Детлаф А.А., Яворский Б.М. - Волновые процессы - Оптика. Атомная и ядерная физика, страница 6

Из равенства треугольников АВС и АРС следует закон отражения волн: угол оглражгиия !' равен углу падения 1. 3. Аналогичным образом выводится и закон преломления волн при переходе из одной среды в другую (рнс. 1.8). Пусть скорость распространения волны в первой В с еде оь а во второй о,. Тогда за время йг прохождения падающей волной расстояния С в первой среде (й!=!ВС(/ог) фронт вторичной волны, возбухгдземой во второй среде точкой А, достигнет точек полусферы, радиус которой !А0)=озЛ!=(о,/о,) (ВС1. В соответствии с принципом Гюйгеиса фронт результирующей преломленйой волны, распространяющейся во второй среде, изображается плоскостью С!1, а направлейие ее распространения — лучом А0.

Угол г между лучом АВ н продолжением нопмали АЕ называется углом преломлении. Из прямоугольных треугольников АВС и А!гС следует, что (ВС1=)АС( ып ! н (А!31=(АС( з|п г, илн (1.34) Таким образом, справедлив закон преломленян мглн: огяиошгяиг синуса угла падения я синусу угла преломления равно ояшошгяию фазавых скороаягй волям в ягрвоа и вглород сргдах. Величина яы=з!и !/з(п г называется относительным показателем преломления второй среды по отношению к первой.

Таким образом, из принципа Гюйгенса вытекает, что пег=от/оз (1.35) Подчерннем, что все полученные закономерности спраисдлнвы только для и з о- тр о п н ы х сред, в которых скорости волн ие зависят от направления их распро- странения. В противном случае вторичные волны не будут сферическими (см. а 8.1). 5 1Л. Интерференции волн. Стоячие волны Рассмотрим более подробно вопрос о наложении с и н у с о и д а л ь н ы х волн, возбул(даемых в однородной и изотропной среде точечными источниками Я, и Яз (рис.1.9), циклические частоты гармонических колебаний которых равны ю, и юз, а началь- Рис. 1/9 Рнс. 1.10 ные фазы — соответственно а, и а,.

Пусть вызываемые ими колебания в произвольной точке М одинаково направлены и удовлетворяют уравнению (1.26): з, = — гз!п(аког( — к,г,+а,) =А,з!пФю Г, з, = — 'з(п(от,1 — керт+аз) =-А,з(пФз. гз По принципу супер позиции, результируюц(ее колебание в точке М описывается формулой з=з,+з,=-А 3!пФ. Для нахождении А и Ф воспользуемся методом векторных диаграмм (рпс.

!.10), рассмотрен- ным в Э 8.3 первого тома. Из рис. !.10 следует, что А'= А, '+ Ас+2А,А,соз (Ф,— Ф,), (1.3б) А ьСо Фс+ Ас ыя Ф (1.37) А, сов Фс+ Ас соь Фс ' 2. Возможны два случая: а)разностьфазволнФ,— Ф,вточкеМ изменяется с теч е и и е м в р е м е н и; такие волны и возбуждающие их источники 3, и Я, называются некогерентными; б) разностьфазволнФ,— Ф, не зависит от времени; такие волны и возбуждающие их источники называются когерентными. По формуле (1.11), к=в7о, где о — фазовая скорость волны. Поэтому Ф„= в,1 — в, — '+ сс„Ф, = в,1 — в, — '+ а„ ьс Второй и третий члены правой части этого равенства не зависят от времени. Поэтому две синусоидальные волньс когерентны, если их частоты одинаковы, и некогерентны, если их частоты различны. 3.

Из формулы (1.36) следует, что при наложении н е к о г е р е н тн ы х синусоидальных волн амплитуда А результирующих колебаний в произвольной точке М среды зависит от времени, т. е. результирующие колебания негармонические. Амплитуда А изменяется в пределах от |А,— А,~ до Ас+Аы причем циклическая частота колебаний амплитуды А совпадает с циклической частотой изменения Ф,— Ф„ т.

