Детлаф А.А., Яворский Б.М. - Волновые процессы - Оптика. Атомная и ядерная физика, страница 5

При распространении плоской волны за равные промежутки времени в колебательное движение вовлекаются р а в н ы е объемы среды. Именно поэтому амплитуда плоской волны для всех точек одинакова, если только в среде не происходит рассеяния энергии, т. е. преобразования энергии колебаний в другие формы энергии. Иначе обстоит дело в случае сферической волны в по мере удаления фронта волны от источника за равные промежутки времени в колебательное движение вовлекаются все возрастающие объемы среды. Следовательно, в отличие от плоских волн амплитуда сферической волны должна уменьшаться при увеличении расстояния от источника волны.

Оказывается, что в случае отсутствия рассеяния энергии в среде амплитуда А сферической волны изменяется по следующему закону: А АоР ае э (1. 25) среде является сфера радиуса )с, все точки которой совершают синхронные гармонические колебания вдоль прямых, соединяющих эти точки с центром сферы.

Тогда смещения в, точек сферы из положения равновесия изменяются по закону в,=Аэз!п(шу+а). Если радиус гс сферы неограниченно уменьшать, то в пределе можно говорить о точечном источнике волн. Из соображений симметрии очевидно, что в этом случае в среде распространяется сферическая волна, так как волновые поверхности должны иметь форму сфер, концентрнчных поверхности источника волн.

Ясно также, что амплитуды А колебаний во всех точках среды, отстоящих от центра источника на расстоянии г, должны быть одинаковыми, Поэтому уравнение сферической волны имеет аид а = А з!п1ш! — к(г — !г) + а), (1.24) где а,— величина, численно равная амплитуде волны в точках среды, находящихся на расстоянии г=1 м от источника волны. Поэтому уравнение незатухагощей сферической волны имеет такой вид: х = оэ з[п [го) — к(г — )?)+а). Г (1.26) х Принцип суперпознцни выполняется только для так называемых л и н е й н ы х с р е д, распространение волн в которых не зависит от интенсивности этих воли Применительно к упругим волнам среду можно считать линейной, если ее деформации в процессе волнового движения падчиниютсн закону Гука.

По мере увеличения радиуса кривизна волновой поверхности сферической волны уменьшается. Поэтому достаточно далеко от источника сферическую волну можно рассматривать как плоскую волну. 12. До сих пор мы изучали только синусоидальные волны, для возбуждения которых необходимо, чтобы'источник волн совершал незатухающие, гармонические колебания. В действительности все реальные источники не удовлетворяют этому условию хотя бы потому, что обладают конечным запасом энергии и, следовательно, колеблются не бесконечно долго, а в течение ограниченного промежутка времени. Следовательно, все реальные волны в той или иной степени отличаются от синусоидальных. В связи с этим естественно возникает вопрос: применимы ли к реальным волнам соотношения, справедливые для синусоидальных волн? Подробное рассмотрение этого вопроса достаточно сложно и выходит за рамки нашего курса.

Поэтому мы лишь приведем без доказательства некоторые основные результаты. Оказывается, что любая несинусоидальная волна может быть заменена эквивалентной ей системой синусоидальных волн. Такое представление называется спектральным анализом несинусоидальной волны. Совокупность значений амплитуд, начальных фаз и частот эквивалентной системы синусоидальных волн называется спектром соответственно амплитуд, начальных фаз н частот рассматриваемой несинусоидальной волны. Спектр частот может быть как дискретным, или лииейчатым (конечным или бесконечным), т. е. представляющим множество отдельных различных значений, так и непрерывным, или сплошным. Опыты показывают, что волны распространяются в среде н е з а- в и с и м о друг от друга, так что результирующее смешение любой частицы среды равно векторной сумме ее смещений, обусловленных каждой из волн в отдельности. Этот закон справедлив для волн любой природы и называется принципом суперпозицни волн '.

13. Закономерности распространении несинусоидальных волн в среде сравнительно просты только в тех случаях, когда либо нет дисперсии волн, либо волна мало отличается от синусоидальной (квазисинусоидальная волна). Квазисинусоидальная волна представляет собой совокупность синусоидальных волн, частоты которых мало отличаются от некоторой основной частоты го. Такую несинусоидальную волну называют группой волн или волновым пакетом. В качестве примера рассмотрим простейший волновой пакет, образованный двумя плоскими продольными синусоидальными волнами, распространяющимися вдоль оси ОХ.

Пусть амплитуды этих волн одинаковы, начальные фазы а,=а,=О, а частоты и волновые числа несколько различны, но близки друг к другу: з~=Ао з!п(в 1 к~х) з~=Аоз(п(в 1 кох). Для результирующей волны а=а~+э~=2Аосоз (Лв1 Лкх) з(п (в1 кх) где в=(в,+в,)/2, Лв=(в,— в,)/2, к=(к,+к,)/2 и Лк=(к,— к,)/2. Таким образом, результирующая волна является плоской волной, циклическая частота в н волновое число к которой равны полусумме соответственно циклических частот и волновых чисел сннусоидальных волн, образующих пакет. Однако амплитуда А этой волны не постоянна, а зависит от координаты х и времени: А =2А,соз (Л в1 — Лкх). Полученное выражение для амплитуды волнового пакега само по себе является уравнением плоской сннусоидальной волны — волны амплитуды колебаний, фаза которой ФА=Лв1 — Лкх.

