалярные произведения, единичные, его также называют ортонормальным преобразованием, Осооый интерес представляют матрицы поворота системы ОЬГ)г(Р относительно каждой из трех основных осей системы ОХИ.

Если положение системы ОЬг)»(Р в пространстве изменяется за счет поворота этой системы на угол а вокруг оси ОХ, то в системе отсчета ОХИ изменятся и координаты (рх, р„, р.) г точки Р..-, имеющей в системс ОЬ')»(Р неизменные координаты (р„р., р ). Соответствующая матрица преобразования Кх „назынаетси матртщей поворота вокруг оси ОХ на угол а. Основываясь на полученных выше результатах, для матрицы К,, имеем Рху» = Кх, и ' Ри»в (2.2-1 !) причем Ы вЂ” = ьо н ~ 1».

Кх,а 1у к, ° 1и т, ° )„тх й 1 О О 1и 1у )„)у. (т = О сова — з!п а . (2.2-12) й, 1„й, й О з1па сова Аналогично, трехмерные (размерностью Зх,З) матрицы пово. рота вокруг оси ОУ на угол тр и вокруг оси ОХ на угол 0 имеют з! Аналогично, координаты ри„можно получить из координат (2.2-7) соответственно вид (рис. 2.3) сов ф 0 в)п ф сов 8 — в1п О 0 П„,,= О 1 О, й,з= в(пЕ сов Π— в(пф 0 созф 0 0 (2.2-1 3) Матрицы й»а, Кя, ч и К», а называются матрицами элеменгирнмх поворотов. Любые другие матрицы конечных поворотов можно получить, используя матрицы элементарных поворотов.

Пример. В повернутой системе координат ОУГ(Р' заданы две точки а»» =(4, 3, 2)т и Ь„» =(6, 2, 4)'. Требуется определить координаты а„,: и Ь„я, этих точек в абсолютной системе координат, если система ОУГ(У» повернута относительно оси 02 яа угол 60'. Р ешение: а„я,—— й»,а,. а„, и Ь„„,= К» аа.Ь„„ 0,500 — 0,866 0 а,„, = 0,866 0,500 0 . 3 О 0 1 2 4(0,5) + 3( — 0,866) + 2 (0) — 0,598 4(0,866) + 3(0,5) + 2(0) = 4,964 4 (9) + 3 (0) + 2 (1) 2,0 Ь,д, —— 0,866 0,500 0 . 2 = 6,196 Таким образом, амм и Ьмм в абсолютной системе координат равны соответственно ( — 0,598, 4964, 20)' и (1,268, 6,196, 40)".

Пример. По известным координатам точек а„„,=(4, 3, 2)' н Ь,„. =(6, 2,4)' в абсолютной системе отсчета требуется определить соответствующие координаты в системе Оу'т"йт, повернутой относительно оси ОЯ на 60'. Решение. а.,~ =(Й», ас.)'а»», и Ь.»~ =(Р». во )'Ь»»м а„„= — 0,866 0,500 0 3 4(0,5) + 3(0,866) + 2(0) 4,598 4( — 0„866) + 3(0,5) + 2(0) — 1,964 4 (0) + 3 (0) + 2 (1) 2,0 Ья» = — 0,866 0,500 0 2 =- — 4,196 а зов Ряс. 2 3. Вращающаяся система координат. 32 2к.Ф»аар, ЗЗ 2.2.2. Матрицы сложных поворотов Описание последовательности конечных поворотов относительно основных осей системы ОХИ можно получить путем перемножения матриц элементарных поворотов.

Поскольку операция перемножения матриц иекоммутативна, здесь существенна последовательность выполнения поворотов. Например, матрица поворота, представляющего собой результат последовательного выполнения поворотов сначала на угоч а вокруг оси ОХ, затем на угол 0 вокруг оси 02, затем на угол ф вокруг оси ОУ, имеет вид Сф О 5ф СΠ— 50 О Й Йу»Й» у Й»» О 1 О 50 СО О )( — 5ф О Сф О О 1 Х О Са — 5а =- 50 СОСа с 1 О О СфСО 5ф5а — Сф50Са Сф505а + 5 рСа — С05а О 5а Са — 5фСО СфСОСа + СфСа СфСа — 5ф505а (2.2-14) где Сф = соз ф; 5ф = — ып ф; СО = — соз О, 50 = — ейп 0; Са — = сова, 5а = э!па. Она отличается от матрицы, описывающей результат поворота сначала на угол ф вокруг оси ОУ, затем на угол О вокруг оси 02 и, наконец, на угол а относительно оси ОХ.