е. равна )в,— в,), Если эта частота достаточно велика, то любой регистрирующий прибор не будет успевать реагировать на изменения величины А, т. е. будет показывать лишь некоторое ее среднее значение. Найдем среднее значение (А'> квадрата амплитуды за время, равное периоду т ее изменения: <А'>= — ~ А*с(1= — ~ ~А,'+А,'+2А,А,соз(Ф,— Ф,)~~Ы, о о <А'> =А,'+А,'+ — '*~сов(Ф,— Ф,)Л.

О Так как за время т разность Ф,— Ф„изменяется на 2п, то ~соз(Ф,— Фс)сй=0 и ь <А'> = А'„+ А',. (1.39) Таким образом, при наложении некогерентных волн среднее значение квадрата амплитуды результирующей волны равно сумме квадратов амплитуд исходных волн. Можно показать, что в согласии с законом сохранения энергии при наложении некогерентных волн происходит суммирование их энергий. 4.

Иначе обстоит дело при наложении к о г е р е н т и ы х волн. Полагая в формуле (1.38) с», †-»а,= — ы и учитывая, что при этом в однородной и изотропной среде п,=п,=-э, получаем Ф, — Ф, = — — (г, — г,) + (сс, — а,) = — к (г, — г,) -'; (а, — а,). Поэтому формулу (1.36) можно переписать в таком виде: А' =- А', + А,'+2А,А,сов ~к (г, — г,) — (сс,— сс )1. (1.36 ) Так как а,— а,=-сопз( и к=сонэ!, то амплитуда А не зависит от времени. Косинус в правой части формулы (1.36') равен единице и амплитуда результирующего колебания м а к с и м а л ь н а (А= =-А,+А,) во всех точках М, для которых аргумент косинуса равен четному числу л: к(«,— «,)+а,— а,=~2тп (т=О, 1, 2, ...), (1.40) или, заменив к на 2»»»!., получим — г =~ОЙ+ 2 г. (1.40') Если а,— а,=О, то это условие принимает следующий вид: г,—, =~ т).

(1. 40") Очевидно, что амплитуда результирующего колебания м а л ь н а (А=!А,— А,!) во всех точках М, для которых к(г,— г,)+а,— а,=-»-(2т — 1)п (т= — 1,2, ...), л» и н и- (1. 41) или г, — г, = ~ (2т — 1) — + ' ' !.. (1А1') Если а,— а,=0, то условие минимума амплитуды имеет такой вид: г,— г,=-+ (2т — 1)) !2. (1. 41") Величина г.,— г, называется геометрической разностью хода волн от нх источников 5, и 5» до рассматриваемой точки. 6. При наложении когерентных волн квадрат амплитуды и энергия результирующей волны, вообще говоря, отличны от суммы соответст- венно квадратов амплитуд и энергий исходных волн.

В самом деле, в точках М, удовлетворяющих условию (1.40'), А'=(А, +А,)') (Л,'+А.',), а в точках М, удовлетворяющих условию (1.41'), Л'= (А,— А,)' < (А, '+ А',). Интерференцией волн называют явление, осуществляющееся при наложении двух илн нескольких волн и состоящее в устойчивом во времени их взаимном усилении в одних точках пространства н ослаблении — в других в зависимости от соотношения между фазами этих воли, Из предыдущего ясно, что интерферировоть лтогрт только когерентные волны, если нм соответствуют колебания, совершающиеся вдаль одного и того же илн близких направлений.

При интерференции воли отсутствует простое суммирование нх энергий. Иными словами, интерференция волны приводит к и е р ер а с п р е дел е н н ю энергии колебаний между соседними областями среды. Однако в среднем для достаточна большой области пространства энергия результирующей волны равна сумме энергий ннтерфернрующих волн. Поэтому явление интерфереицни нн в какой мере не противоречит закону сохранения и превращения энергии. Лля демонстрации интерференции вола на поверхности жидкости можно воспользоваться описанной выше волновой ванной.