Выше было показано, что объемная плотность ю энергии волны пропорциональна квадрату амплитуды этой волны. Следовательно, скорость и распространения энергии волнового пакета, которая, по определению (см. и. 7), равна скорости перемещения поверхности в=в„,„„совпадает с фазовой скоростью волны амплитуды, Дифференцйруя выражение для ФА в предположении, что Ф„=сопз1, получаем дх ав от Лк или в пределе, когда Лв, а следовательно, и Лк стремятся к нулю, и= — „ Йд (1.27) Зту формулу преобразуем, учитывая, что к=2пгй и йс= — 2п с(Л/Л*: Лм лв и= — — —. 2к ЫЛ 2к 2ко Так как в= — = — ', где о — фазовая скорость волны, то йо 2по 2я (Ь Л' + 'Т"ЗГ ие и — Х— оо а ' (1.28) Скорость и называется групповой скоростью пакета волн.

В случае отсутствия дисперсии волн в среде (т. е. когда ййй=О) их фазо- 14. В заключение этого параграфа необходимо сказать несколько слов о так называемом волновом уравнении — дифференциальном уравнении волнового движения. Это уравнение имеет следующий вид: дзз дзз д'з ! дзз — + — + — — — — =О. дха ду' даз оз д!з (1.29) Его можно вывести нз уравнения (!.26) для синусондальной сферической волны.

В самом деле, величина з зависит от времени ! и, кроме того, является неявной функ„р, р ...,,, „, -т'эхртн.л д'з — = — я 3 дгз (1.30) дзз дзз дзз — + — + — = — кзз, дхз ду' дх' (! 3!) где (1,32) — волновое число. Таким образом, дзз, з / дэз дез дзз д — = — хзозз = оз [ — + — + — ) . д!з ' [, дхз дуз дз )' (!.33) Отсюда непосредственно следует волновое уравнение (1.29).

Легко проверить, что выражение (!.14) для плоской волны также удовлетворяет этому уравнеяню. Можно показать, что уравнение (!.29) справедливо для любых волн, распространяющихся в однородной и изотропной среде, в которой отсутствуют рассеяние энергии и дисперсия волн. Однако в общем случае для характеристики н а п р а в л е н и й колебания частиц среды нужно пользоваться не скалярной, а векторной функцией з. Поэтому вместо одного волнового уравнения (!.29) приходится рассматривать аналогичные уравнения для каждой нз трех проекций вектора а ца координатные осн ОХ, 01' и 02.

Волновое уравнение (1.29) обычно записывают в следующей символической форме: 1 дзз дз — — — =0„ о' дгз (1.29') дз д' дз где и= — + — + — — так называемый оператор Лапласа [часто его обознадх' ду' дг' чают также через (т, у) или ра). В каждой конкретной задаче для нахождения однозначной зависимости з от координат и времени с помощью волнового уравнения (!.29) необходимо еще задать условия однозначности: а) начальные условия, т.

е. зависимость з от координат в начальный момент времени 1=0; б) граничные условия, т. е. закон колебаний частиц среды, прилегающих к поверхности источника волн, а также закономерности отражения и поглощения волн на г аннцах среды. очное решение этой свстемы уравнений в большинстве случаев сопряжено со значительными математическиыи трудностями. Поэтому в физике широко применяются различные приближеаные методы решения таких задач. вые скорости о одинаковы и не зависят от )., Повтому в таких средах групповая скорость волн совпадает с их фазовой скоростью.

5 1.4. Принцип Гюйгенсв 1. Голландским физиком Х. Гюйгепсом был предложен (1690) простой способ нахождения волновой поверхности о(г+г1г) в момент времени Г+сьг, если известно ее положение 5(1) в момент времени К Этот способ называется принципом Гюйгенса. Он основан на предположении о том, что в интервале времени от (до г+Ы каждую точку фронта волны Я(г) можно рассматривать как источник вторичных волн. В однородной изотропной среде волновые поверхности вторичных волн в момент времени 1+И имеют вид сфер ра- ба диуса пстг (рис.

1.6), центры которых лежат на поверхности Я(1). По принципу Гюйгенса, огибающая этих сфер указывает положение в момент времени 1+Лт фронта Я (1+Лг) действительно распространяющейся волны. При этом огиба1ощую нужно строить только по ту сторону от волновой поверхности 5(1), в которую распространяется рассматриваемая волна. 8Д Принцип Гюйгенса является чисто гео- т(1) згеы1) метрическим способом построения волновых поверхностей. Он никак не связан с физической природой волн и в равной мере применим как к упругим, так и к электромагнитным волнам.

2. Пользуясь принципом Гюйгенса, можно получить законы отражения волн от границы раздела двух сред н преломления волн при переходе из одной среды в другую. ! 1усть на плоскую границу М7т' раздела двух сред! и 2 падает плоская волна, распространяющаяся вдоль направления КЛ (рис. 1.7). Угол 1 между КЛ и перпен- И г А С Рис. 1.7 Рис. 1.8 дикуляром АЕ к плоскости МЖ называется углом падения. В изображенный на рисунке момент фронт АВ падающей волны достиг отражающей цоверхаостн в точке А.

Следовательно, зта точка начинает излучать вторичную волну. За время о1=1ВСРо прохождения падающей волной расстояния ВС фронт вторичной волны, распространяющейся в первой среде, достигает гочек полусферы, радиус которой 1АР1 — --иЫ-: 1ВСР Положение фронта отраженной волны в этот момент времени изобразится в соответствии с принципом Гюйгенса плоскостью СВ, а направление распространения втой волны — лучом АВ. Угол 1' между иормалью АЕ и лучом АВ называется углом отражения.