Детлаф А.А., Яворский Б.М. - Волновые процессы - Оптика. Атомная и ядерная физика, страница 4

1.З. Колебания в точках среды, отстоящих от плоскости АВ на расстоянии!, так же как в случае одномерной волны, отстают по фазе от колебаний источника волн на к(: з=А и!п (ог! — к!+а), причем если нет рассеяния энергии волны в среде, то, как будет показано ниже, А=А,. Для точек пространства, лежащих правее плоскости АВ, х)О и ( — --х, а для точек, лежащих левее этой плоскости, х(0 Рис. 1.3 и 1= — х. Поэтому уравнение плоской волны, распространяющейся от плоскости АВ (х — — 0) вдоль п о л о ж нт е л ь н о г о направления оси ОХ, имеет вид з=-А и!и (огг — кх+а).

(1.!4) Уравнение плоской волны, распространяющейся в противоположном направлении, отличается ат (!.14) талька знаком второго члена фазы: з=А з!п(ог(+кх+сх). (1.14') В общем случае положение источника АВ плоских волн может не совпадать с координатной плоскостью х=О. Тогда уравнения волн, распространяющихся вправо и влево от плоскости АВ, имеют внд а=А з1п (гог — к(х — х,)+се), '! з= А з!п'1го(+к (х — х,)+а1, ( (1. 14") где х,— координата плоскости источника волн.

Основываясь на формуле Эйлера е|з = саз Р+ г и!п О, где 1 = 3/ — 1 — мнимая единица, уравнение плоской волны часта записывают в так называемой экспонеициальной (показательной) форме: з = Аег гкг-мп (1.15) В этом уравнении к — волновой вектор, численно равный волновому числу к=2пг)с и направленный в сторону распространения волньг; г — радиус-вектор рассматриваемой точки; А — комплексная амплитуда волны: А =-Ае ге, где 6=-сс — п/2, а а — начальная фаза колебаний в начале координат, т. е. в точке г=-О.

Выражение (1.15) удобно для дифференцирования, однако физический смысл в нем имеет только действительная (вещественная) часть, которую принято обозначать — 15— символом йе, т. е. з (се(з). Поэтому, пользуясь (1.!5) для нахождения какои-либо характеристики волны, нужно после выполнения всех математических операций отбросить мнимую часть полученного комплексного выражения. Так, например, для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ, скалярное произведение кг=кх и з — Ае( (кж ео — Ае( (пх-а(- (() (1.15') т. е.

а=А ~сов(кх — а1 — 6)+(з)п(кх — а! — 6)~ з=(се(з) =А соз(кх — а( — 6) =А з!п(а( — кх+и/2+ 6) = = А збп(а1 — кх+с(). Последнее выражение действительно совпадает с формулой (1.14). 5. Найдем изменение энергии малого объема ((У упругой среды, связанное с распространением в среде плоской волны, которая задана уравнением (1 14), где з — смещение частиц из положения равновесия. Ввиду малости объема ((У можно считать, что все находящиеся в ием частицы среды колеблются в одной фазе, так что их скорости одинаковы и равны о,=(ЫЖ. Поэтому кинетическая энергия объема ((У среды, соответствующая колебательному двнжени(о, равна Лг„= 11501 ((т — 1/Фро1 ((У где р — плотность среды. Из (1.14) следует, что о,=А а соз(а1— — кх+а).

Поэтому ЯГ'„= '(,р А'а' ((У соУ (а! — кх -1- и) . (1.16) Подсчитывая работу деформации объема ((У среды при волновом движении (деформации сдвига в случае поперечной волны и деформации объемного сжатия в случае продольной волны), можно показать, что потенциальная энергия ((В', объема ((У среды равна его кинетической энергии: ((6'п=о)гк= /арА а (Л соз (а! — кх+(х). (1.17) Полная механическая энергия ((ЯГ элементарного объема дУ упругой среды равна сумме его кинетической и потенциальной энергий: ЛГ = ЛГ„+((В"„= рА*а'((Усов" (а! — кх+с().

(1.18) Объемная плотность анергии волн в упругой среде ~йг Я=в а'г' ' (1.19) д и=рА'а' соз'(ы( — кх+а). (1.20) 6. Из формулы (1.17) видно, что при плосковолновом движении упругой среды кинетическая и потенциальная энергии каждого малого Из (1.18) следует, что объемная плотность энергии плоских синусои альных волн участка среды являются о д и н а к о в ы м и периодическими функциями фазы волны и пропорциональны произведению плотности среды иа квадрат амплитуды и квадрат циклической частоты колебаний, Поэтому полная энергия колебаний произвольного элемента Л' упругой среды и объемная плотность этой энергии также пропорциональны плотности среды, квадрату амплитуды и частоты колебаний и зависят от фазы волны, т.