На рнс. 1.1! показана картина интерференции круговых волн, возбуждаемых двумя колеблюшимися тонкими стержнями, жестко связаннымн друг с другом так, что амплитуды, частоты и начальныефазы колебаний стержней одинаковы. Рис. 1.11 6. Частным случаем интерференции волн являются так называемые стоячие волны. Стоячая волна образуется в результате интерференцпи двух сннусондальных волн, обладающих одинаковыми амплитудами, частотами, направлениями колебаний н распространяющихся во взаимно противоположных направлениях. Обе эти волны в отличие ат стоячей называют бегущими волнами.

Простейшую (одномерную) стоячую волну можно наблюдать на натянутом упругом шнуре. Если левый конец О шнура (рис. 1.12) привести в гармоническое колебательа! г ное движение в направлении, перпендикулярном осн ОХ шнура, то вдоль шнура будет распространяться попеРис. 1.12 речная бегущая волна — падающая волна. Достигнув закрепленного правого конца шнура (точка х=1), волна отразится от него, т. е, возникнет вторая бегущая волна (отраженная), распространяющаяся в обратном направлении, Если при распространении н отражении волн нет рассеяния энергии, то амплитуды падающей и отраженной волн должны быть одинаковыми.

Выведем уравнение одномерной стоячей волны, т. е. найдем зависимость от времени смещения з произвольной точки М(х) шнура, Пусть закон колебаний точки М в падающей волне имеет вяд за=А з1п (озг — кх). В отраженной волне смещение з, точки М отстает по фазе ат з, на величину и=2к(! — х)+чр, где гр — дополнительное отставание по фазе, которое может возникать при отражении (см.

ниже). Следова- — 2У— тельно, з,=А з(п (в1+к(х — 21~~р), По принципу суперпозиции волн результирующее смещение з=з,+з,=А сйп (ы1 — кх)+ А з(п(ы/+к (х — 21) — ф). Так как з(п р+з(ну=2 з1п((р+у)/2) сов[(р — у)/2), то уравнение одномерной стоячей волны можно представить в форме з=2А соз(к(1 — х)+~р/21 з)п(сз1 — к1 — ~р/2). (1.42) Написанные выше выражения для з, и з, справедливы не только для одномерных, но и для плоских волн, распространяющихся соответственно вдоль положительного и отрицательного направлений оси ОХ. Поэтому выражение (1.42) представляет также уравнение плоской стоячей волны. Этот результат в равной мере справедлив как для поперечных, так и для продольных волн. 7. Из формулы (1.42) следует, что амплитуда одномерной (или плоской) стоячей волны равна А„=- 2А ( соз [к (1 — х) + ~р/2~ ~, (1.43) т.

е. является периодической функцией координаты х и не зависит от времени. В точках, координаты которых удовлетворяют условию к(1 — х)+~р/2 = ~- тп (т= О, 1, 2, ...), (1.44) амплитуда колебаний максимальна и равна 2 А. Этн точки называются пучностями стоячей волны. В точках, координаты которых удовлетворяют условию к(1 — х)+~р/2=~(2т — 1)л/2 (т=1, 2, ...), (1.44') амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки не колеблются и потому называются узламн стоячей волны. Мы нашли положения узлов и пучностей для смещения з частиц упругой среды.

Очевидно, таковы же положения узлов и пучностей скорости о,=-дз/д1 колебательного движения частиц среды. Найдем теперь положения узлов и пучностей для деформаций и напряжений. Можно показать, что относительная деформация упругой среды при распространении в ней плоских волн равна дз/дх. В бегущей синусоидальной волне деформации и напряжения пропорциональны о,: За к дз с, — = — — — '= — —, где и — фазовая скорость волны, В стоячей дх ч дз и волне дз/дх и дз/д1 не пропорциональны друг другу.