е. являются периодическими функциями координаты х и времени. Эта закономерность справедлива для любых упругих волн ', так как связана только с механизмом распространения колебаний в упругой среде и не зависит ни от формы волновых поверхностей, ни от типа деформации среды. Весьма существенно, что при волновом движении полная энергия колебаний каждого малого участка упругой среды периодически изменяется во времени. В этом состоит принципиальное отличие волнового движения от рассмотренных в гл.

ЧП1 первого тома свободных механических колебаний консервативной системы, полная энергия которой н е з а в н с и т о т в р е м е н и, так как значения ее кинетической и потенциальной энергии колеблются в противоположных фазах. Распространение волн в неограниченной упругой среде представляет собой вовлечение в колебательное движение все более и более удаленных от источника волн областей среды. На это необходимо затрачивать энергию, доставляемую источником волн. Следовательно, распространение волн в упругой среде неразрывно связано с процессом передачи энергии от одних участков среды к другим. Именно поэтому при волновом движении обьемная плотность энергии колебаний в каждой точке среды изменяется во времени. 7. Скорость и распространения энергии волны равна скорости перемещения в пространстве поверхности, соответствующей максимальному значению объемной плотности энергии ти.

В случае плоской синусоидальной волны, как видно из формулы (1.20), уравнение одной из поверхностей си=ар„,„, имеет вид оту — лх + а = О, а скорость ее перемещения ях О) и= — = — =о. йг Таким образом, в случае плоской синусоидальной волны скорость распространения энергии совпадает с фазовой скоростью волны. В теории волн доказывается, что этот результат справедлив для любых синусоидальных волн независимо от формы их волновых поверхностей. 8.

Для характеристики процесса переноса энергии волнами вводится понятие о потоке энергии. Потоком энергии Ф„, сквозь какую-либо поверхность площадью 5 называют отношение энергии Жр', передаваемой через эту поверхность за малое время Ж, к значению т Заметим, что в общем случае амплитуда и фаза волны являкттся функцнимн не одной, а всех трех пространственнык координат х, у н г. — 17— этого промежутка времени: спи Ф,= —.

41 (1 21) Найдем поток энергии плоской синусоидальной волны, заданной уравнением (1.14), сквозь плоскую поверхность, перпендикулярную направлению распространения волны. За время Ж через эту поверхность площадью 5 переносится энергия Ы%', заключенная в прилегающем к ней слое среды толщиной и Ж; с(Ф'=-ю5иг(д Поэтому искомый поток энергии Рис !4 Ф,=ю5и (1.22) 9. В общем случае поверхность может иметь произвольную форму и ориентацию по отношению к направлению распространения волны. При этом потоки энергии через различные участки поверхности, имеющие одинаковые площади, оказываются, вообще говоря, не равными.

Поэтому возникает необходимость введения новой физической величины — плотности потока энергии волны. Плотностью потока энергии волны называют вектор И, направленный в сторону распространения волны н равный по модулю отношению потока энергии бФ, сквозь малый элемент площади с(5 поверхности к площади й51 про- оЯ екции этого элемента на плоскость, пер- пендикулярную направлению распростра- 44 пения волны. к (1, 23) И И5, ' Так как за время с(1 сквозь площадку Н5 переносится энергия, заключенная внутри заштрихованного на рис.

1.4 косого цилиндра, объем которого равен ис((с(5 г, то ЫФ, =юис(5т, ()=ши, Б=ши. (1.23') Таким образом, вектор плотности потока энергии волны равен произведению вектора скорости распространения энергии волны и ее объемной плотности. Для упругих волн этот вектор был впервые введен в 1874 г Н. А. Умовым и называется вектором Умова. Так как поток энергии сЮ, сквозь элемент с(5 поверхности равен сЮ„, = (7 с(5 с =- 1) и с(5 = юпп с(5, где и — единичный вектор нормали к элементу с(5 поверхности 5, то полный поток энергии сквозь всю поверх1юсть 5 равен Ф = 1 (7в15 = ) с(5.

(1 22') Эта формула справедлива для потока энергии волн любого типа, так как при ее выводе мы не делали никаких предположений относительно природы волны и формы ее волновых поверхностей. 10. Рассмотрим еще один простейший тнп волн в упругой среде.

Пусть источником волн в однородной, изотропной и безграничной где амплитуда А, как мы увидим дальше, зависит от г. Для случая точечного источника волн (Р = 0) з = А в!п(ш! — кг+ а). Уравнение (1.24) может быть записано в форме (1.24'): а = А з!и (ш! — кг+ аг), (1.24') (1.24") где аг=-а+ко. Примером сферических волн являются звуковые волны, возбуждаемые колеблющимися телами, размеры которых достаточно малы. О характере респрострвнекия сферических волн можно до некоторой степени судить, нвблюдэя с помощью описвниои выше волновой винны рвспрострененне круговой волны, возбуждвемой па поверхности жидкости колебвниямн небольшого шарика. Мгновенный фотоснимок этой волны показан нв рвс. Кь. 11.